馮仕猛

(上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院，上海 200240)

平衡狀態(tài)下的理想氣體分子以不同的速度運(yùn)動(dòng)，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都不斷地改變，使分子具有各種速度.因?yàn)榉肿訑?shù)目很大，分子速度的大小和方向是無規(guī)的，所以無法知道具有確定速度u的分子數(shù)是多少,但可知道速度在u1與u2之間的分子數(shù)是多少.1859年，麥克斯韋首先獲得氣體分子速度的分布規(guī)律：在平衡狀態(tài)下，忽略氣體分子間相互作用,分布在任一速率區(qū)間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率滿足一定的分布，這就是麥克斯韋速率分布.

麥克斯韋速率分布函數(shù)的推導(dǎo)比較復(fù)雜，許多教材僅僅給出分布函數(shù)的表達(dá)式，很少涉及具體的詳細(xì)推導(dǎo)過程[1-3].文獻(xiàn)報(bào)道的一些推導(dǎo)方法[4-6],但初學(xué)習(xí)者學(xué)完仍然難以借助該推導(dǎo)來有效記住其表達(dá)式和理解其物理意義，物理教學(xué)不應(yīng)該僅僅介紹一些結(jié)論性的公式，而應(yīng)該把這些公式對(duì)應(yīng)的物理圖像和邏輯推理給學(xué)生解析清楚.只有這樣，學(xué)生才能把知識(shí)學(xué)活并能進(jìn)一步地把握更深層次的物理規(guī)律,為他們將來創(chuàng)新性學(xué)習(xí)和工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

本文利用速度空間的概念，通過創(chuàng)新性地排列組合法來推導(dǎo)麥克斯韋速度分布律.由于這種方法獨(dú)特、簡(jiǎn)單,物理圖象清楚,學(xué)生課后的反響比較好，得到絕大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)可.

1 理論推導(dǎo)

首先,假定體積為V的容器內(nèi)一定量的理想氣體處于平衡態(tài)下,氣體總分子數(shù)為N.分子的速率分別是v1、v2、v3、…、vi,每個(gè)速率對(duì)應(yīng)的分子數(shù)分別為N1、N2、N3、…、Ni,而且每個(gè)分子是可以區(qū)分的，則根據(jù)排列組合原理，其總的微觀狀態(tài)分布數(shù)為

(1)

因?yàn)閷?duì)于有速度大小為vi的氣體分子，如果它在某時(shí)刻在空間的某一位置可以往任意方向運(yùn)動(dòng)，它往每個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率都是相同的.這樣就能給出以速率vi為半徑的速度球(速度空間)，速度球表面上的每一個(gè)點(diǎn)都是該氣體分子可能出現(xiàn)的一種狀態(tài)，該表面積與單位厚度構(gòu)成的球殼體積就是該氣體分子在此速率vi與vi+dvi(dvi=1)之間可以選擇的狀態(tài)數(shù)多少，如圖1所示.

圖1 速度球模型

如果分子速率分別是v1、v2、v3、…、vi,對(duì)應(yīng)分子數(shù)分別為N1、N2、N3、…、Ni,，單個(gè)分子對(duì)應(yīng)的狀態(tài)數(shù)分別是：

(2)

因此，式(1)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)就進(jìn)一步修正為

(3)

利用lnN!=NlnN-N，對(duì)式(3)兩邊取對(duì)數(shù)得

(4)

將式(4)簡(jiǎn)化為

(5)

然后對(duì)式(5)兩邊求偏導(dǎo)數(shù)得到

(6)

令

(7)

式(7)中U是系統(tǒng)的總動(dòng)能，Ei是速率vi為單個(gè)分子的動(dòng)能，對(duì)式(7)兩邊求偏導(dǎo)數(shù)得到

(8)

利用拉郎隔日法，設(shè)函數(shù)：

W=lnΩ+αG+βh

(9)

式中α、β是常數(shù).對(duì)式(9)兩邊再求偏導(dǎo)數(shù)得到

(10)

將式(6)和(8)帶入到式(10)中得到

(11)

當(dāng)式(11)為0時(shí)，對(duì)應(yīng)的Ω極大值，也就是平衡態(tài)下概率最大的一種分布.利用

(12)

從式(12)可以得到

(13)

令C=e-α，因?yàn)棣潦浅Ａ浚訡是常量.由于系統(tǒng)總的分子數(shù)不變，所以

(14)

(15)

(16)

因?yàn)槭?16)中速度空間球殼的厚度為1，所以對(duì)于單個(gè)氣體分子，根據(jù)概率分布的定義，其對(duì)應(yīng)的概率分布為

(17)

根據(jù)動(dòng)量和沖量的關(guān)系，理想氣體平衡狀態(tài)下溫度與方均根速率關(guān)系[7]，可以得如下關(guān)系式：

(18)

(19)

式(19)就是經(jīng)典的麥克斯韋速率分布函數(shù)，與經(jīng)典教材上給出的表達(dá)式相同，但其推導(dǎo)過程所對(duì)應(yīng)的物理意義比較清楚，而且推導(dǎo)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)并不復(fù)雜，低年級(jí)大學(xué)生基本能完整的理解，這對(duì)于他們正確理解麥克斯韋速率分布是非常有用的.

2 討論

本文的推導(dǎo)相對(duì)比較簡(jiǎn)潔、物理圖像比較清楚，但有幾點(diǎn)需要特別說明如下：

1) 利用本論文的推導(dǎo)方法給出麥克斯韋速率分布函數(shù)，教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)是怎么理解速度空間的概念.筆者在教學(xué)中，舉了一個(gè)簡(jiǎn)單的例子闡述這個(gè)概念的物理意義，如一個(gè)人站在一個(gè)很大的廣場(chǎng)中央，他可以選擇任意方向運(yùn)動(dòng)，如果每秒跑10米，讓學(xué)生思考有多少個(gè)選擇的方向.然后讓學(xué)生想象一下：以起跑點(diǎn)為圓心，速度為半徑畫一個(gè)園，其周長(zhǎng)上的任意一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)學(xué)生可以選擇的運(yùn)動(dòng)方向，選擇的總方向數(shù)就等于周長(zhǎng).把一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向當(dāng)作該學(xué)生可以選擇的狀態(tài)，周長(zhǎng)就是該學(xué)生可以選擇的總狀態(tài)數(shù).由此而導(dǎo)出空間中一理想氣體分子以某一速度運(yùn)動(dòng)，其選擇的狀態(tài)數(shù)就是速度球的表面積；再進(jìn)一步引申到速度薄球殼的體積就是氣體分子在某一個(gè)速率處單位速率間隔內(nèi)可以選擇的總狀態(tài)數(shù)，學(xué)生就比較容易理解速度球與狀態(tài)數(shù)的關(guān)系.

2) 熱學(xué)教學(xué)中，利用理想氣體平衡狀態(tài)下和氣體分子與周圍容器壁發(fā)生彈性相撞的假設(shè)條件，再根據(jù)經(jīng)典的力學(xué)理論中動(dòng)量和沖量的關(guān)系，首先推導(dǎo)出熱力學(xué)溫度與平均平移動(dòng)能的關(guān)系，就是本文中式(19)中前一等號(hào)的部分.按此序教學(xué)，學(xué)生容易理解相關(guān)的概念.

3 總結(jié)

本文利用從微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布出發(fā)，引入了速度空間概念，推導(dǎo)出了麥克斯韋速率分布的表達(dá)式.這種推導(dǎo)方法直觀、簡(jiǎn)單，便于學(xué)生構(gòu)建相關(guān)知識(shí)的物理圖像以及對(duì)該部分內(nèi)容物理意義的理解，這是本文研究的意義所在.大學(xué)物理是大學(xué)生最重要的基礎(chǔ)課程之一，課程教學(xué)過程中，多從不同的側(cè)面或者不同的層面演繹和推導(dǎo)一些重要的知識(shí)，對(duì)于構(gòu)建其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的物理圖像、強(qiáng)化學(xué)生的空間想象力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維都是非常重要的.