郭 媛，王 充，杜松英

(齊齊哈爾大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

1 引言

壓縮感知CS(Compressed Sensing)作為一種新的采樣理論，在2004 年一經(jīng)提出便引起了廣大學(xué)者的興趣，在很多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1,2]。CS理論改變了傳統(tǒng)奈奎斯特(Nyquist)采樣定理的采樣方式，不以均勻步長(zhǎng)方式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，采樣頻率遠(yuǎn)小于Nyquist的采樣要求，在實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮的同時(shí)完成對(duì)數(shù)據(jù)的采樣，降低了龐大采樣數(shù)據(jù)量對(duì)數(shù)據(jù)處理的硬件和存儲(chǔ)要求[3,4]。壓縮感知理論主要包含：信號(hào)稀疏化表示、測(cè)量矩陣構(gòu)造和重構(gòu)算法3個(gè)方面[5,6]。其中測(cè)量矩陣的構(gòu)造作為CS理論的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其構(gòu)造矩陣的好壞直接決定了信號(hào)的重構(gòu)精度和壓縮程度。高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣、伯努利隨機(jī)測(cè)量矩陣等隨機(jī)矩陣[7,8]被證明以較高的概率滿足有限等距特性RIP(Restricted Isometry Property)條件，常被用于測(cè)量矩陣的構(gòu)造中。但是，隨機(jī)矩陣的不確定性會(huì)造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不穩(wěn)定性，需大量實(shí)驗(yàn)取均值來消除影響；而且也會(huì)給數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)帶來較大的壓力，在實(shí)際硬件上的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度較高[6,9]。確定性測(cè)量矩陣也是常見的矩陣構(gòu)造方式，在系統(tǒng)和參數(shù)固定時(shí)，測(cè)量矩陣也相應(yīng)確定，解決了隨機(jī)性測(cè)量矩陣帶來的存儲(chǔ)困難和實(shí)際硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜等問題，吸引了廣大學(xué)者的關(guān)注[10]。

混沌系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，具有內(nèi)在的確定性和外在的隨機(jī)性特征，常常被用來代替隨機(jī)數(shù)應(yīng)用于安全和保密方案中[11]?；煦缧詼y(cè)量矩陣作為確定性測(cè)量矩陣構(gòu)造的一種方式，因構(gòu)造方式簡(jiǎn)單、矩陣元素具有偽隨機(jī)性、重構(gòu)性能較好，引起越來越多學(xué)者的重視[12]。2014年Gan等[13]利用Chebyshev 混沌系統(tǒng)構(gòu)造測(cè)量矩陣，且給出了其滿足RIP條件的證明，但矩陣的元素仍需間隔采樣。2017年周偉等[14]提出了基于Logistic映射和Tent映射級(jí)聯(lián)的復(fù)合混沌系統(tǒng)的測(cè)量矩陣構(gòu)造，并驗(yàn)證了其可行性，但矩陣元素仍需間隔采樣。2019年P(guān)onuma等[15]提出了一種基于Chebyshev_Tent混沌映射的測(cè)量矩陣，并驗(yàn)證了其可行性，雖然不同混沌映射的級(jí)聯(lián)減弱了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，但仍需較小間隔的采樣來滿足數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性。2018年Gan等[16]提出了一種基于多路T-way伯努利算法的伯努利混沌感知矩陣，并證明了其滿足有限等距性質(zhì)，但T-way伯努利移位系統(tǒng)依然采用簡(jiǎn)單的線性遞推，相鄰數(shù)據(jù)有較高相關(guān)性。

目前，混沌測(cè)量矩陣大多是基于一維混沌系統(tǒng)構(gòu)造的，相鄰數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性較高，矩陣元素間隔采樣的方式雖滿足了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性，但也造成了數(shù)據(jù)資源的浪費(fèi)。本文提出一種基于廣義變參Fibonacci的混沌系統(tǒng)，相較于構(gòu)造混沌映射間的級(jí)聯(lián)來增大混沌系統(tǒng)復(fù)雜度，減弱數(shù)據(jù)相關(guān)性而言，本文提出的混沌系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)混沌映射級(jí)聯(lián)的同時(shí)增加了不同混沌序列間的加性串?dāng)_，隨機(jī)性和混沌性更強(qiáng)，混沌映射迭代產(chǎn)生的元素滿足數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性，用其構(gòu)造的測(cè)量矩陣無需對(duì)采樣間隔進(jìn)行提前估計(jì)，提高了數(shù)據(jù)利用率。通過實(shí)驗(yàn)仿真，驗(yàn)證了其可行性和高效性。

2 CS理論

壓縮感知是利用信號(hào)稀疏性進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)的技術(shù)，被測(cè)量信號(hào)可稀疏化是壓縮感知理論的前提[1 - 6]。其表達(dá)式為:

(1)

其中，x∈RN為一維離散信號(hào),N為信號(hào)長(zhǎng)度，ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]為一組向量正交基，θ∈RN×1為信號(hào)x在正交基上的展開系數(shù)，若θ中僅存在k個(gè)非零系數(shù)，則稱信號(hào)x是可稀疏化的[5,6]。對(duì)可稀疏化信號(hào)x，將其投影到另一組測(cè)量向量基φ=[φ1,φ2,…,φM]T上，得到x的M個(gè)線性測(cè)量值[5,6]，即：

y=φψθ=Aθ

(2)

其中，矩陣y為壓縮后的測(cè)量值，A=φψ為M×N的感知矩陣，因矩陣維度M<

(3)

則從測(cè)量值y中重構(gòu)出信號(hào)的稀疏系數(shù)θ可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)0的范數(shù)優(yōu)化問題：

s.t. ‖y-Aθ‖2≤δ

(4)

其中，δk為0～1的常數(shù)，δ為最小的δk。

3 廣義變參Fibonacci混沌測(cè)量矩陣

3.1 廣義變參Fibonacci混沌系統(tǒng)構(gòu)造

混沌系統(tǒng)作為對(duì)初值和控制參數(shù)高度敏感的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，也是不可預(yù)測(cè)的、偽隨機(jī)的和遍歷的[17]。本文級(jí)聯(lián)量子Logistic混沌系統(tǒng)和Fibonacci數(shù)列構(gòu)造廣義變參Fibonacci混沌系統(tǒng)，其定義為：

Fi=(AFi-1+α1BFi-2+α2CFi-3) modD

(5)

其中，A,B,C為3個(gè)系數(shù)；α1,α2為權(quán)值系數(shù)；Fi為迭代的Fibonacci數(shù)列；D為常數(shù)?；煦缦到y(tǒng)模型通過級(jí)聯(lián)的方式，將量子Logistic混沌的不同序列用Fibonacci數(shù)列串?dāng)_在一起，降低了序列元素的相關(guān)性，增強(qiáng)了混沌映射的隨機(jī)性。

其中量子Logistic作為一種多維混沌系統(tǒng)，在混沌迭代的同時(shí)增加了擾動(dòng)修正，在迭代過程中不斷更新，混沌序列的非周期性更好，混沌的偽隨機(jī)性更強(qiáng)。其混沌映射的表達(dá)式為：

(6)

為平衡量子Logistic不同迭代序列在串?dāng)_中的強(qiáng)度，本文根據(jù)xi,yi,zi各自組成的序列x，y，z的遍歷范圍設(shè)置權(quán)值系數(shù)。在可調(diào)參數(shù)γ=3.99，耗散參數(shù)β=6.2,xi,yi,zi初始值均為0.1，系統(tǒng)處于較好的混沌狀態(tài)時(shí)，此時(shí)不同序列的遍歷空間為x∈[0,1],y∈[0,8e-5],z∈[-0.01,0],將所有序列的遍歷空間統(tǒng)一擴(kuò)充到相同大小時(shí)，權(quán)值系數(shù)設(shè)置為α1=1.25e+4,α2=100。

序列分布圖和直方圖能直觀地反映混沌系統(tǒng)的序列迭代變化和分布均勻性，本文將式(5)迭代5 000次，舍去前500次的結(jié)果，來產(chǎn)生均勻非相關(guān)混沌序列，并將其與Logistic混沌映射相比，結(jié)果如圖1所示。

Figure 1 Comparison of sequence distribution and histogram of chaotic systems

從圖1可以看出，本文構(gòu)造的廣義變參Fibonacci混沌系統(tǒng)有更好的遍歷性和隨機(jī)性，比傳統(tǒng)Logistic映射序列分布更均勻。

3.2 信息熵分析

信息熵量化了數(shù)據(jù)的分布和混沌序列的隨機(jī)性，信息熵值越大，表示系統(tǒng)的混沌性越強(qiáng)，數(shù)據(jù)隨機(jī)性越好，信息熵定義為[18]：

(7)

其中，Pr(mi)為灰度值mi出現(xiàn)的概率，U為圖像的灰度等級(jí)數(shù)(通常為256)。隨機(jī)統(tǒng)計(jì)500 000組數(shù)據(jù)，對(duì)Chebyshev映射、Tent映射和基于Chebyshev_Tent映射進(jìn)行對(duì)比分析，區(qū)間統(tǒng)計(jì)數(shù)分別為256，500和1 000時(shí)，信息熵定量分析如表1所示。

Table 1 Comparison of information entropy

由表1可見，在對(duì)比的4種混沌映射中一維Tent映射和Chebyshev映射的信息熵較小，而基于Chebyshev_Tent級(jí)聯(lián)映射的混沌復(fù)雜度變高，信息熵也變大；本文構(gòu)造的廣義變參Fibonacci混沌映射信息熵最大，與該統(tǒng)計(jì)區(qū)間能達(dá)到的最大信息熵相近?？梢姳疚臉?gòu)造的混沌系統(tǒng)隨機(jī)性更強(qiáng)，混沌性能更好。

3.3 相空間特性分析

圖2為Chebyshev映射、Tent映射、Chebyshev-Tent映射混沌系統(tǒng)迭代序列Xn與Xn+1的關(guān)系及本文提出的廣義變參Fibonacci映射的混沌系統(tǒng)的迭代序列Fn與Fn+1的相空間特性對(duì)比。

Figure 2 Phase space characteristic diagram of chaotic systems

由圖2可見，在對(duì)比的4種混沌映射中，一維Chebyshev映射和Tent映射為簡(jiǎn)單線性遞推函數(shù)，相鄰數(shù)據(jù)線性關(guān)系明顯；Chebyshev_Tent混沌映射雖然提高了系統(tǒng)的復(fù)雜性，但從相空間特性圖中依然可以看到規(guī)律。本文提出的混沌系統(tǒng)，因系統(tǒng)參數(shù)隨迭代而不斷變化，相鄰數(shù)據(jù)之間不存在明顯線性關(guān)系，空間特性也無規(guī)律可循。圖2表明本文所構(gòu)造的混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的序列相關(guān)性較小，更適合混沌測(cè)量矩陣的構(gòu)造。

3.4 相關(guān)系數(shù)分析

為降低數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，使矩陣元素滿足獨(dú)立性，序列往往采用間隔采樣的選取方式。皮爾遜相關(guān)系數(shù)法常被用來評(píng)估混沌序列的采樣間隔。皮爾遜相關(guān)系數(shù)ρx,y定義如下:

(8)

先生成10 000個(gè)模擬正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)不相關(guān)且相互獨(dú)立。通過混沌系統(tǒng)的迭代生成2組數(shù)據(jù)，初始迭代次數(shù)為200次，2組數(shù)據(jù)迭代間隔為k，得到2組結(jié)果分別記為變量X,Y；在不同采樣間隔時(shí)，變量X,Y的相關(guān)系數(shù)如圖3所示。

Figure 3 Comparison of Pearson correlation coefficients

由圖3可見，Tent映射和Chebyshev映射初始相關(guān)系數(shù)較大，即不間隔采樣的混沌映射，相鄰數(shù)據(jù)間的相關(guān)性較強(qiáng)；隨著采樣間隔的不斷增大，相關(guān)系數(shù)逐漸趨于區(qū)間[-0.01,0.01]。級(jí)聯(lián)的混沌映射雖然較快收斂于區(qū)間，但仍需間隔采樣。本文提出的混沌映射，相關(guān)系數(shù)從初始值開始就較小。以0.01為閾值，相關(guān)系數(shù)小于閾值的2組數(shù)據(jù)滿足不相關(guān)性，可以看出本文構(gòu)造的混沌映射滿足數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性。

3.5 測(cè)量矩陣構(gòu)造

針對(duì)一維混沌測(cè)量矩陣的不足，本文提出基于廣義Fibonacci的混沌系統(tǒng)，具有較強(qiáng)的混沌特性且序列分布更加均勻，相鄰序列元素間相關(guān)性低，極大概率滿足測(cè)量矩陣的非限性等距條件?；诖吮疚臉?gòu)造了一種新的測(cè)量矩陣算法，測(cè)量矩陣的混沌特性更強(qiáng)，矩陣列的相關(guān)系數(shù)更低，壓縮程度更高，系統(tǒng)重構(gòu)效果更好，具體構(gòu)造方式如下所示：

(1)給定量子Logistic混沌系統(tǒng)的初始參數(shù)x0=y0=z0=0.1，控制參數(shù)γ=3.99,β=6.2。迭代混沌系統(tǒng)產(chǎn)生3組混沌序列作為廣義Fibonacci混沌系統(tǒng)的權(quán)值參數(shù)。

(2)廣義變參Fibonacci系統(tǒng)的初始參數(shù)F1=F2=F3=0.8，為平衡不同序列間的串?dāng)_強(qiáng)度，給定參數(shù)α1=1.25e+4,α2=100。

(3)不斷按式(6)迭代混沌序列，產(chǎn)生一組長(zhǎng)度為M×N的序列V={V0,…,Vn,…,VMN-1}。

(4)將生成的序列V按列進(jìn)行排序，構(gòu)造M×N大小的測(cè)量矩陣Φ，矩陣的表達(dá)形式如下所示：

(9)

常用其他混沌系統(tǒng)因序列元素不滿足數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性，需對(duì)混沌產(chǎn)生序列元素按采樣間隔k進(jìn)行重新采樣，得到大小為M×N的序列，初始產(chǎn)生的混沌序列長(zhǎng)度最小為M×N×k。本文提出的測(cè)量矩陣和其他幾種測(cè)量矩陣對(duì)比情況如表2所示。

Table 2 Comparison of data utilization ratio

表2直觀反映了本文提出的算法對(duì)數(shù)據(jù)的利用率達(dá)到1，而其他測(cè)量矩陣計(jì)算量是本文矩陣的k倍，數(shù)據(jù)利用率僅為1/k，具體利用率由矩陣的采樣間隔來決定。

測(cè)量矩陣構(gòu)造的首要問題為矩陣是否滿足RIP特性條件。Baraniuk 等[19]通過Johnson-Lindenstrauss 引理給出了隨機(jī)矩陣滿足RIP特性的證明。設(shè)隨機(jī)矩陣U∈RM×N，存在常數(shù)δk∈(0,1)，矩陣能以很高的概率滿足 RIP 特性：

(10)

具體表述為，當(dāng)測(cè)量值M>(c0k·ln(N/k))，隨機(jī)測(cè)量矩陣滿足 RIP 特性條件的概率為：

(11)

(12)

Zhang等[18,20,21]給出了由混沌測(cè)量矩陣構(gòu)造的偽隨機(jī)矩陣，在矩陣元素滿足數(shù)據(jù)的獨(dú)立性時(shí)，測(cè)量矩陣滿足RIP條件的證明。在測(cè)量值M∈(k,N)時(shí)，存在常數(shù)c3>0，使得c4≤c(δ)-c3[1+(1+(lbs)/s)/lbN/s]，其中，s為稀疏度，滿足c4>0時(shí)，隨機(jī)測(cè)量矩陣滿足RIP特性的概率至少為：

P≥1-2e-c4M

(13)

本文在相關(guān)系數(shù)分析時(shí)證明了構(gòu)造矩陣元素的數(shù)據(jù)滿足統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性，由此可以推出本文構(gòu)造的測(cè)量矩陣能夠以高概率滿足RIP特性條件。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證本文基于廣義變參Fibonacci混沌系統(tǒng)構(gòu)造測(cè)量矩陣的有效性和可行性，本節(jié)分別對(duì)一維稀疏信號(hào)和二維圖像的重構(gòu)性能進(jìn)行定量分析。分別選用Chebyshev混沌測(cè)量矩陣、Tent混沌測(cè)量矩陣、級(jí)聯(lián)Chebyshev_Tent混沌測(cè)量矩陣和高斯混沌測(cè)量矩陣與本文提出的混沌測(cè)量矩陣進(jìn)行比較，以說明本文測(cè)量矩陣構(gòu)造算法的可行性。

4.1 一維稀疏信號(hào)

本文在Matlab環(huán)境下隨機(jī)生成了一維離散稀疏信號(hào)，采用經(jīng)典正交追蹤算法OMP(Orthogonal Matching Pursuit)對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。通過對(duì)信號(hào)的重構(gòu)成功率和重構(gòu)誤差進(jìn)行定量分析，來驗(yàn)證所構(gòu)造測(cè)量矩陣的性能，并與多種常用的測(cè)量矩陣的重構(gòu)效果進(jìn)行比較。

重構(gòu)成功率的統(tǒng)計(jì)方法為通過正交追蹤的重構(gòu)算法進(jìn)行迭代重構(gòu)，當(dāng)?shù)刂箷r(shí)的殘差值|r|<1e-6時(shí)，測(cè)量值與重構(gòu)信號(hào)之間的誤差足夠小，則認(rèn)為信號(hào)重構(gòu)成功，即：

(14)

信號(hào)的稀疏度和測(cè)量次數(shù)作為影響信號(hào)的重構(gòu)成功率的關(guān)鍵因素。設(shè)信號(hào)長(zhǎng)度N=256,在固定信號(hào)稀疏度時(shí)，測(cè)試不同測(cè)量值下各測(cè)量矩陣的重構(gòu)成功率；同時(shí)測(cè)試測(cè)量次數(shù)固定，在不同稀疏度下各測(cè)量矩陣的重構(gòu)成功率。其中,固定稀疏度s=30時(shí)，測(cè)量M分別取值60，75，90，120，150，180；固定M=120時(shí)，s分別取值12，25，32，45，50。為消除隨機(jī)性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，同一稀疏實(shí)驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行200次，取信號(hào)重構(gòu)成功率的均值如圖4所示。

從圖4a和圖4b可以看出各測(cè)量矩陣的重構(gòu)成功率的曲線圖基本一致，且隨著測(cè)量值M的逐漸增大或信號(hào)稀疏度的逐漸減小，重構(gòu)成功率都在不斷提高，在測(cè)量值M>120或信號(hào)稀疏度s<25時(shí)，測(cè)量矩陣都能以大概率實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)。但是，從測(cè)量值M>75開始，本文算法的測(cè)量矩陣的重構(gòu)成功率比其他測(cè)量矩陣的高，在M=120，即采樣率接近1/2時(shí)，重構(gòu)成功率高于較好的Tent映射(4%)，隨著測(cè)量值的不斷增大，重構(gòu)成功率最先接近100%。

為了對(duì)各測(cè)量矩陣的重構(gòu)性能差異精確比較，重復(fù)200次實(shí)驗(yàn)取均值，對(duì)幾種測(cè)量矩陣在不同測(cè)量值下的重構(gòu)誤差進(jìn)行了定量分析，如表3所示。

Figure 4 Comparison of the reconstruction success rate

Table 3 Comparison of reconstruction errors under different measurement M

由表3可見，比較其他測(cè)量矩陣，在不同測(cè)量值下，本文構(gòu)造的測(cè)量矩陣重構(gòu)誤差均能達(dá)到最小，表明本文構(gòu)造的測(cè)量矩陣在不同采樣率下，均能有很好的重構(gòu)效果，系統(tǒng)整體穩(wěn)定性較好。

4.2 二維Lena圖像

本文選取256×256的Lena圖像，將其分割成16×16的圖像塊，通過離散余弦變化對(duì)圖像進(jìn)行稀疏化處理，利用OMP算法對(duì)圖像進(jìn)行重構(gòu)，其中測(cè)量矩陣選取Chebyshev混沌矩陣、Tent混沌矩陣、基于級(jí)聯(lián)的Chebyshev_Tent混沌矩陣、本文所提出的混沌矩陣和隨機(jī)高斯測(cè)量矩陣。為定量分析不同測(cè)量矩陣對(duì)Lena圖像的重構(gòu)性能，以圖像信噪比和圖像均方差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

圖像信噪比定義如下：

PSNR=10×lg (2552/MSE)

(15)

其中MSE表示原圖像與重構(gòu)圖像均方差，定義如下：

(16)

從圖5可見，相同采樣率時(shí)，一維Chebyshev測(cè)量矩陣、Tent測(cè)量矩陣和級(jí)聯(lián)Chebyshev_Tent測(cè)量矩陣均與隨機(jī)高斯測(cè)量矩陣的重構(gòu)信噪比相近，本文所提出的測(cè)量矩陣的重構(gòu)所得信噪比略高于其他測(cè)量矩陣的。以測(cè)量值M=120,即采樣率接近1/2為例，本文測(cè)量矩陣重構(gòu)信噪比高出其他較優(yōu)的測(cè)量矩陣(0.2 dB)；隨著采樣率的不斷增大，本文提出的測(cè)量矩陣的重構(gòu)信噪比也越高。從圖6中可以看出，不同采樣率時(shí)，本文提出的測(cè)量矩陣的重構(gòu)均方差曲線均在圖像最下方，表明本文提出的測(cè)量矩陣重構(gòu)均方差最小，重構(gòu)效果最優(yōu)。

Figure 5 PSNR comparison

Figure 6 MSE comparison

為直觀觀測(cè)圖像的重構(gòu)效果，在采樣率M/N接近1/2，即測(cè)量值M=120時(shí)，5種不同測(cè)量矩陣重構(gòu)圖像如圖7所示。

Figure 7 Comparison of reconstruction effects of Lena image

由圖7可見，和其他混沌測(cè)量矩陣比較，本文提出測(cè)量矩陣的整體重構(gòu)效果最優(yōu)，所得圖像清晰度高于其他圖像，能實(shí)現(xiàn)較好的重構(gòu)效果；且在帽子和眼睛等圖像紋理復(fù)雜區(qū)域本文算法恢復(fù)得更好。

5 結(jié)束語

當(dāng)前基于混沌系統(tǒng)的測(cè)量矩陣構(gòu)造多依托于一維混沌系統(tǒng)，序列元素相關(guān)性較強(qiáng)，構(gòu)造測(cè)量矩陣時(shí)需間隔采樣來滿足數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性，造成數(shù)據(jù)資源的浪費(fèi)。本文通過級(jí)聯(lián)量子Logistic混沌和Fibonacci數(shù)列構(gòu)造了廣義變參Fibonacci混沌系統(tǒng)，并與幾種常用混沌測(cè)量矩陣構(gòu)造系統(tǒng)，如一維Chebyshev混沌系統(tǒng)、Tent混沌系統(tǒng)和基于兩者級(jí)聯(lián)的復(fù)雜混沌系統(tǒng)相對(duì)比，在混沌特性和重構(gòu)性能上進(jìn)行定量分析。一維稀疏信號(hào)采樣率為1/2時(shí)，本文算法構(gòu)造的矩陣的信號(hào)重構(gòu)成功率高出其他矩陣4%；二維Lena圖像的重構(gòu)實(shí)驗(yàn)中，采樣率為1/2時(shí)，本文算法構(gòu)造的矩陣的重構(gòu)信噪比高出其他測(cè)量矩陣0.2 dB。且本文構(gòu)造的測(cè)量矩陣無需對(duì)采樣間隔進(jìn)行提前估計(jì)。