周國(guó)全

(武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

兩列或若干列相干光波，頻率相同，位相差恒定，振動(dòng)方向一致，就能在空間相遇時(shí)相互疊加，產(chǎn)生光的干涉現(xiàn)象，其表現(xiàn)是在某些區(qū)域始終加強(qiáng)，在另一些區(qū)域則始終削弱，形成穩(wěn)定的強(qiáng)弱分布相互間隔的現(xiàn)象. 干涉現(xiàn)象是波動(dòng)獨(dú)有的特征. 不同的光學(xué)干涉裝置就是用不同的方式滿足干涉條件[1-11]. 相干光束的產(chǎn)生方式分為波前分割式與振幅分割式；依據(jù)干涉光束的數(shù)量分類，又分為雙光束干涉與多光束干涉；而依據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與光程差函數(shù)的等值變量來(lái)分類，則分為等傾干涉與等厚干涉兩種類型，例如Michelson干涉儀和Fabry-Perot(F-P)干涉儀. 文獻(xiàn)[5-8]論述了若干等厚干涉裝置及其變異的干涉結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[9-11]描述了兩種分振幅式多光束等傾干涉結(jié)構(gòu)——大頂角等腰劈與矩形腔干涉結(jié)構(gòu)，而一般教科書(shū)中的等傾干涉是利用擴(kuò)展光源照射在厚度不變的薄膜上產(chǎn)生的多光束干涉現(xiàn)象，不同級(jí)序的干涉條紋對(duì)應(yīng)不同的傾角. 文獻(xiàn)[12-15] 介紹了幾種干涉結(jié)構(gòu)的若干應(yīng)用問(wèn)題. 本文依據(jù)幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)的原理，介紹和分析了一種具有正三角形結(jié)構(gòu)并能產(chǎn)生雙光束等傾干涉的光學(xué)裝置, 但它又不同于文獻(xiàn)[9-11]和教科書(shū)中的平行膜多光束干涉方式. 我們推導(dǎo)了正三角形干涉裝置的光程差的公式及其干涉斑紋的亮暗極值條件，解析推導(dǎo)并分析了其干涉斑紋的分布規(guī)律，并在結(jié)語(yǔ)中提出尚待解決的若干開(kāi)放的問(wèn)題.

1 正三角形光學(xué)腔雙光束干涉光路圖

如圖1-圖4所示是一種正三角形光學(xué)腔ΔABC, 邊長(zhǎng)為a，其中AB是全反射鏡，AC、BC是兩塊相同的能夠部分反射部分透射的平板光學(xué)玻璃, 但BC被截去一半，BO=BC/2=a/2，且腔內(nèi)外空氣媒質(zhì)的折射率為n0?1.00. 一般用于光學(xué)干涉實(shí)驗(yàn)的無(wú)膜平板玻璃，標(biāo)稱厚度大約5 mm左右. 當(dāng)一束真空波長(zhǎng)為λ的光線I以任意入射角i(入射光束被限制在30°左右)，并在BO上任意點(diǎn)P入射，腔外得到反射線I′，腔內(nèi)部分經(jīng)各邊順次反射之后形成反射回路PP1→P1P2→P2P3，其中腔內(nèi)反射線P2P3(即I″ )交OC于P3；當(dāng)入射光束被限制在入射角i=30°左右很小范圍，經(jīng)兩次折射與反射后的出射光I″(P2P3)不經(jīng)過(guò)光學(xué)玻璃BO，直接射出并和反射光

圖2 入射角i略大于30°的光路圖

交于圖1、圖2中的D點(diǎn), 或圖3、圖4中的無(wú)窮遠(yuǎn)處(或凸透鏡的焦點(diǎn)).

圖3 左入射i=30°時(shí)的光路圖

圖4 右入射i=30°時(shí)的光路圖

如圖1—圖4所示，首先可證：當(dāng)入射角i略小于30°，此時(shí)反射光線I′與反射光線I″ (即P2P3) 的反向延長(zhǎng)線交于AB上側(cè)D點(diǎn)；當(dāng)入射角i略大于30°，反射光光線I′與反射光線I″的延長(zhǎng)線交于BC下側(cè)D點(diǎn)；當(dāng)入射角i=30°，反射光線I′與反射光線I″平行, 交于凸透鏡焦點(diǎn)D′或D″點(diǎn)(分別從法線左右兩側(cè)入射時(shí)) .

這是因?yàn)棣BC為等邊三角形，∠A=∠B=∠C=60°，根據(jù)反射定律，P1處入射角為60°-i；P2處入射角為i, 且 ∠PP1C=30°+i；∠PP1P2=2(60°-i)； ∠AP1P2=∠PP1C=30°+i；∠P1P2P3=2i. 如圖1所示，當(dāng)入射角i略小于30°，在ΔPP3D中, ∠DPP3=90°+i；∠DP3P=30°+i；最后推得∠PDP3=2(30°-i)；此式表明，當(dāng)入射角i略小于30°，則∠PDP3=2(30°-i)>0°，說(shuō)明此時(shí)反射光線I″與反射光線I′的反向延長(zhǎng)線交于AB上側(cè)D點(diǎn)，如圖1所示.

當(dāng)入射角i略大于30°，此時(shí)若按圖1計(jì)算，則得∠PDP3=2(30°-i)<0°，矛盾，故交點(diǎn)D不應(yīng)在AB上方腔外，而應(yīng)在BC下方的D點(diǎn)；如圖2所示，在ΔPP3D中, ∠DPP3=90°-i，∠DP3P=150°-i，此時(shí)∠PDP3=2(i-30°)>0，可知反射光線I″與反射光線I′的延長(zhǎng)線確實(shí)交于BC下側(cè)的D點(diǎn).

特別地，當(dāng)入射角i=30°，并從法線左側(cè)入射，則∠PDP3=2(30°-i)=0°，交點(diǎn)D趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)反射光線I″與反射光線I′平行，通過(guò)凸透鏡相交并干涉于其焦平面上D'點(diǎn)，如圖3所示. 而當(dāng)入射角i=30°，并從法線右側(cè)入射，∠PDP3=2(30°-i)=0°，交點(diǎn)D趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)反射光線I″與反射光線I′平行，通過(guò)凸透鏡相交并干涉于其焦平面上D″點(diǎn)，如圖4所示.

2 光程差公式與干涉條件

其次可證，無(wú)論反射光線I″與反射光線I′相交于D點(diǎn)，或無(wú)窮遠(yuǎn)處，其幾何光程差都與入射點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，亦即與BP=x無(wú)關(guān)，而僅依賴于入射角i及ΔABC的邊長(zhǎng)a，因而滿足雙光束等傾干涉條件. 以入射角i略大于30°的圖2情形為例，我們推導(dǎo)交點(diǎn)D處的光程差ΔL及相位差δ的表達(dá)式，并討論其干涉條紋的亮暗條件. 從P點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算光程差，反射光I′的表觀光程為PD，透射光的表觀光程為PP1+P1P2+P2P3+P3D+Δ0，光程差為

ΔL=PP1+P1P2+P2P3+P3D+Δ0-PD+λ/2

(1)

其中計(jì)入了反射半波損失，而來(lái)自于半透型平板光學(xué)玻璃BO內(nèi)的光線穿過(guò)一定傾斜路徑(設(shè)長(zhǎng)為h) 所帶來(lái)的附加光程，n為半透型平板光學(xué)玻Δ0=nh璃的折射率. 它給相位差δ帶來(lái)一個(gè)常數(shù)附加δ0=2πnh/λ. 這只會(huì)給干涉斑點(diǎn)或條紋帶來(lái)級(jí)序或位置的平移變化，不影響干涉場(chǎng)整體的相對(duì)分布規(guī)律.

根據(jù)光線反射定律與平面幾何知識(shí)：∠PP1C=30°+i；∠PP1P2=2(60°-i)；∠AP1P2=∠PP1C=30°+i；∠P1PC=90°-i；∠PP1C=30°+i；∠AP1P2=∠PP1C=30°+i；∠AP2P1=90°-i；∠BP2P3=∠AP2P1=90°-i；∠BP3P2=30°+i；∠DPP3=90°-i；∠DP3P= 150°-i；∠PDP3=2(i-30°)， 在三角形ΔPP1C，ΔAP1P2，ΔBP2P3和ΔPP3D中分別運(yùn)用正弦定律，并設(shè)BP=x，則PC=a-x，可分別求得：

(2)

(3)

(4)

P3D=PP3cosi/sin2(i-30°)

(5)

PD=PP3sin(30°+i)/sin2(i-30°)

(6)

PP3=(2a-x)cosi/sin(30°+i)-(x+a)

(7)

(8)

將上述式(2)—式(6)代入光程差ΔL式(1), 及相位差公式δ=2πΔL/λ，并做整理可得

(9)

(10)

特別地，當(dāng)i=30°，即如圖3、圖4所示的情形，光程差ΔL與相位差δ分別為:

ΔL=3a/2+λ/2+Δ0；δ=3πa/λ+π+δ0

(11)

顯然光程差ΔL、相位差δ僅和入射角有關(guān)，并隨入射角i而變，而與BP=x無(wú)關(guān)，即與入射點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).

綜上所述，如圖2所示，腔內(nèi)外的兩束反射光相交于D點(diǎn)，兩束光的波長(zhǎng)與頻率相同，并具有僅依賴于入射角與邊長(zhǎng)的一定的光程差，滿足雙光束相干條件，應(yīng)能觀察到定域于D點(diǎn)的亮暗干涉斑紋；由于入射角相同，光程差就相同, 從而形成雙光束等傾干涉現(xiàn)象. 對(duì)于級(jí)序?yàn)閗的亮暗干涉斑點(diǎn)，當(dāng)

ΔL=kλ，δ=2kπ，k∈N，亮斑.

(12)

ΔL=(k+1/2)λ，δ=2kπ，k∈N，暗斑.

(13)

其中N為正整數(shù)集合. 前述分析表明，當(dāng)光束以i>30°入射時(shí)，而當(dāng)光束以i<30°入射時(shí)，可憑肉眼逆著出射線，在圖1中的D點(diǎn)處觀察到干涉斑紋. 實(shí)際上圖1、圖2兩種情形，也可使用凸透鏡，在透鏡后觀察到定域于某點(diǎn)的干涉斑紋(D點(diǎn)經(jīng)透鏡的成像點(diǎn)). 而當(dāng)i=30°，如圖3所示(法線左側(cè)入射)，或如圖4所示(法線右側(cè)入射)，此時(shí)運(yùn)用凸透鏡，兩束平行光匯聚并干涉于其焦平面上D′或D″點(diǎn). 綜上所述，在圖1—圖4所示之4種情形，均可用凸透鏡觀察到干涉斑紋.

3 干涉場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)與對(duì)比度分析

(14)

(15)

其中R=r2是半透型光學(xué)玻璃的能量反射系數(shù). 可知D點(diǎn)處的干涉場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)ID為

(16)

(17)

從AC膜處透射出去的光強(qiáng)IT為

(18)

根據(jù)式(16)中ID的表達(dá)式，當(dāng)cosδ=±1時(shí)，其極大與極小值分別為:

IDmax=I0R(2-R)2；IDmax=I0R3

(19)

其中R∈[0,1]，IDmax(R)的極大值為32I0/27(當(dāng)R=2/3時(shí)), 最小值為零；IDmax(R)的最大值為I0，最小值為零. 點(diǎn)D處干涉斑紋的明暗對(duì)比度η為

(20)

上式表明，增大玻璃板的能量透射系數(shù)，或者減小平板玻璃表面的能量反射系數(shù)R，都能增加干涉斑紋的明暗對(duì)比度; 但是結(jié)合干涉場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式(16)、(19)，可知能量反射系數(shù)R也不能太小，否則干涉場(chǎng)強(qiáng)ID直接趨于零了. 到底R(shí)多小為宜？顯然R的選取應(yīng)在增強(qiáng)明暗對(duì)比度η與增強(qiáng)條紋最大光強(qiáng)IDmax的兩難選擇之間達(dá)到某種平衡.

4 干涉斑紋的位置分布及其間隔

仍以入射角i>30°，i≈30° 的圖2情形為例，如圖2所示，取BC邊為直角坐標(biāo)系的X軸，點(diǎn)B為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)B的Y軸垂直于BC邊并朝下(為方便起見(jiàn)，選定左手系). 不妨設(shè)Δ0=0，設(shè)第k級(jí)暗斑Dk的入射角為ik, 則

(21)

可求出

cos(ik-30°)=3a/2kλ

(22)

由此可知干涉級(jí)序k值受限于3a/2kλ≤1；k∈, 即kmin=[3a/2λ]，中括弧意即圓整為整數(shù). cos(ik-30°)=1即相應(yīng)于ik=30°的平行光干涉的情形(D點(diǎn)趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處，用凸透鏡可觀察干涉現(xiàn)象)，此時(shí)具有最低干涉級(jí)序kmin. 注意為使反射光線P2P3(I″)能在OC之間無(wú)障礙射出，i，x須滿足條件:

a/2≤BP3=x+PP3≤a

(23)

可得P點(diǎn)位置x的極大值

(24)

及其允許范圍0≤x≤xmax≤a/2, 由此可得其實(shí)驗(yàn)觀察允許的入射角范圍為

16.10°≤ik≤43.90°

(25)

具體而言，圖2情形(ik≥30.00°)的實(shí)像干涉情形的允許入射角范圍為

30°≤ik≤43.90°

(25)

而圖1所示(ik<30.00°)的虛像干涉情形的允許入射角范圍為

16.10°≤ik<30.00°

(26)

由式(22)又可求出

(27)

(28)

則干涉場(chǎng)的暗斑Dk的坐標(biāo)(Xk,Yk)為

Xk(x,i)=x+PDsinik=

(29)

Yk(x,ik)=PDcosik=

(30)

從式(29，30)易知Dk的含參數(shù)的軌跡方程為

Xk(x,ik)=x+Yk(x,ik)tanik

(31)

由于相位差與P點(diǎn)位置即x無(wú)關(guān)，再由式(27-29)可知，在ik不變時(shí)，入射點(diǎn)P的平移不會(huì)改變干涉級(jí)序k值，但第k級(jí)暗斑的位置將在一條直線段上連續(xù)移動(dòng)，形成暗紋，如圖5所示.

圖5 第k級(jí)暗斑隨入射點(diǎn)x的移動(dòng)而形成暗紋(干涉級(jí)序k=119100；a=0.05 cm；ik=36.65°)

另一方面，在保持入射點(diǎn)P不動(dòng)，即x不變的條件下，改變?nèi)肷浣莍，使之滿足不同級(jí)序k的暗斑條件i=ik,k=119100+i,i=0,1,2,…7；取定腔體邊長(zhǎng)數(shù)a=5 cm；入射點(diǎn)x=a/4；入射波長(zhǎng)λ=632.8 nm，用軟件繪制出暗斑分布圖Xk(ik)-Yk(ik)，如圖6所示. 尤須指出，從式(31)可知, 因?yàn)閠anik隨不同級(jí)序k值而變，Xk(ik)與Yk(ik)之間并不是線性關(guān)系，斑點(diǎn)的分布圖形嚴(yán)格而言并不是直線，但由于圖6中所取的k值范圍使得式(31)中tanik近似不變，因此不同級(jí)序干涉斑點(diǎn)分布的局部軌跡近似于一段直線.

圖6 固定入射點(diǎn)x時(shí)，不同級(jí)序斑點(diǎn)的分布圖(參數(shù)a=5 cm, λ=632.8 nm；x=a/4；斑點(diǎn)級(jí)序：k=119100+i; i=0,1,2,…，7；入射角近35)

下面再計(jì)算相鄰第k級(jí)、k+1級(jí)干涉暗斑的間隔dk=DkDk+1，即Dk(Xk(x,ik),Yk(x,ik))與Dk+1(Xk+1(x,ik+1),Yk+1(x,ik+1))的間距dk為

dk(x,a,λ;k)=DkDk+1=

(32)

將式(29，30)分別代入tanik=sinik/cosik及式(32)，即得距離dk的嚴(yán)格解析表達(dá)式；而式(32)僅在tanik?tanik+1的情況下近似成立.

前述間距公式表明：相鄰干涉斑點(diǎn)的間隔與級(jí)序k值或入射角(ik,ik+1)有關(guān)，并與x,a,λ有關(guān). 如欲使干涉斑紋肉眼可辨，須使相鄰斑紋的間隔dk(x,a,λ;k)≥1 mm; 這就是腔體尺寸a與波長(zhǎng)λ、級(jí)序k所須滿足的條件. 如果相鄰斑紋的間隔很小，則須用讀數(shù)顯微鏡進(jìn)行觀測(cè). 為使讀者有一個(gè)簡(jiǎn)單而直觀的印象，不妨取λ=632.8 nm, 在不用凸透鏡觀察的情況下，我們分別在三種情形給出如下參考數(shù)據(jù)：1)a=5 cm(宏觀情形)，入射點(diǎn)P在BO的中點(diǎn):x=a/4,k=119100，ik=35.65°，斑紋位置在Dk(5.46 cm,5.87 cm)；相鄰條紋間隔dk=8.29 cm；2)a=7.5 μm (微觀情形)，x=a/8，k=18，ik=39.01°，斑紋位置在Dk(7.1 μm,7.7 μm)；相鄰條紋間隔dk=9.5 μm；3) 而對(duì)于腔體邊長(zhǎng)a=1 mm的中間尺度情形x=a/4，k=2371，ik=31.27°，斑紋位置在Dk(3.0 mm,7.7 mm)；相鄰條紋間dk=9.1 mm, 顯然肉眼可辨. 另一方面，理論分析與計(jì)算表明，在保持a，λ及入射點(diǎn)x不變的前提下，隨著級(jí)序k值增加，入射角ik也增加，斑紋坐標(biāo)值減小，斑紋位置離裝置(入射點(diǎn)P)越近，斑紋處相鄰條紋間隔也越?。环粗?，隨著k值和入射角ik(從最大允許入射角43.9)逐漸減小，斑紋位置離裝置(入射點(diǎn)P)越遠(yuǎn)，斑紋處相鄰條紋間隔dk也越大，直至ik減小至30°，斑紋位置趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)干涉級(jí)序k值有最小值，kmin=[3a/2λ]，一般用凸透鏡觀察平行光的干涉現(xiàn)象，如圖3、圖4所示.

5 可能的應(yīng)用前景

這種干涉結(jié)構(gòu)不僅在光學(xué)科研與教學(xué)方面具有理論研究的意義，而且具備技術(shù)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)可能性. 在以i=30°入射時(shí)，根據(jù)其光程差公式與干涉斑點(diǎn)亮暗條件(11-13)，如能讓平板玻璃AC沿著B(niǎo)C方向(X軸方向)平移，或者讓BO光學(xué)板沿著垂線AO方向(Y軸方向)平移，就能在各自平移過(guò)程中保持ABC為正三角形. 如此則通過(guò)D(D′、D″)處干涉斑點(diǎn)的吞吐數(shù)目ΔN，配置以機(jī)械傳動(dòng)裝置，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)邊長(zhǎng)AB方向和高線AO方向位移的光學(xué)傳感，精度可達(dá)1 μm；如果在記錄亮(暗)斑吞(吐)的數(shù)目ΔN的同時(shí)又記錄其所花時(shí)間Δt，則可同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)二維微位移速度的傳感測(cè)量. 而且這種等邊三角干涉裝置結(jié)構(gòu)對(duì)稱，操作簡(jiǎn)便. 當(dāng)然這種干涉結(jié)構(gòu)對(duì)其位移傳感量程的限制，在于不能讓光線超出各自的合理范圍或者逸出透鏡的接收孔徑.

另一方面，對(duì)于給定尺寸的正三角結(jié)構(gòu)光學(xué)干涉腔，按照?qǐng)D3、圖4的i=30°單色平行光入射方式實(shí)現(xiàn)雙光束干涉，也可以根據(jù)干涉明暗條件(11-13)，很方便地測(cè)定入射光波長(zhǎng)，或者反過(guò)來(lái)測(cè)定正三角形光學(xué)腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)——邊長(zhǎng)a或高線長(zhǎng). 對(duì)于非30°入射情形的可能應(yīng)用，尚有待于作者的繼續(xù)研究與讀者的發(fā)現(xiàn).

6 結(jié)語(yǔ)

研究表明，本文給出的正三角形干涉結(jié)構(gòu)，當(dāng)光線在i～30°附近入射的情況下，確實(shí)能夠發(fā)生雙光束干涉現(xiàn)象. 當(dāng)i=30°時(shí)，干涉場(chǎng)定域于無(wú)窮遠(yuǎn)，可以運(yùn)用凸透鏡觀測(cè)；當(dāng)i≠30°時(shí)干涉場(chǎng)定域于有限遠(yuǎn)處，也可在凸透鏡后側(cè)觀察到干涉斑紋. 本文推導(dǎo)了正三角形雙光束干涉結(jié)構(gòu)的光程差與相位差、及干涉場(chǎng)強(qiáng)與對(duì)比度的公式，分析討論了干涉斑紋的極大與極小條件及其觀察方法，定量地推導(dǎo)與分析了干涉斑紋的分布規(guī)律，特別是相鄰條紋間隔公式，并討論了其可能的應(yīng)用前景.

當(dāng)然，由于時(shí)間與經(jīng)費(fèi)的限制，我們目前的研究還僅限于入射光線在正三角腔的橫截面(即紙面)情形的初步理論探索. 后續(xù)的工作將專注于實(shí)驗(yàn)對(duì)理論的檢驗(yàn)工作，以及隨之而來(lái)的一個(gè)自然產(chǎn)生的問(wèn)題：當(dāng)入射角ik～30°，且在保持ik不變的情況下，入射光線繞法線旋進(jìn)若干角度，干涉斑紋又將如何變形？這個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題，留待感興趣的同仁賜教.