武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

從2009年開始，全國(guó)多數(shù)省市使用新課標(biāo)，2012年，全國(guó)多數(shù)省市根據(jù)新課標(biāo)考綱命制高考數(shù)學(xué)試題，所以筆者想到細(xì)看2012年至2019年全國(guó)各省市高考試題中的排列組合試題.高考題凝聚著眾多命題專家的心血，是命題專家智慧的結(jié)晶.深入研究歷年高考試題是科學(xué)復(fù)習(xí)備考的有效途徑.排列和組合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)很特別的內(nèi)容，它對(duì)學(xué)生提出了較高的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的要求，是培養(yǎng)學(xué)生思維的一個(gè)重要場(chǎng)所.排列組合問(wèn)題是高考?？碱}，縱觀近八年高考試題，多數(shù)排列組合試題難度不大，大部分題型都是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，但題型多樣，解題思路獨(dú)特，方法靈活，考生普遍感到困難，失分現(xiàn)象嚴(yán)重.為此，本文對(duì)近八年全國(guó)各省市高考中的排列組合試題進(jìn)行分類例析，以揭示其求解規(guī)律.這些高考題不僅為一線教師的教學(xué)提供了豐富的教學(xué)資源和很強(qiáng)的教學(xué)導(dǎo)向，也可成為高三同仁在2021年高考備考教學(xué)復(fù)習(xí)中具有很大參考價(jià)值的第一手資料，同時(shí)希望能對(duì)2021年乃至今后幾年挑戰(zhàn)高考的考生有所啟示和幫助.

一、排列問(wèn)題

例1 (2012年高考四川卷理科數(shù)學(xué)第11題)方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{-3，-2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同.在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有( ).

A. 60條 B. 62條 C. 71條 D. 80條

綜上所述，滿足題意的不同的拋物線有14+48=62條，故選B.

例2 (2012年高考全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)第11題)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有( ).

A. 12種 B. 18種 C. 24種 D. 36種

例3 (2012年高考北京卷理科數(shù)學(xué)第6題)從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ).

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

例4 (2013年高考全國(guó)大綱卷理科數(shù)學(xué)第14題)6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有____種(用數(shù)字作答).

例5 (2013年高考北京卷理科數(shù)學(xué)第12題)將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是____.

例6 (2013年高考福建卷理科數(shù)學(xué)第5題)滿足a，b∈{-1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為( ).

A. 14 B. 13 C. 12 D. 10

解析當(dāng)a=0時(shí)，符合的有(0，-1) ，(0，0) ，(0，1) ，(0，2).

當(dāng)a≠0時(shí)，Δ≥0，即ab≤1，符合的有(-1，-1) ，(-1，0) ，(-1，1) ，(-1，2) ，(1，-1) ，(1，0) ，(1，1)，(2，-1) ，(2，0).

綜上，符合題意的共有13對(duì)，故選B.

例7 (2013年高考四川卷理科數(shù)學(xué)第8題)從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga-lgb的不同值的個(gè)數(shù)是( ).

A. 9 B. 10 C. 18 D. 20

例8 (2014年高考北京卷理科數(shù)學(xué)第13題)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有____種.

例9 (2014年高考四川卷理科數(shù)學(xué)第6題)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有( ).

A. 192種 B. 216種 C. 240種 D. 288種

例10 (2014年高考重慶卷理科數(shù)學(xué)第9題)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( ).

A. 72 B. 120 C. 144 D. 168

二、組合問(wèn)題

例11 (2012年高考山東卷理科數(shù)學(xué)第11題)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為( ).

A. 232 B. 252 C. 472 D. 484

例12 (2012年高考陜西卷理科數(shù)學(xué)第8題)兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( ).

A. 10種 B. 15種 C. 20種 D. 30種

例13 (2012年高考課程標(biāo)準(zhǔn)卷理科數(shù)學(xué)第2題)將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有( ).

A. 12種 B. 10種 C. 9種 D. 8種

例14 (2012年高考浙江卷理科數(shù)學(xué)第6題)若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有( ).

A. 60種 B. 63種 C. 65種 D. 66種

例15 (2013年高考浙江卷理科數(shù)學(xué)第14題)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有____種(用數(shù)字作答).

例16 (2017年高考浙江卷理科數(shù)學(xué)第16題)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人、副隊(duì)長(zhǎng)1人、普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有____種不同的選法(用數(shù)字作答).

例17 (2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第15題)從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____種(用數(shù)字填寫答案).

三、排列組合問(wèn)題

例18 (2012年高考重慶卷理科數(shù)學(xué)第15題)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為____(用數(shù)字作答).

例19 (2014年高考浙江卷理科數(shù)學(xué)第14題)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有____種(用數(shù)字作答).

例20 (2018年高考浙江卷理科數(shù)學(xué)第16題)從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成____個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答).

四、重復(fù)排列問(wèn)題

例21 (2013年高考山東卷理科數(shù)學(xué)第10題)用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為( ).

A. 243 B. 252 C. 261 D. 279

解析組成所有(有重復(fù)數(shù)字和無(wú)重復(fù)數(shù)字)三位數(shù)的個(gè)數(shù)是9×10×10=900(個(gè))，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是9×9×8=648(個(gè))，所以，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900-648=252(個(gè))，故選B.

五、重復(fù)排列組合問(wèn)題

例22 (2014年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第5題)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為( ).

本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查重復(fù)組合的應(yīng)用.

圖1

例23 (2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第6題)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.第一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“— —”，圖1就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是( ).

解析本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查排列組合的應(yīng)用.

解答此題的關(guān)鍵是要清楚兩個(gè)問(wèn)題：

第1個(gè)問(wèn)題是，由1個(gè)陽(yáng)爻“——”和1個(gè)陰爻“— —”一共可以組成多少個(gè)重卦？

這個(gè)問(wèn)題的答案是2×2×2×2×2×2=26=64個(gè).

第2個(gè)問(wèn)題是，由3個(gè)陽(yáng)爻“——”和3個(gè)陰爻“— —”一共可以組成多少個(gè)重卦？

故所有的重卦共有26個(gè)，其中恰有3個(gè)陽(yáng)爻的重卦有20個(gè).

評(píng)注(1)由1個(gè)陽(yáng)爻“——”和1個(gè)陰爻“— —”組成所有重卦的情況是“可重復(fù)排列”的排列組合問(wèn)題.(2)從下到上的每個(gè)爻都有兩種選擇，且可重復(fù)選.

六、局部平均分組分配問(wèn)題

例24 (2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第6題)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有( ).

A. 12種 B. 18種 C. 24種 D. 36種

解析本題是考查排列組合中的不定向分配問(wèn)題.

七、排列組合與概率問(wèn)題

例25 (2012年高考江蘇卷理科數(shù)學(xué)第6題)現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是____.

解析本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

例26 (2012年高考上海卷理科數(shù)學(xué)第11題)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是____(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).

解析本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

簡(jiǎn)解本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

例28 (2013年高考江蘇卷理科數(shù)學(xué)第7題)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為____.

解析本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查排列的應(yīng)用.

例29 (2014年高考上海卷理科數(shù)學(xué)第10題)為強(qiáng)化安全意識(shí)，某商場(chǎng)擬在未來(lái)的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是____(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).

簡(jiǎn)解本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

例30 (2014年高考陜西卷理科數(shù)學(xué)第6題)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為( ).

解析本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

例31 (2014年高考江西卷理科數(shù)學(xué)第12題)10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是.

簡(jiǎn)解本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

例32 (2014年高考江蘇卷第4題)從1，2，3，6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是____.

簡(jiǎn)解本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

例33 (2017年高考山東卷理科數(shù)學(xué)第8題)從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( ).

解析本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

例34 (2019年高考江蘇卷理科數(shù)學(xué)第6題)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是____.

簡(jiǎn)解本題考查古典概型，實(shí)質(zhì)是考查組合的應(yīng)用.

說(shuō)明以上例題，筆者沒(méi)有按從易到難的順序編排.

排列組合的應(yīng)用問(wèn)題千變?nèi)f化，學(xué)生很難摸索其規(guī)律，所以在學(xué)習(xí)中，我們一線教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生以特殊類型為突破口，與學(xué)生一道歸納、總結(jié)一些常見模型，通過(guò)一些常見模型鞏固一些方法，拓展一些思維.常見的模型有：列舉法、直接法、間接法(剔除法、排除法)、優(yōu)先法、捆綁法、分組法、插空法、插板法、投信法，這些方法在上述歷年高考排列組合試題中都體現(xiàn)得淋漓盡致，請(qǐng)讀者朋友、同學(xué)們認(rèn)真加以領(lǐng)悟.