郭政鑫，高綺妮，范紫萍，陳清楠，鄭博為，彭 力,2

(1.華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.華南師大(清遠(yuǎn))科技創(chuàng)新研究院有限公司，廣東 清遠(yuǎn) 511517)

熱透鏡效應(yīng)常見于激光照射到晶體或有機(jī)溶液上，已經(jīng)成為物質(zhì)微弱吸收測定的有力工具，熱透鏡焦距則是衡量熱透鏡效應(yīng)的一個重要參數(shù). 探究和認(rèn)識熱透鏡現(xiàn)象也是本科生融會貫通光學(xué)與熱學(xué)知識的有效途徑. 然而，目前對于熱透鏡效應(yīng)的研究主要集中在對于諧振腔介質(zhì)熱透鏡效應(yīng)的分析上，如對Nd：YAG晶體熱應(yīng)力的測算[1]，磁流體光學(xué)特性研究[2]等. 以上工作研究的對象大都是用于工業(yè)的高功率激光器，缺少從實驗教學(xué)的需求出發(fā)，對于熱透鏡焦距影響因素的定量研究，且驗證理論對于實驗條件的要求較為嚴(yán)苛，不適合直接引入到本科課程教學(xué)之中. 因此，探究并總結(jié)低功率激光器在介質(zhì)中的光熱特性可為普物實驗教學(xué)提供實用的理論解釋. 現(xiàn)代有限單元法結(jié)合有限差分法與解析變分法的優(yōu)勢，可高效準(zhǔn)確地獲得微分方程的數(shù)值解，本文將介紹對于低功率激光器的有限元模擬方法，展示介質(zhì)內(nèi)部溫度場分布，從保證實驗可行性的角度出發(fā)，研究低功率激光器熱透鏡焦距與介質(zhì)厚度、吸收系數(shù)以及激光功率等參數(shù)的關(guān)系，與實驗結(jié)果對比符合良好.

1 理論介紹

1.1 熱透鏡效應(yīng)的定性分析

高斯型激光的光強(qiáng)表達(dá)如下式(1)，當(dāng)其透射到有機(jī)溶液時，溶液中的有機(jī)分子吸收了光子而被激發(fā)，再以非輻射的弛豫方式回到基態(tài)，把吸收的全部光能以熱的形式釋放出來[3]. 這種加熱作用導(dǎo)致了在受輻射的溶液局部區(qū)域中產(chǎn)生了呈徑向?qū)ΨQ的溫度分布[4].

I(r)=I0e-r2/w2

(1)

醬油介質(zhì)的折射率函數(shù)與溫度呈負(fù)相關(guān)[5]. 中心溫度高，四周溫度低的溫度場，使得在醬油中在光束軸心處的光程較邊緣短一些(見式(2))，對光束的作用等效于凹透鏡.

ΔD(x,y)=knl(x,y)

(2)

高斯光束經(jīng)凸透鏡匯聚形成焦點，當(dāng)醬油薄片放在光斑焦點后，對高斯光束起發(fā)散作用，遠(yuǎn)場高斯光斑增大.

1.2 激光照射下介質(zhì)內(nèi)熱場分布

我們模擬的系統(tǒng)可由圖1所示，高斯激光經(jīng)過凸透鏡會聚在裝有介質(zhì)的樣品薄片中，主要對介質(zhì)內(nèi)部熱場分布進(jìn)行模擬，借此探究熱透鏡效應(yīng).

圖1 系統(tǒng)示意圖

根據(jù)熱學(xué)分析，穩(wěn)定后介質(zhì)中的溫度分布滿足穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程[6]，由于激光具有軸對稱性，故可以將其化為二維形式:

(3)

其中，T為溫度，r為與光束中心在徑向上的距離，z為光束傳播方向上的距離，λ為介質(zhì)的熱傳導(dǎo)系數(shù).q=q(r,z)為介質(zhì)中的熱源分布，該分布受到激光光強(qiáng)分布影響，高斯光束光強(qiáng)分布可表示為

(4)

以此我們可以寫出激光加熱介質(zhì)時，介質(zhì)內(nèi)部的產(chǎn)熱分布

(5)

其中Pin為激光功率，a和η分別為介質(zhì)的吸收系數(shù)以及熱轉(zhuǎn)化率，l為介質(zhì)厚度.ω(z)為距激光束腰距離為z處的光束半徑，其表達(dá)式為

(6)

其中ω0為光腰處半徑，另外，溫度場還滿足以下邊界條件:

(7)

(8)

其中，h1和h2分別是空氣和醬油的對流換熱系數(shù)，Ta和Tb分別是醬油與空氣的初始溫度.

1.3 熱透鏡焦距的計算

介質(zhì)不同徑向距離處與中心的光程差可以表示為[7,8]

(9)

其中，n為介質(zhì)的折射率分布，它與溫度分布有關(guān)，表達(dá)式為[9]

(10)

T0為介質(zhì)所處的室溫，n0為室溫下的介質(zhì)折射率，β為膨脹系數(shù). 從幾何光學(xué)的角度來說，光程差又可以表示為

(11)

其中f為熱透鏡的等效焦距，聯(lián)立式(10)、(11)就可以得到根據(jù)溫度分布以及折射率分布求解熱透鏡焦距的表達(dá)式:

(12)

由于最終產(chǎn)生的等效透鏡不是完美的球透鏡，不同徑向位置會將光匯聚在不同焦距處(數(shù)值解析都可以證明)，我們將取焦距的平均值作為有效熱透鏡焦距，后文都直接簡稱為熱透鏡焦距.

1.4 有限元法求解溫度場

對于求解微分方程，古典近似計算分為有限差分法與解析變分法兩大門類[10]，有限差分法的特點是引入了離散化的思想，而解析變分法是引入試探函數(shù)并對整個區(qū)域積分的方法. 而現(xiàn)代有限單元法則結(jié)合兩者的優(yōu)勢，能夠高效準(zhǔn)確地獲得微分方程的數(shù)值解，本文就是根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的方法，在軟件中編寫有限元法程序求解1.2中熱傳導(dǎo)方程.

為了更加清晰地說明，將列出數(shù)值模型中所有的參數(shù)，如表1所示.

表1 物理量和符號列表

圖2 求解區(qū)域的選擇與離散化

為了方便處理，這里將溫度場求解區(qū)域設(shè)為過光束圓形直徑的矩形截面，矩形的長和寬分別是光束的光斑直徑以及介質(zhì)的厚度. 根據(jù)有限元法的要求，先將求解區(qū)域的長和寬分別81等分并記錄每一個節(jié)點的坐標(biāo)，再按照規(guī)則將每個小矩形單元劃分成兩個三角形單元，如圖2所示.

有限元法求解溫度場分布的核心是求解(13)式所示的線性代數(shù)方程組，其中系數(shù)矩陣[K]稱為溫度剛度矩陣，[N]稱為非穩(wěn)態(tài)變溫矩陣，矢量{p}是等式右端組成的列向量，而矢量{T}便是由我們要求解的各個節(jié)點的溫度值組成. 由于我們只關(guān)心溫度場穩(wěn)態(tài)時的溫度分布，故[N]項可以不用考慮.

(13)

對于第三類邊界條件的溫度場，根據(jù)有限元法理論有如下關(guān)系，i,j,m分別代表每個三角形單元的3個節(jié)點標(biāo)號，熱源分布q可以通過將節(jié)點坐標(biāo)代入式(5)獲得:

kij=kji=φ(bibj+cicj),

kim=kmi=φ(bibm+cmci),

kjm=kmj=φ(bjbm+cjcm)+hsi/6,

(14)

另外，bi,j,m和ci,j,m是也是節(jié)點坐標(biāo)的函數(shù)，滿足以下關(guān)系:

bi=yj-ym,ci=xm-xj,

bj=ym-yi,cj=xi-xm,

bm=yi-yj,cm=xj-xi

(15)

確定了每個單元的情況就可以合成溫度場的溫度剛度矩陣[K]以及矢量{p}，通過矩陣除法運(yùn)算求解出溫度場矢量{T}.

2 仿真模擬及實驗結(jié)果分析

2.1 介質(zhì)中的溫度場分布

建立好模型后，將:Pin=5.0×10-3W，α=1.0 m-1,η=0.50，T0=300 K，λ=0.30W/(m·K)，ω0=1.0×10-4m，h=200W/(m·K)，r=0.90×10-3m，z0=6.0×10-4m，代入模型可解得介質(zhì)中的溫度分布，如下圖所示.

圖3 介質(zhì)中的溫度分布

從圖中可以看出，低功率激光中心照射區(qū)域介質(zhì)的溫度最高，越靠近光束邊緣或者越深入介質(zhì)溫度越低. 獲得完整的溫度場信息之后，接下來就可以利用溫度分布來求解等效熱透鏡焦距.

2.2 激光功率對熱透鏡焦距的影響

求解出介質(zhì)內(nèi)的溫度分布，可以利用式(10)、(12)計算介質(zhì)的等效熱透鏡焦距. 保持其他參數(shù)不變(同2.1)，探究不同激光功率Pin對熱透鏡效應(yīng)的影響. 仿真和實驗都設(shè)定將介質(zhì)放置在面積固定激光光腰處，又考慮到實驗室直接可以控制的是激光功率，故直接采用激光功率為自變量進(jìn)行研究，為了保證實驗的可操作性以及安全性，我們將最大功率定為10 mW，結(jié)果如下.

從圖4可以看到，隨著功率增大，介質(zhì)軸線的整體溫度逐漸升高，圖5、6中也可以從徑向截面看，隨著功率增大，介質(zhì)整體溫度升高，介質(zhì)的軸線到兩側(cè)的溫度梯度越來越大. 這導(dǎo)致折射率梯度也越來越大，等效熱透鏡焦距減小. 如圖7所示，熱透鏡效應(yīng)更加明顯. 圖8顯示，100～110 mw下熱透鏡焦距變化平緩. 圖7、8相比較，相同功率變化范圍下低功率激光熱透鏡焦距的變化更明顯，推薦選擇10 mW 以下的激光器進(jìn)行實驗.

圖4 不同功率下光束中軸線上介質(zhì)的溫度分布

圖5 不同功率下介質(zhì)中徑向的的溫度分布

圖6 不同功率下介質(zhì)中徑向的的溫度梯度

圖7 不同功率熱透鏡焦距

圖8 功率100～110mW下熱透鏡焦距變化參考

2.3 不同介質(zhì)特性對熱透鏡焦距的影響

除了激光功率以外，介質(zhì)的種類也是影響熱透鏡效應(yīng)的關(guān)鍵因素之一. 我們選擇不同介質(zhì)，進(jìn)行以下討論.

2.3.1 吸收系數(shù)對熱透鏡焦距的影響

保持其他條件不變，取不同的吸收系數(shù)，以模擬不同的液體介質(zhì)濃度對于熱透鏡焦距的影響，結(jié)果如圖9所示.

圖9 熱透鏡焦距與熱吸收率的關(guān)系

模擬結(jié)果顯示，在低功率激光作用下，隨著介質(zhì)吸收率的升高，熱透鏡焦距絕對值呈現(xiàn)線性降低趨勢.

2.3.2 厚度對熱透鏡焦距的影響

探究不同介質(zhì)厚度對于低功率激光熱透鏡效應(yīng)的影響，同樣保持其他條件不變，將從0.01 mm開始逐漸增加介質(zhì)厚度，模擬出對應(yīng)的熱透鏡焦距如圖10. 另外需對厚度進(jìn)行限制，因為模型難以考慮介質(zhì)散射及吸收對熱透鏡效應(yīng)的影響，不一定對厚的液體介質(zhì)適用.

從結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，介質(zhì)厚度逐漸增加的過程中，熱透鏡焦距并沒有呈現(xiàn)一個單調(diào)變化的趨勢，而是在一個厚度處出現(xiàn)了一個極值. 從圖10中極值點附近取三個厚度的介質(zhì)，分別繪制光束中心線上的溫度分布，如圖11所示.

圖10 熱透鏡焦距與厚度的關(guān)系

圖11 不同厚度介質(zhì)光束中軸線上的溫度分布

可見厚度為0.01 mm的介質(zhì)雖然比厚度為0.02 mm的介質(zhì)與激光作用的距離短，但是由于厚度較小，介質(zhì)可被激光充分加熱，同時在邊界散熱較快，故具有更大的溫度梯度，導(dǎo)致熱透鏡焦距絕對值更小. 而厚度超過0.02 mm的介質(zhì)，雖然激光功率不足以充分加熱整塊介質(zhì)，但隨著厚度的增加，因等效熱透鏡的累計效應(yīng)，熱透鏡焦距絕對值也會呈現(xiàn)減小趨勢.

因此，若出現(xiàn)熱透鏡效應(yīng)較不明顯的情況，可以適當(dāng)減小或者增加介質(zhì)厚度. 但介質(zhì)厚度不宜過厚，過厚的介質(zhì)會對激光產(chǎn)生較強(qiáng)的吸收和散射，導(dǎo)致透過介質(zhì)的光線很弱，不易觀察和測量.

3 實驗驗證

為了驗證仿真結(jié)果的可靠性，設(shè)計并搭建可以測量介質(zhì)等效熱透鏡實驗平臺，使用不同濃度及厚度的介質(zhì)進(jìn)行驗證實驗.

3.1 熱透鏡焦距的測量

實驗過程為，首先利用刀口法[11]測量激光透射介質(zhì)后在光屏留下的光斑半徑，再測量各光學(xué)器件之間的距離，利用光學(xué)矩陣法[12]就可以根據(jù)以上參數(shù)計算出熱透鏡的等效焦距. 實驗流程如圖12所示.

圖12 實驗裝置示意圖

3.2 介質(zhì)參數(shù)的控制

為了能夠驗證熱透鏡焦距與介質(zhì)熱吸收率以及厚度的關(guān)系，制作不同濃度以及厚度的介質(zhì)樣品. 容納介質(zhì)的容器是由兩片薄玻片間夾U型薄膜制成，介質(zhì)選用商業(yè)醬油[12]，如圖13所示. 調(diào)節(jié)介質(zhì)的濃度便可調(diào)控?zé)嵛章剩{(diào)控U型薄膜的層數(shù)便可控制介質(zhì)厚度.

圖13 不同參數(shù)的介質(zhì)樣品

3.3 實驗結(jié)果

3.3.1 熱吸收率對熱透鏡焦距的影響

采用一組等濃度梯度變化的介質(zhì)溶液進(jìn)行實驗，得到熱透鏡焦距變化如圖14， 其中介質(zhì)厚度均為0.1 mm，各組介質(zhì)占與純水混合溶液的濃度分別為20%～100%. 實驗結(jié)果大致與理論分析符合，焦距呈線性變化. 由于實驗時容器玻片會對入射激光產(chǎn)生一定反射，損失部分能量，故熱透鏡焦距會與理論值存在一定的差距.

圖14 熱透鏡焦距與熱吸收率的關(guān)系

3.3.2 厚度對熱透鏡焦距的影響

取介質(zhì)濃度均為100%，制作厚度分別為0.01、0.02、0.03、0.05、0.07 mm的介質(zhì)樣品進(jìn)行多次測量熱透鏡焦距，結(jié)果與模擬值趨勢大致相同，誤差同樣主要來自玻片對光束的反射.

圖15 熱透鏡焦距與厚度的關(guān)系

3.4 研究結(jié)論

根據(jù)以上討論，對于搭建低功率激光熱透鏡實驗系統(tǒng)，可以給出一些建議. 首先在激光功率的選擇方面，在保證安全范圍內(nèi)盡量選擇更大功率，建議選用10 mW以下的低功率激光器. 在介質(zhì)選擇上，選擇熱吸收系數(shù)較高的介質(zhì)會有更好的效果，在熱透鏡效應(yīng)不明顯時可適當(dāng)增加介質(zhì)厚度. 目前已知在低功率激光熱透鏡特性良好的介質(zhì)有聚吡咯甲烯-聚乙烯醇復(fù)合材料[5]、鎳合金薄膜[13]，2-(5-溴-2-吡啶偶氮)-5-二甲氨基苯胺[14]等.

4 總結(jié)

本文介紹了利用有限元法模擬低功率激光器熱透鏡效應(yīng)的方法，并且利用該方法獲得了介質(zhì)內(nèi)的溫度場分布. 除此之外，本文還探討了介質(zhì)熱吸收率、厚度以及激光功率對于低功率激光器熱透鏡效應(yīng)的影響，得出了熱透鏡焦距隨激光功率增加絕對值減小，隨著介質(zhì)熱吸收率上升絕對值減小，不隨介質(zhì)厚度變化而單調(diào)變化的結(jié)論，實驗與模擬符合良好. 為采用不同激光器以及介質(zhì)進(jìn)行實驗教學(xué)設(shè)計提供了理論參考.