陳寧康，魏 平，高 林，張花國

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731)

發(fā)射單一波形的相控陣?yán)走_(dá)在目標(biāo)檢測、抗復(fù)雜干擾、目標(biāo)參數(shù)估計等方面的性能難以滿足復(fù)雜的實際需求，MIMO 雷達(dá)因其具有波形分集的自由度優(yōu)勢，能夠?qū)崿F(xiàn)上述方面的更優(yōu)性能。MIMO 雷達(dá)發(fā)射方向圖合成是通過設(shè)計發(fā)射波形的模值和相位，將發(fā)射能量聚焦在感興趣的空間方向上，減少發(fā)射能量在其他方向上的分布；而隨著無線通信設(shè)備(尤其是智能移動設(shè)備)的指數(shù)級增長，電磁環(huán)境中的頻譜資源日益擁堵，對雷達(dá)與無線通信設(shè)備的同頻相互干擾的抑制能力，亦即頻譜共存能力也成為設(shè)計發(fā)射波形時必須考慮的重點。

基于MIMO 雷達(dá)發(fā)射方向圖擬合的波形設(shè)計方法主要分為兩步法和一步法兩類。

兩步法即先設(shè)計發(fā)射波形的協(xié)方差陣，再在此基礎(chǔ)上設(shè)計波形矩陣。文獻(xiàn)[1]提出使用半定二次規(guī)劃算法設(shè)計發(fā)射波形協(xié)方差陣來擬合方向圖模板，能達(dá)到最優(yōu)性能，但計算量很大。文獻(xiàn)[2]提出循環(huán)算法擬合方向圖模板，先設(shè)計發(fā)射波形協(xié)方差陣，再設(shè)計發(fā)射波形矩陣。文獻(xiàn)[3]提出的算法在恒模約束和相似性約束下設(shè)計發(fā)射波形，在兼具參考波形性能的前提下具有較好的方向圖擬合效果。

一步法即直接通過方向圖模板匹配設(shè)計發(fā)射波形矩陣。文獻(xiàn)[4]利用傅里葉級數(shù)分解方向圖模板，進(jìn)而使用無約束優(yōu)化設(shè)計發(fā)射波形。文獻(xiàn)[5]利用交替乘子算法設(shè)計恒模發(fā)射波形匹配任意形狀方向圖，達(dá)到了接近最優(yōu)的性能，但針對大快拍數(shù)的發(fā)射波形需求，其計算量較大。文獻(xiàn)[6]將設(shè)計波形擬合方向圖的代價函數(shù)建模為 lp范數(shù)模型，再基于MM(majorization-minimization)算法迭代優(yōu)化匹配系數(shù)與波形，得到低旁瓣、平坦的合成波束圖。

雷達(dá)系統(tǒng)頻譜兼容波形設(shè)計問題一般分為兩類：一類為避開無線通信系統(tǒng)頻段的雷達(dá)波形設(shè)計，此時通信系統(tǒng)受干擾減少，傳輸速率和誤碼率都能得到提升，雷達(dá)系統(tǒng)的探測能力也會更少受到同頻段通信信號干擾；另一類為雷達(dá)與無線通信系統(tǒng)頻段共用。

文獻(xiàn)[7]在多目標(biāo)存在下，通過最小化空－頻域凹陷區(qū)的波形積累能量，完成發(fā)射波形與接收濾波器聯(lián)合設(shè)計，達(dá)到頻譜共存的性能，計算量優(yōu)于半正定松弛方法，但仍隨著陣元數(shù)、采樣數(shù)升高而急劇增高。文獻(xiàn)[8]設(shè)計了模板擬合方法同時滿足頻譜兼容、旁瓣電平的需求，主要思路仍然是每步迭代中使用頻譜模板的加載。文獻(xiàn)[9]提出一種拉格朗日規(guī)劃神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，較好地解決加權(quán)最小二乘擬合頻譜模板的問題，但收斂速率慢，計算量較大。文獻(xiàn)[10]提出基于MM 算法的頻譜擬合迭代優(yōu)化算法，引入頻譜阻帶的懲罰權(quán)向量以及設(shè)計加速收斂方法，能高效靈活地擬合頻譜模板。文獻(xiàn)[11]概述了MM 算法框架，介紹了其基本原理和擴(kuò)展算法，以及在信號處理、通信和機(jī)器學(xué)習(xí)應(yīng)用中問題的解決方案。

總結(jié)相關(guān)文獻(xiàn)，只有極少數(shù)文獻(xiàn)在設(shè)計發(fā)射波形時將波束圖合成與頻譜塑形聯(lián)系起來[12]，但該方法使用矩陣求逆，運(yùn)算量大。這種聯(lián)合優(yōu)化的工程應(yīng)用價值大，既能將輻射能量投送到指定空域，又避免干擾到鄰近頻段的通信系統(tǒng)，以及降低鄰近頻段阻塞式干擾的影響。否則在執(zhí)行雷達(dá)探測任務(wù)時，處在沖突頻段的通信系統(tǒng)的誤碼率性能會受顯著影響，處在沖突頻段的阻塞式干擾也容易使雷達(dá)探測性能惡化。

本文針對聯(lián)合優(yōu)化雷達(dá)發(fā)射波形的方向圖合成性能與頻譜兼容能力，提出基于MM 框架的迭代優(yōu)化算法。首先利用空域和頻域先驗信息，建模波束圖合成與頻譜塑形聯(lián)合優(yōu)化的問題；迭代中，在已知上一步迭代的波形的情況下，更新當(dāng)前步的匹配系數(shù)；再對均方誤差代價函數(shù)進(jìn)行放縮，構(gòu)造替代函數(shù)；進(jìn)而最小化替代函數(shù)，得到當(dāng)前步迭代的最優(yōu)發(fā)射波形。該算法能用較小的計算量得到接近理想的擬合效果。

1 優(yōu)化問題模型

1.1 方向圖合成問題模型

集中式MIMO 雷達(dá)的M 個陣元以間距為d 的均勻線陣形式排列，發(fā)射場景如圖1 所示。

圖1 集中式MIMO 雷達(dá)發(fā)射波形能量聚焦場景

雷達(dá)的發(fā)射波形矩陣為S=[s1,s2,···,sN]，波形快拍數(shù)為N，第n 時刻的陣列空域波形向量為sn=[s1(n),s2(n),···,sM(n)]T。遠(yuǎn)場目標(biāo)位于空間角度θ上，陣列發(fā)射導(dǎo)向矢量為：

陣列發(fā)射波形在空間角度θ處合成的平均功率，亦即方向圖為：

設(shè)空間角度格點數(shù)為G，方向圖模板為pd=[pd(1),pd(2),···,pd(G)]T，空間匹配系數(shù)為 α，則方向圖合成的問題是找到波形滿足代價函數(shù)最小的優(yōu)化問題，其代價函數(shù)可建模為所形成方向圖與方向圖模板之間的均方距離：

恒定模數(shù)約束可防止功率放大器的非線性失真，從而使發(fā)射器的效率最大化。具體而言，將波形矩陣的標(biāo)準(zhǔn)化包絡(luò)寫為：

1.2 頻譜塑形問題模型

陣列各陣元發(fā)射時域信號，即波形矩陣S 的各行的頻譜為FH(S(m,:))T，S(m,:)為波形矩陣的第m 行，傅里葉變換矩陣表示為：

1.3 方向圖合成與頻譜塑形聯(lián)合優(yōu)化問題

設(shè) γ為調(diào)整兩種代價函數(shù)的權(quán)重系數(shù)，聯(lián)合代價函數(shù)是式(3)與式(5)的加權(quán)和：

聯(lián)合優(yōu)化的問題可以表示為：

問題表明需要聯(lián)合考慮發(fā)射波形所形成方向圖與方向圖模板均方距離，以及各陣元發(fā)射波形在頻域上與理想頻譜模板均方距離同時達(dá)到最小。

2 波形設(shè)計算法

2.1 算法推導(dǎo)

2.1.1 匹配系數(shù)更新

代價函數(shù)在第k 次迭代結(jié)果為：

2.1.2 替代函數(shù)的替代優(yōu)化

將式(13)、式(14)代入代價函數(shù)(9)后得到J (S,α(k+1), μ(k+1))，忽略常數(shù)項，對它進(jìn)行最小化的問題可寫成：

忽略常數(shù)項，替代函數(shù)尋優(yōu)的問題寫成：

其中，

由矩陣跡的性質(zhì)，可得：

由二階泰勒展開，式(14)中目標(biāo)函數(shù)的二次項可放縮為替代函數(shù)：

Hessian 矩陣被對角矩陣替代，其系數(shù)為：

忽略常數(shù)項，f1(S)替代函數(shù)優(yōu)化問題為：

一次項為：

f1(S)+f2(S)的替代函數(shù)優(yōu)化問題為：

式(25)中替代優(yōu)化問題寫成矩陣問題：

上述優(yōu)化問題被重構(gòu)為：

其中，

考慮到恒模約束，波形矩陣更新為S=ej∠Ω(k)。

2.2 計算復(fù)雜度分析

3 仿真結(jié)果

本節(jié)對提出的波形設(shè)計算法進(jìn)行數(shù)值算例的仿真。分別在不同場景需求下，模擬算法的方向圖擬合性能與頻譜擬合性能。方向圖擬合的SQP 算法源自文獻(xiàn)[1]。參數(shù)設(shè)置：10 陣元均勻線陣、快拍數(shù)32，方向圖擬合誤差占總誤差比重γ=0.5。單主瓣平頂方向圖主瓣為[-30?,30?]，多主瓣平頂方向圖主瓣為[-50?,-30?]∪[-10?,10?]∪[30?,50?]。第一個頻譜模板的阻帶歸一化頻率范圍為[0.2,0.5]，深度為-20 dB；第二個頻譜模板的阻帶歸一化頻率范圍為[0, 0.061 7] ∪ [0.098 8, 0.246 9] ∪ [0.259 3,0.284 0] ∪ [0.308 6, 0.382 7] ∪ [0.407 4, 0.493 8] ∪[0.518 5, 0.555 6] ∪ [0.938 3, 1]，深度為-20 dB。

3.1 單主瓣平頂方向圖與寬阻帶頻譜聯(lián)合擬合

單主瓣平頂方向圖應(yīng)用場景：空間能量聚焦目標(biāo)區(qū)域為DOA 相對集中的慢變空間范圍。

擬合方向圖的曲線如圖2 所示，本文算法設(shè)計的波形合成的方向圖與SQP 算法合成的方向圖貼近，且本文算法不需要求逆運(yùn)算，計算量較小，對于頻率捷變MIMO 雷達(dá)這類需要不斷重新計算的應(yīng)用具有優(yōu)勢。

頻譜擬合的曲線如圖3 所示，藍(lán)色虛線為頻譜模板，其他顏色為各陣元發(fā)射波形的頻譜。各陣元發(fā)射波形的頻譜在通帶貼近模板，且波紋較??；阻帶電平最淺處達(dá)到-13 dB，最深處超過-30 dB，能夠有效地避免對鄰近無線通信頻段形成干擾。

圖2 單主瓣平頂方向圖擬合結(jié)果

圖3 寬阻帶頻譜擬合結(jié)果

3.2 多主瓣平頂方向圖與多零陷窄阻帶頻譜聯(lián)合擬合

多主瓣平頂方向圖應(yīng)用場景：空間能量聚焦目標(biāo)區(qū)域為DOA 相對分散的多個空間范圍。

擬合方向圖的曲線如圖4 所示，本文算法設(shè)計的波形合成的方向圖與SQP 算法合成的方向圖貼近，旁瓣電平更低，且不需要求逆運(yùn)算，計算量較小，對于頻率捷變MIMO 雷達(dá)這類需要不斷重新計算的應(yīng)用具有優(yōu)勢。

頻譜擬合的曲線如圖5 所示，藍(lán)色虛線為頻譜模板，各陣元發(fā)射波形的頻譜在通帶貼近模板，且?guī)缀鯖]有波紋；阻帶電平最淺處達(dá)到-10 dB，最深處超過-30 dB。靈活多變的頻譜模板設(shè)置，使得雷達(dá)能夠有效地避免對處于模板阻帶頻段的無線通信系統(tǒng)形成干擾，也能降低處于模板阻帶頻段的阻塞式干擾對雷達(dá)探測性能的影響。

圖4 多主瓣平頂方向圖擬合結(jié)果

圖5 多零陷窄阻帶頻譜擬合結(jié)果

4 結(jié) 束 語

本文提出的算法設(shè)計MIMO 雷達(dá)發(fā)射波形，聯(lián)合優(yōu)化方向圖合成性能和頻譜塑形性能。聯(lián)合優(yōu)化問題被建模為加權(quán)均方誤差代價函數(shù)，優(yōu)化問題是非凸非平滑的。首先對優(yōu)化問題的模型進(jìn)行建模，再對均方誤差代價函數(shù)進(jìn)行放縮，構(gòu)造替代函數(shù)；進(jìn)而優(yōu)化替代函數(shù)，得到較小代價函數(shù)值對應(yīng)的波形。本文提出的迭代優(yōu)化算法，具有接近理想的方向圖擬合性能與頻譜擬合性能，且運(yùn)算量小。多個應(yīng)用場景下的仿真和數(shù)值結(jié)果證明了所提方法的有效性。

未來的工作會著重關(guān)注雷達(dá)波形的探測性能，例如自相關(guān)性能、多普勒性能等，將這些性能與方向圖擬合、頻譜擬合聯(lián)合考慮。