黃陳哲，向 陽(yáng)，黃進(jìn)安

(1. 武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430063；2. 武漢理工大學(xué) 高性能艦船技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430063)

0 引 言

在世界各國(guó)經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展的同時(shí)，對(duì)能源的需求也日益增多[1]，航運(yùn)業(yè)是聯(lián)系各國(guó)貿(mào)易的重要紐帶，但同時(shí)也是耗能大戶，如何提高船舶能效，減少污染成為了目前亟待解決的問(wèn)題。有研究表明，減少船舶的整體重量，不僅能夠有效提高船舶能效，還能減少建造船舶鋼材的使用[2]。而在輕量化的過(guò)程中必定會(huì)存在舶結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不夠、安全系數(shù)降低、某些部位振動(dòng)劇烈甚至振裂等安全問(wèn)題，因此在保證安全參數(shù)不下降的情況下，減輕船舶的重量就成為了研究焦點(diǎn)。

加筋板作為船舶中的基本結(jié)構(gòu)單元，對(duì)其開(kāi)展輕量化設(shè)計(jì)研究并推廣，將有助于全船整體重量的減少，達(dá)到全船輕量化的目的。加筋板的強(qiáng)度是其重要安全指標(biāo)之一，大量的實(shí)驗(yàn)研究[3]和模擬研究[4]討論不同變量參數(shù)對(duì)極限強(qiáng)度的影響，也有的通過(guò)研究解析解的方式探究其強(qiáng)度變化規(guī)律[5]。所以以強(qiáng)度為核心參數(shù)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化是研究重點(diǎn)，Singh 等[6]開(kāi)展了加強(qiáng)筋位置優(yōu)化，利用曲線加強(qiáng)筋代替原均布直線的布置，Badran 等[7–8]研究并設(shè)計(jì)了一種新型的Y 型加強(qiáng)筋剖面，能夠提供更多的抗扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。除了力學(xué)特性，振動(dòng)特性同樣也是加筋板的重要特性之一，張文春等[9]就運(yùn)用模態(tài)疊加法對(duì)縱向混合構(gòu)型加筋板在線激勵(lì)作用下振動(dòng)特性開(kāi)展了相關(guān)研究工作，同樣也有學(xué)者以振動(dòng)控制為目標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究[10]。

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中，一般只考慮力學(xué)特性或振動(dòng)特性其中之一，鮮有同時(shí)考慮振動(dòng)與重量的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究，而船舶的加筋板要保證一定強(qiáng)度同時(shí)，對(duì)振動(dòng)控制也有一定的要求。而在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，重量、強(qiáng)度、剛度三者間相互關(guān)聯(lián)，互相影響，為了能夠?qū)崿F(xiàn)輕量化和振動(dòng)的協(xié)同設(shè)計(jì)，在力學(xué)分析的基礎(chǔ)上加入單位激勵(lì)的諧響應(yīng)分析，并約束分析頻段內(nèi)的最大位移值，在優(yōu)化后的校核計(jì)算中也將自由模態(tài)頻率的分布情況作為校核的重要指標(biāo)，以達(dá)到協(xié)同設(shè)計(jì)的目的。

如圖1 所示，本文基于OptiStruct 結(jié)構(gòu)優(yōu)化軟件，采用拓?fù)鋬?yōu)化和尺寸優(yōu)化相結(jié)合的方法，全面考慮加筋板的力學(xué)和振動(dòng)特性，以最小重量為目標(biāo)，對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)開(kāi)展輕量化與振動(dòng)的協(xié)同設(shè)計(jì)。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果和實(shí)際生產(chǎn)需求重構(gòu)模型，并與原加筋板進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的有效性。最后將詳細(xì)分析腹板與底板的夾角大小對(duì)新型加筋板特性的影響。

圖1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程示意圖Fig. 1 Structure optimization process

1 優(yōu)化基本理論

基于OptiStruct 軟件開(kāi)展加筋板輕量化設(shè)計(jì)研究，其優(yōu)化過(guò)程分為拓?fù)鋬?yōu)化和尺寸優(yōu)化兩步，與概論設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)2 個(gè)階段相對(duì)應(yīng)，通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)新型加筋板結(jié)構(gòu)形式，再進(jìn)行尺寸優(yōu)化，尋找約束條件下尺寸參數(shù)的最優(yōu)解。

1.1 拓?fù)鋬?yōu)化

拓?fù)鋬?yōu)化采用變密度法進(jìn)行求解，材料的固有屬性與材料密度定義為非線性關(guān)系。在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，定義優(yōu)化區(qū)域內(nèi)的材料密度分布在0～1 之間，通過(guò)查看優(yōu)化后材料的分布情況，指導(dǎo)優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。材料的密度和彈性模量的非線性關(guān)系可以表示為如下關(guān)系[11]：

式中： η為單元的密度； α為懲罰因子；E為改變密度后材料的彈性模量； ν為泊松比；E0和 ν0為原材料的彈性模量和泊松比。

拓?fù)鋬?yōu)化以最小質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，考慮平衡方程和約束條件，尋找最優(yōu)材料密度分布。計(jì)算過(guò)程中通過(guò)改變優(yōu)化區(qū)域內(nèi)單元密度，迭代計(jì)算。經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化后，設(shè)置合適閾值，刪除材料密度小于閾值的單元，從而形成新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。其優(yōu)化模型為下式：

式中： ηi為單元的密度；V0為材優(yōu)化區(qū)域內(nèi)對(duì)應(yīng)單元體積；Yi為約束變量，表示第i個(gè)工況下有限元計(jì)算的最大應(yīng)變或應(yīng)力；Ymin,Ymax為約束變量的上下限； ε為密度下限；J1,J2,···,Jk為優(yōu)化后單元密度保持不變的單元號(hào)；最后一式為結(jié)構(gòu)平衡方程；K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣； {δ}為 結(jié)構(gòu)的整體位移列陣；F為結(jié)構(gòu)所受的整體載荷。

輕量化與振動(dòng)的協(xié)同設(shè)計(jì)就是在優(yōu)化過(guò)程中，將振動(dòng)分析的響應(yīng)值合理引入到約束變量Yi中，并對(duì)其進(jìn)行約束，從而使得振動(dòng)在輕量化過(guò)程中得到合理的控制。

1.2 尺寸優(yōu)化

尺寸優(yōu)化對(duì)應(yīng)產(chǎn)品詳細(xì)設(shè)計(jì)階段，其設(shè)計(jì)變量與剛度矩陣一般為簡(jiǎn)單的線形關(guān)系，優(yōu)化變量一般為構(gòu)件的尺寸參數(shù)。式（3）為尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。

式中：X為設(shè)計(jì)變量；Xmin,Xmax為變量的上下限；Mass為質(zhì)量，Yi約束變量；Ymin,Ymax為約束變量的上下限。

2 結(jié)構(gòu)特性分析

加筋板是船舶的基本結(jié)構(gòu)單元，開(kāi)展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)工作前，首先需要對(duì)加筋板的特性進(jìn)行分析，并以此作為后續(xù)優(yōu)化的參考和約束。以某船舶上層建筑為研究對(duì)象，截取了一段包括3 條L 型加強(qiáng)筋的板，具體尺寸如圖2 所示。

圖2 加筋板示意圖Fig. 2 Stiffened plate

底板厚6 mm，L 型材的尺寸為75×50×5。有限元模型全部采用PSHELL 殼單元，其中網(wǎng)格尺寸最大20 mm，為提高局部計(jì)算進(jìn)度及到后期的優(yōu)化工作，將加強(qiáng)筋處的網(wǎng)格細(xì)化到5 mm。板材和加強(qiáng)筋的材料為鋼材，彈性模量210000 MPa，泊松比0.3，密度7.85*10?9mm3/t，臨界阻尼比0.03。為了模擬截?cái)嗉咏畎宓倪吔?，分別在四條邊上創(chuàng)建了4 個(gè)中點(diǎn)，將網(wǎng)格的邊界點(diǎn)與此點(diǎn)通過(guò)剛性單元綁定，如圖3 所示。

圖3 加筋板有限元模型Fig. 3 Finite element model of stiffened plate

如表1 所示，一共分析了10 個(gè)工況，其中前6 個(gè)工況分析板材抗外力的能力，是板材強(qiáng)度的體現(xiàn)；工況7 和工況8 是屈曲強(qiáng)度分析，體現(xiàn)了板材整體的穩(wěn)定性；最后兩工況分別計(jì)算了自由模態(tài)和諧響應(yīng)，代表了板材振動(dòng)特性。經(jīng)過(guò)有限元計(jì)算后，將計(jì)算結(jié)果匯總到表1 中的計(jì)算結(jié)果。

如表1 所示，在強(qiáng)度分析中，均布載荷使得加筋板產(chǎn)生了較大形變和應(yīng)力，將作為后續(xù)拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)力約束的參考。由于加強(qiáng)筋是單向的，所以2 個(gè)方向的抗扭轉(zhuǎn)能力和屈曲強(qiáng)度呈現(xiàn)較大差距，后續(xù)優(yōu)化過(guò)程中將對(duì)2 個(gè)方向分別約束，避免過(guò)約束或欠約束。振動(dòng)分析中，諧響應(yīng)的最大振幅對(duì)應(yīng)頻率與第2 階模態(tài)頻率相近，兩者存在一定的關(guān)聯(lián)，但單一的模態(tài)頻率或諧響應(yīng)來(lái)表征振動(dòng)特性不夠全面，因此2 種振動(dòng)分析都是必不可少的，也是后續(xù)協(xié)同振動(dòng)控制結(jié)構(gòu)優(yōu)化的重要約束條件。

表1 詳細(xì)工況及計(jì)算結(jié)果匯總表Tab. 1 Summary of detailed operating conditions and calculation results

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)及結(jié)果討論

通過(guò)結(jié)構(gòu)特性分析得到的應(yīng)力應(yīng)變、屈曲強(qiáng)度和頻率特性分別表征了板材的強(qiáng)度和振動(dòng)特性，各個(gè)工況下的計(jì)算值將作為后續(xù)優(yōu)化過(guò)程中的約束條件，進(jìn)一步開(kāi)展結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究。結(jié)構(gòu)優(yōu)化在滿足原板性能不降低的約束下，以最小質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化得到材料分布情況，從而指導(dǎo)重新設(shè)計(jì)新型結(jié)構(gòu)形式，在根據(jù)尺寸優(yōu)化結(jié)果確定最終板材厚度。

3.1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

由于船舶中加強(qiáng)筋的布置距離與船舶肋距相關(guān)，所以選定3 條加強(qiáng)筋所在的立方體空間為拓?fù)鋬?yōu)化空間，同時(shí)設(shè)置了對(duì)稱(chēng)約束和拔模約束，如圖4 所示。為提高優(yōu)化精度，對(duì)優(yōu)化區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行了加密處理，網(wǎng)格尺寸為5 mm。

圖4 加筋板有限元優(yōu)化模型Fig. 4 Finite element optimization model

由于拓?fù)鋬?yōu)化屬于概論設(shè)計(jì)階段，優(yōu)化結(jié)果僅作為后續(xù)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)，因此可以適當(dāng)放寬約束條件，從而使得計(jì)算更容易收斂，優(yōu)化效率提高。在拓?fù)鋬?yōu)化中，對(duì)應(yīng)變施加強(qiáng)制約束，將應(yīng)力轉(zhuǎn)換為參考約束，即優(yōu)化過(guò)程中允許有少量網(wǎng)格的應(yīng)力大于約束值。表2 為各工況下具體約束的大小，應(yīng)變最大放寬不超過(guò)0.2 mm，屈曲強(qiáng)度放寬不超過(guò)10%，而為了能夠更好控制振動(dòng)，對(duì)諧響應(yīng)工況下的最大位移約束提高了約10%。

圖5 為拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果局部圖。其頂部和兩側(cè)區(qū)域材料較為重要，中心部分的材料被掏空，所以將其設(shè)計(jì)為空心的加強(qiáng)筋，兩側(cè)相對(duì)于頂板來(lái)說(shuō)存在一些挖空部分，能夠通過(guò)挖孔的方式進(jìn)一步降低重量。考慮到實(shí)際的加工需要，先不對(duì)側(cè)邊進(jìn)行鏤空處理。

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，重新設(shè)計(jì)了圖6 所示的加強(qiáng)筋形式。新結(jié)構(gòu)保持高度和頂板寬度不變，腹板與底板之間的角度為45°，并且除去了底板。經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，去除底板導(dǎo)致垂直于加強(qiáng)筋方向的屈曲強(qiáng)度大大降低，而增加少量支撐能夠大幅提高屈曲強(qiáng)度。因此

表2 拓?fù)鋬?yōu)化約束Tab. 2 Topology optimization constraints

圖5 加筋板拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig. 5 Topology optimization results

圖6 梯形加強(qiáng)筋局部Fig. 6 Part of trapezoidal stiffened plate

構(gòu)建了如圖7 所示有限元模型，去除底板后增加了3 塊均布的支撐板。腹板與底板之間的角度將在后續(xù)做詳細(xì)的討論。

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果建立模型后，利用尺寸優(yōu)化進(jìn)行加筋板的詳細(xì)設(shè)計(jì)，以確定最終尺寸參數(shù)。尺寸優(yōu)化設(shè)定更嚴(yán)格的約束條件，以保證最終優(yōu)化的有效性，具體約束如表3 所示。由于底板表面積降低，均布?jí)毫χ嫡{(diào)整為0.014 MPa，使得總體載荷值略大于之前的載荷，以保證優(yōu)化有效性。在一般工程應(yīng)用中，達(dá)到第1 階屈曲值后，就已經(jīng)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了破壞，所以只約束第1 階屈曲強(qiáng)度。

圖7 輕量化加筋板有限元模型Fig. 7 Lightweight stiffened plate finite element model

表3 尺寸優(yōu)化約束Tab. 3 Size optimization constraints

如表4 所示，優(yōu)化前尺寸參照原加筋板尺寸設(shè)定（面板5 mm，L 型材75×50×5），上下限是在原尺寸的基礎(chǔ)上上下浮動(dòng)。經(jīng)過(guò)尺寸優(yōu)化后，得到表中優(yōu)化后尺寸，考慮到實(shí)際制造過(guò)程中使用沖壓工藝造價(jià)更低，最終確定為厚度5 mm 的均質(zhì)板。

表4 尺寸優(yōu)化變量參數(shù)及優(yōu)化結(jié)果Tab. 4 Variable constraints and optimization results

3.2 優(yōu)化結(jié)果討論

根據(jù)表4 中尺寸優(yōu)化結(jié)果，重構(gòu)有限元模型，在保證載荷不降低的前提下，適當(dāng)調(diào)整載大小和施加位置，重新對(duì)比分析各工況下的優(yōu)化后加筋板的特性參數(shù)，將最終的計(jì)算結(jié)果匯總到表5。

表5 優(yōu)化前后特性對(duì)比Tab. 5 Performance comparison before and after optimization

如表5 所示，所有工況下最大應(yīng)變值都小于原加筋板的計(jì)算值，除工況4 的最大應(yīng)力增大了13 MPa 以外，其他工況的最大應(yīng)力都有所減少，2 個(gè)方向的屈曲強(qiáng)度也有顯著提升，固有頻率增大，在諧響應(yīng)工況下，最大位移降低了0.3 mm，板的質(zhì)量由原139.3 kg降低到112.5 kg，在原基礎(chǔ)上減少了19.2%的重量。工況4 中應(yīng)力出現(xiàn)了大于原加筋板的情況，這是因?yàn)榘逭w厚度比原加筋板減少1 mm，導(dǎo)致點(diǎn)載荷施加在薄板處后，應(yīng)力出現(xiàn)了增大的情況，但是應(yīng)變比原加筋板有所減小，所以認(rèn)為在此工況下為優(yōu)化后強(qiáng)度沒(méi)有降低。

在振動(dòng)特性分析中，優(yōu)化后模態(tài)頻率排列與原加筋板同階振型對(duì)應(yīng)，相同振型對(duì)應(yīng)頻率的增加間接說(shuō)明了加筋板整體剛度的增加質(zhì)量降低，固有頻率向高頻方向的移動(dòng)使得建造后上層建筑的振動(dòng)很容易控制。在諧響應(yīng)分析中，最大振動(dòng)位移降低0.3 mm，即振動(dòng)位移級(jí)峰值降低6 dB，顯示了振動(dòng)控制的有效性。

總體上，優(yōu)化后的加筋板不僅具有較輕的重量，而且具有較高的強(qiáng)度和良好的振動(dòng)特性，能夠廣泛適用于船舶的上層建筑。但由于面板不完整和對(duì)點(diǎn)載荷較敏感的特點(diǎn)，也具有一定的局限性，不適用于船舶外殼和機(jī)艙等位置。

4 腹板與底板的夾角對(duì)板材特性的影響

在新型加筋板設(shè)計(jì)中，腹板與底板的夾角是所有參數(shù)中影響最為復(fù)雜的參數(shù)，也是影響新型板性能的重要參數(shù)，故將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比分析研究。有限元分析中，所有板材均為5 mm，保持頂板寬度及梯形高度不變，以腹板與底板之間的角度α 作為變量，如圖8所示，虛線為改變?chǔ)?后腹板的位置。

圖8 梯形加強(qiáng)筋局部示意圖Fig. 8 Part of trapezoidal stiffener

如圖9 所示，隨著角度的減小，整體重量而減少，變化率略微降低。由于整體厚度的下降，夾角即使在90°的情況下，也相比于原板降低10.2%。

圖9 質(zhì)量變化曲線Fig. 9 Curve of weight change

圖10為最大應(yīng)變隨角度變化曲線圖，工況1 和工況2 趨勢(shì)相同，工況5 和工況6 趨勢(shì)相同，故只展示變化明顯的4 個(gè)工況。隨著角度增加，工況3、工況4和工況5 的最大應(yīng)變呈總體呈上升趨勢(shì)，而在工況2的最大應(yīng)變先略微下降后增加。

圖10 最大應(yīng)變曲線Fig. 10 Maximum strain curve

圖11為最大應(yīng)力隨角度變化曲線圖，由于工況1、工況2 與工況5 趨勢(shì)相同，所以不予展示。在均布載荷的作用下，夾角為60°使最大應(yīng)力突然減小，這是由于隨著夾角的增加，底板面積逐漸增大，為保持總載荷不變，單位面積載荷減小，而角度的增加，也使得腹板對(duì)垂直于底板方向的支撐增強(qiáng)，因此出現(xiàn)了突變，這也導(dǎo)致了除工況4 以外其他工況在60°附近存在一個(gè)最大應(yīng)力極小值；而隨著角度繼續(xù)增加，面積增加所帶來(lái)的強(qiáng)度降低更加顯著，故呈小幅上升趨勢(shì)?？傮w上，角度對(duì)板材各工況下的強(qiáng)度影響輔助，小角度將有助于提高板材的整體強(qiáng)度。

圖11 最大應(yīng)力曲線Fig. 11 Maximum stress curve

如圖12 所示，在屈曲分析中，角度從30°增加到45°垂直加強(qiáng)筋方向的屈曲強(qiáng)度大幅度增加，另一個(gè)方向的屈曲強(qiáng)度則大大降低，而隨著夾角的繼續(xù)增加，兩者均略微有所下降，因此較小角度會(huì)導(dǎo)致一個(gè)方向屈曲強(qiáng)度大大降低，穩(wěn)定性大大降低。

圖12 屈曲強(qiáng)度曲線Fig. 12 Curve of buckling strength

圖13為相同振型的頻率變化和諧響應(yīng)分析峰值頻率和位移曲線。其中最大振動(dòng)位移隨角度增加而增加，增長(zhǎng)率也有所提高，3 個(gè)相同振型的模態(tài)頻率隨著角度的增加而降低。曲線變化情況反映了板材剛度隨角度的增加而減小，這與底板面積的增加而帶來(lái)的相對(duì)剛度的降低和質(zhì)量的增加時(shí)密不可分的。

圖13 模態(tài)頻率變化和諧響應(yīng)最大位移曲線Fig. 13 Maximum displacement curve of harmonious response of modal frequency change

綜上分析，夾角為45°時(shí)，重量、振動(dòng)都得到了很好的控制，2 個(gè)方向的屈曲強(qiáng)度也處于較高水平，強(qiáng)度總體滿足需求。

5 結(jié) 語(yǔ)

以船舶上層建筑的加筋板為研究對(duì)象，開(kāi)展了輕量化設(shè)計(jì)研究工作取得了以下成果：

1）在整體強(qiáng)度不降低前提下，實(shí)現(xiàn)減重19.2%，底板中心激勵(lì)的振動(dòng)最大位移級(jí)峰值降低6 dB，實(shí)現(xiàn)了加筋板的振動(dòng)控制和輕量化協(xié)同設(shè)計(jì)。

2）采用拓?fù)鋬?yōu)化和尺寸優(yōu)化相結(jié)合，在優(yōu)化約過(guò)程中引入諧響應(yīng)分析，并約束分析頻段內(nèi)的最大位移值能夠有效控制振動(dòng)，可避免輕量化所帶來(lái)的振動(dòng)加劇的問(wèn)題。

3）采用上述方法，對(duì)局部特定工作條件下的結(jié)構(gòu)開(kāi)展結(jié)構(gòu)優(yōu)化將獲得更好的效果。