張 丹，傅 勤

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

近年來，多智能體系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為復(fù)雜系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)問題。 其中一致性問題在多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中占據(jù)著重要的地位。另一方面，迭代學(xué)習(xí)控制源于機(jī)器人應(yīng)用[1]，適用于有限時(shí)間內(nèi)具有重復(fù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的被控系統(tǒng)，自1984年提出完整的算法以來便受到眾多學(xué)者的關(guān)注[1-4]。因該算法簡單有效，已有許多基于迭代學(xué)習(xí)算法的多智能體系統(tǒng)一致性控制問題的研究成果[5-6]。 文獻(xiàn)[5]研究了一類由拋物型或雙曲型方程構(gòu)建而成的多智能系統(tǒng)的一致性迭代學(xué)習(xí)控制問題。文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步研究了具有時(shí)滯的線性和非線性多智能體系統(tǒng)的一致性迭代學(xué)習(xí)控制問題。目前研究的多智能體系統(tǒng)多為由經(jīng)典偏微分方程構(gòu)建而成，而退化偏微分方程作為偏微分方程中一類特殊的方程，超出了古典理論的研究范圍，因此被廣泛應(yīng)用于如天體力學(xué)、氣候?qū)W、種群遺傳學(xué)等學(xué)科[7-8]，具有重要的研究價(jià)值，進(jìn)而引起了許多學(xué)者的研究興趣[9-10]。文獻(xiàn)[9]介紹了退化拋物型方程的物理背景和解存在的唯一性等相關(guān)內(nèi)容。文獻(xiàn)[10]針對(duì)邊界退化的拋物型和雙曲型方程，研究了其邊界精確能控性問題。目前，也有將迭代學(xué)習(xí)控制方法應(yīng)用于退化系統(tǒng)的研究成果[11-12]，文獻(xiàn)[11]研究了一維拋物型和雙曲型退化系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題，利用壓縮映射原理，證明了在P型學(xué)習(xí)律的作用下系統(tǒng)的輸出誤差于L2空間內(nèi)收斂。文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步研究了退化高階拋物型系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題。然而對(duì)由退化偏微分方程(非經(jīng)典方程)構(gòu)成的退化多智能體系統(tǒng)，如何進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)控制，據(jù)筆者所知，尚無相關(guān)的研究。

本研究在文獻(xiàn)[11]研究的基礎(chǔ)上，考慮一類退化多智能體系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題，該類系統(tǒng)中所有智能體是由文獻(xiàn)[11]中的退化系統(tǒng)構(gòu)建而成。基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，構(gòu)建得到的學(xué)習(xí)律和收斂條件，能同時(shí)適用于拋物和雙曲兩種類型的系統(tǒng)。當(dāng)學(xué)習(xí)律作用于系統(tǒng)，迭代次數(shù)趨于無窮時(shí)，該一致性誤差能夠收斂于零。

1 預(yù)備知識(shí)

符號(hào)約定：I m表示m×m單位陣。1N表示分量均為1的N維列向量。對(duì)函數(shù)取模，定義

引理1GL至少有一個(gè)以1N為特征向量的零特征值，且GL所有的非零特征值均有正實(shí)部。Laplacian矩陣GL具有單重零特征值的充要條件是圖G含有生成樹[13]。

引理2若有向圖G有生成樹，則的每個(gè)特征值都有正實(shí)部[14]。

引理3對(duì)任意給定的矩陣，若譜半徑ρ(M) ＜1，則至少存在一種矩陣范數(shù)使得

引理4對(duì)任意矩陣范數(shù)，至少存在一種與之相容的向量范數(shù)，使得對(duì)任意和有

2 問題描述

在適定的初、邊值(齊次邊值)條件下，由文獻(xiàn)[11]給出的退化雙曲型系統(tǒng)構(gòu)建得到如下退化多智能體系統(tǒng)：

設(shè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(1)在有限時(shí)間［0，T］內(nèi)是可重復(fù)的，則在第k(k=0，1,2，…，N)次迭代時(shí)，系統(tǒng)(1)可表示為：

注1由文獻(xiàn)[11]可知，只需要選取初始控制均存在唯一，結(jié)合式(2)和式(3)，進(jìn)而可知存在唯一，

假設(shè)1有向圖G有生成樹。

假設(shè)2沿用文獻(xiàn)[11]，對(duì)所有的k，第i個(gè)智能體的初、邊值定位條件設(shè)定為：

假設(shè)3對(duì)，有，其中C為未知常數(shù)，而d1，d2為已知常數(shù)。

3 主要結(jié)果

對(duì)系統(tǒng)(2)構(gòu)建如下的Ρ 型學(xué)習(xí)律

其中，q＞0為學(xué)習(xí)增益。取q使得

成立，這里ρ表示譜半徑。

式(5)可寫成緊湊形式，即

進(jìn)一步，

由式(4)及引理3，存在ε＞0 使得

結(jié)合假設(shè)3，式(6)，式(8)及引理4，并利用基本不等式，可推得

定理若關(guān)于系統(tǒng)(2)的假設(shè)1—3成立，則在學(xué)習(xí)律(3)的作用下，當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無窮時(shí)，L2空間中的一致性誤差能夠收斂于零，即

證明式(7)兩端左乘，并從0 →1 對(duì)x積分，能夠得到

分部積分并結(jié)合假設(shè)2中邊值條件，可得

將式(11)～式(13)代入式(10)，可推得

應(yīng)用Gronwall引理并結(jié)合假設(shè)2中初值無偏差，則有

另一方面，由基本不等式，有

再次應(yīng)用Gronwall引理并結(jié)合假設(shè)2中初值無偏差，有

取λ＞1 ，則

因?yàn)镽N-1中的所有范數(shù)都是等價(jià)的，所以存在兩個(gè)正數(shù)τ和σ使得

將式(14)代入式(15)并結(jié)合式(16)有

將上述不等式代入式(9)，可推得

再由式(16)可得

于是

注2對(duì)于由文獻(xiàn)[11]中拋物型的退化系統(tǒng)構(gòu)建而成拋物型退化多智能體系統(tǒng)，即：

構(gòu)建的學(xué)習(xí)律及收斂條件同樣適用。其次，若在初始條件存在偏差情況下，同文獻(xiàn)[5]，也可推得任兩個(gè)智能體于2L空間中一致性誤差有界。

4 仿真算例

構(gòu)建如下形式的退化多智能體系統(tǒng)：

圖1 變化趨勢(shì)圖

5 結(jié)論

研究了退化多智能體系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題，該類系統(tǒng)由一維雙曲型退化偏微分方程構(gòu)建而成。構(gòu)建P型學(xué)習(xí)律對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)控制，當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)于有限時(shí)間區(qū)間上的輸出誤差能夠收斂于零。仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。