李定波，吳秀文，董愛國(guó)

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京） 數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

章動(dòng)是陀螺的對(duì)稱軸在鉛垂面內(nèi)上下擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)，圖1 是扭轉(zhuǎn)陀螺裝置實(shí)物圖。組裝、調(diào)整裝置，然后釋放該陀螺系統(tǒng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)陀螺產(chǎn)生章動(dòng)[1-3]和進(jìn)動(dòng)[4-5]現(xiàn)象，常見的進(jìn)動(dòng)儀就是基于該現(xiàn)象設(shè)計(jì)的[6]。但是，扭轉(zhuǎn)陀螺在模擬進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)時(shí)仍存在無法生動(dòng)地模擬章動(dòng)揚(yáng)角的過程[7]、儀器不便攜帶、潤(rùn)滑不方便等問題。旋轉(zhuǎn)剛體（如陀螺轉(zhuǎn)子、自旋衛(wèi)星等）受到力矩的干擾或由于角動(dòng)量矢量在慣性空間中方向的改變就會(huì)產(chǎn)生章動(dòng)運(yùn)動(dòng)。在無法直接觀測(cè)到外界情況時(shí)，通過陀螺章動(dòng)的特性能夠完成對(duì)物體姿態(tài)的控制，因此陀螺的章動(dòng)研究對(duì)于航空航天領(lǐng)域中衛(wèi)星的姿態(tài)調(diào)整、瞄準(zhǔn)精度的設(shè)置以及慣性制導(dǎo)[8]有著重要的意義。目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于陀螺章動(dòng)的研究主要局限在其無外力作用，或受脈沖力矩作用、恒定力矩作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律研究[9-11]，而在變化力矩作用下的運(yùn)動(dòng)研究較少，有學(xué)者利用動(dòng)靜法建立陀螺儀運(yùn)動(dòng)方程，分別推導(dǎo)出了無阻尼和有阻尼條件下的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)模型[12]，并指出在章動(dòng)方向上角度變化受到重力矩引起的章動(dòng)和鉛垂軸方向阻尼力矩引起的轉(zhuǎn)子軸進(jìn)動(dòng)兩個(gè)方面的影響[13-15]，但建立的陀螺儀模型中并沒有陀螺自旋產(chǎn)生的自旋角動(dòng)量對(duì)章動(dòng)的影響，研究較為局限。

本文對(duì)自由陀螺系統(tǒng)在變力矩下陀螺的章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)情況進(jìn)行深入的研究，同時(shí)建立一個(gè)研究復(fù)雜力學(xué)問題的進(jìn)動(dòng)與章動(dòng)模型，對(duì)這一款扭轉(zhuǎn)陀螺裝置的章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)的機(jī)理進(jìn)行了詳細(xì)的分析，給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。

圖1 扭轉(zhuǎn)陀螺裝置實(shí)物圖

1 實(shí)驗(yàn)器材和方法

實(shí)驗(yàn)所用器材包括具有一定扭轉(zhuǎn)阻力的尼龍繩和陀螺（圖2）。實(shí)驗(yàn)中繩子有效長(zhǎng)度為20 cm，陀螺總質(zhì)量為150 g，輪子質(zhì)量為100 g，輪子半徑為30 mm。實(shí)驗(yàn)時(shí)需將其外輪系緊在有一定扭轉(zhuǎn)阻力的尼龍線上（陀螺通過該線豎直懸放），給尼龍線一定初始扭轉(zhuǎn)力矩，且使內(nèi)輪以一定角速度自旋，而后釋放該陀螺系統(tǒng)。

圖2 陀螺與尼龍線實(shí)物圖

測(cè)試分析方法：實(shí)驗(yàn)前，用紅色記號(hào)筆標(biāo)記陀螺質(zhì)心位置，用藍(lán)色記號(hào)筆標(biāo)記陀螺自旋周期的采集位置。采用PIC-AL00 錄像機(jī)拍攝鎳盤的轉(zhuǎn)動(dòng)過程。對(duì)錄像資料采用Tracker 軟件追蹤分析陀螺運(yùn)動(dòng)，并在軟件中讀取陀螺質(zhì)心的位移、陀螺進(jìn)動(dòng)周期、繩子與豎直方向的夾角和陀螺自轉(zhuǎn)周期。由于陀螺自旋時(shí)輪子上各點(diǎn)均做角量規(guī)律相同的自旋運(yùn)動(dòng)，在研究陀螺自旋周期變化規(guī)律時(shí)，以輪子上某任意點(diǎn)為研究的代表點(diǎn)（本實(shí)驗(yàn)以藍(lán)色記號(hào)筆標(biāo)記點(diǎn)為研究代表點(diǎn)）。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量均為6 次，取其平均值。為了排除實(shí)驗(yàn)裝置、操作等造成的誤差的影響，先用A 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，但由于測(cè)得值的不確定度來源不止一個(gè)，所以要合成標(biāo)準(zhǔn)的不確定度。標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為

其中，是測(cè)量值xi的算術(shù)平均值，n是測(cè)量次數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算公式為

其中，f是估計(jì)值y與測(cè)量值ix的函數(shù)關(guān)系式。

2 陀螺運(yùn)動(dòng)分析

2.1 陀螺章動(dòng)分析

陀螺的運(yùn)動(dòng)由章動(dòng)、進(jìn)動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，章動(dòng)運(yùn)動(dòng)受到繩子扭轉(zhuǎn)力矩的作用，進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)受到重力矩的作用，而自旋運(yùn)動(dòng)受到摩擦等阻力的作用，根據(jù)以上3 種運(yùn)動(dòng)的不同組合形式可將陀螺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分為3 個(gè)階段：觸發(fā)階段、衰減階段和反向階段。其受力分析如圖3 所示。根據(jù)角動(dòng)量定理，得到：

其中，M繩是繩子對(duì)陀螺的扭矩，ΔL是陀螺章動(dòng)過程中的角動(dòng)量變化，Δt是陀螺章動(dòng)過程的時(shí)間變化。根據(jù)圖3 中的幾何關(guān)系，得到：

其中，L是陀螺自旋產(chǎn)生的角動(dòng)量，Δθ是陀螺章動(dòng)的微小角位移。聯(lián)立公式（3）和（4）可得章動(dòng)角速度為

圖3 陀螺章動(dòng)受力矩示意圖

由于在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，繩子對(duì)陀螺的扭矩會(huì)隨著繩子的偏移而產(chǎn)生偏移，因此將扭矩分解，如圖3 所示，僅扭矩的豎直分量M繩⊥對(duì)陀螺的章動(dòng)有貢獻(xiàn)，因此可得章動(dòng)角速度為

由式（6）可見，章動(dòng)角速度與繩子對(duì)陀螺的扭矩成正比，與陀螺自旋角動(dòng)量成反比。

2.2 陀螺進(jìn)動(dòng)分析

由于陀螺的章動(dòng)使其質(zhì)心偏離初始的豎直軸一定距離，產(chǎn)生重力臂r，因此在重力矩M重=r·G（G是陀螺的重力）的作用下陀螺產(chǎn)生繞其初始豎直軸的進(jìn)動(dòng)，陀螺受力如圖4 所示，根據(jù)角動(dòng)量定理，得到

其中，ΔL進(jìn)是陀螺進(jìn)動(dòng)過程中的角動(dòng)量變化（方向垂直紙面向里）。陀螺在進(jìn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過微小角位移時(shí)產(chǎn)生的與自旋角動(dòng)量的幾何關(guān)系類似于章動(dòng)，得到：

其中，Lx是陀螺自旋角動(dòng)量，Δφ是陀螺進(jìn)動(dòng)的微小角位移。聯(lián)立公式（7）和（8）可得進(jìn)動(dòng)角速度：

其中，陀螺章動(dòng)的角位移θ=α+β（0°＜θ＜90°），α是繩子與豎直方向的夾角，β是繩子連接點(diǎn)與陀螺質(zhì)心連線所在的直線與繩子延長(zhǎng)線的夾角，L是陀螺自旋角動(dòng)量。

綜合以上分析，根據(jù)圖4 的幾何關(guān)系，得到：

圖4 陀螺系統(tǒng)進(jìn)動(dòng)示意圖

由于A與式（12）中其他項(xiàng)相差較多的數(shù)量級(jí)，所以A對(duì)合磁力矩的影響較小。由式（12）及其相應(yīng)的分布曲線可知（見圖5），當(dāng)0°＜θ＜45°時(shí)，進(jìn)動(dòng)角速度與章動(dòng)角成正比，當(dāng)45°≤θ＜90°時(shí)，進(jìn)動(dòng)角速度與章動(dòng)角成反比；進(jìn)動(dòng)角速度與繩子的有效繩長(zhǎng)和陀螺的進(jìn)動(dòng)半徑r成正比，與陀螺自旋產(chǎn)生的角動(dòng)量成反比。

圖5 式（12）的分布曲線圖

3 結(jié)果與討論

圖6 是陀螺的章動(dòng)角度隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線。由圖6 可見，陀螺章動(dòng)過程中在20～35 s 之間存在比較穩(wěn)定的章動(dòng)角，陀螺的穩(wěn)態(tài)章動(dòng)角約為30°。圖7是陀螺的進(jìn)動(dòng)周期隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線。由圖7 可見，陀螺進(jìn)動(dòng)過程中在20～38 s 之間存在比較穩(wěn)定的進(jìn)動(dòng)周期T，約為0.58 s，根據(jù)角速度與周期的關(guān)系式可得，陀螺的穩(wěn)態(tài)進(jìn)動(dòng)角速度約為10.83 rad/s。38 s 后陀螺系統(tǒng)能量衰減較為明顯，陀螺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)趨于靜止。此結(jié)論與洪子昕[1]的研究不一致，由于洪子昕等人在實(shí)驗(yàn)時(shí)繩子的扭轉(zhuǎn)圈數(shù)較少，因此只發(fā)現(xiàn)陀螺的章動(dòng)角到達(dá)最大值后一直衰減到零，未發(fā)現(xiàn)陀螺存在穩(wěn)定進(jìn)動(dòng)角速度的現(xiàn)象。

本實(shí)驗(yàn)中l(wèi)=20 cm，G=1.5 N，L=0.028 kg·m2/s。由式（12）計(jì)算得出理論的進(jìn)動(dòng)角速度為10.50 rad/s，實(shí)驗(yàn)所得進(jìn)動(dòng)角速度與理論值大致相近，偏差≤3.14%。

圖6 陀螺章動(dòng)角度隨時(shí)間的變化

圖7 陀螺進(jìn)動(dòng)周期隨時(shí)間的變化

圖8 是陀螺的進(jìn)動(dòng)角速度隨進(jìn)動(dòng)半徑變化的關(guān)系曲線，圖中理論值是根據(jù)式（9）計(jì)算所得。由圖8可見，當(dāng)陀螺的進(jìn)動(dòng)半徑由2 cm 增至5.2 cm 時(shí)，陀螺的理論進(jìn)動(dòng)角速度由4.2 rad/s 增至13.1 rad/s，實(shí)際進(jìn)動(dòng)角速度由4.2 rad/s 增至8.2 rad/s。陀螺的進(jìn)動(dòng)半徑越大，進(jìn)動(dòng)角速度的實(shí)驗(yàn)值與理論值的偏差越大。因?yàn)殡S著陀螺進(jìn)動(dòng)半徑的增大，受繩子的顫動(dòng)和疲勞的影響，損耗在繩子上的能量增大，從而導(dǎo)致進(jìn)動(dòng)角速度的實(shí)驗(yàn)值與理論值的偏差增大。

圖8 陀螺進(jìn)動(dòng)角速度隨進(jìn)動(dòng)半徑的變化

圖9 是陀螺的自轉(zhuǎn)周期隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線。由圖9 可見，當(dāng)時(shí)間由16.000 s 增至27.992 s 時(shí)，陀螺的自轉(zhuǎn)周期由0.068 s 增至0.116 s；當(dāng)時(shí)間由31.992 s增至39.980 s時(shí)，陀螺的自轉(zhuǎn)周期由0.136 s 增至0.184 s。對(duì)于時(shí)間在16.000～27.992 s 范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合得到的關(guān)系式為

對(duì)于時(shí)間在31.992～39.980 s 范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合得到的關(guān)系式為

其中，R2表示擬合優(yōu)度，R2的值越接近1，說明回歸直線對(duì)實(shí)驗(yàn)值的擬合程度越好。該結(jié)果說明，陀螺的自轉(zhuǎn)周期隨時(shí)間分段線性變化，此結(jié)論與陳宗強(qiáng)等[4]的研究結(jié)果一致。

圖9 陀螺自轉(zhuǎn)周期隨時(shí)間的變化

圖10 是陀螺質(zhì)心在水平方向上的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線。由圖10 可見，在水平方向上，陀螺質(zhì)心在21～35 s 存在比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑約為60 cm 的圓周運(yùn)動(dòng)。圖11 是陀螺質(zhì)心在豎直方向上的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線，坐標(biāo)系的原點(diǎn)為繩子上端與鐵架臺(tái)栓系的部位，如圖4 所示。由圖11 可見，在豎直方向上，陀螺質(zhì)心在27～38 s 比較穩(wěn)定，質(zhì)心在-255 mm 處的水平線上下浮動(dòng)。由于繩子的疲勞和摩擦阻力等系統(tǒng)阻尼，導(dǎo)致陀螺的章動(dòng)角度時(shí)刻存在微小的變化，從而使得陀螺的質(zhì)心在豎直方向上顫動(dòng)。

圖11 陀螺質(zhì)心在豎直方向上位移隨時(shí)間的變化

4 結(jié)語

本文基于扭轉(zhuǎn)陀螺裝置，探究了陀螺的章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)機(jī)理，推導(dǎo)出了陀螺進(jìn)動(dòng)角速度和章動(dòng)角速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，分析了其影響因素，并且依據(jù)實(shí)驗(yàn)與理論之間的對(duì)比，驗(yàn)證了其正確性。陀螺的運(yùn)動(dòng)可以分為3 個(gè)階段：觸發(fā)階段、衰減階段和反向階段。觸發(fā)階段陀螺的運(yùn)動(dòng)是章動(dòng)；衰減階段陀螺的運(yùn)動(dòng)是進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)，在衰減階段陀螺存在一定時(shí)間的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，即陀螺的章動(dòng)角幾乎不變，進(jìn)動(dòng)的軌跡近似等于圓周運(yùn)動(dòng)，但由于繩子的疲勞等系統(tǒng)阻尼消耗了大量的系統(tǒng)中的能量，使得陀螺后期的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況與理論偏差增大，最后停止運(yùn)動(dòng)；反向階段陀螺進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)的方向發(fā)生反向改變。陀螺的自轉(zhuǎn)周期隨時(shí)間分段線性變化，同時(shí)根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了線性擬合并得出了自轉(zhuǎn)周期與時(shí)間的關(guān)系式，可以估算出一定時(shí)間范圍內(nèi)陀螺自轉(zhuǎn)的周期。