崔 琳，張熠鑫，焦亞萌

(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

波束形成技術(shù)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究分支，被廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、醫(yī)學(xué)成像、無(wú)線通信等諸多領(lǐng)域。其工作原理是通過對(duì)空間中各個(gè)陣元所接收的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，從而達(dá)到增強(qiáng)期望信號(hào)、抑制干擾信號(hào)和降低噪聲的目的[1]。但當(dāng)陣列對(duì)空間中的信號(hào)響應(yīng)存在誤差時(shí)，自適應(yīng)波束形成器的魯棒性會(huì)嚴(yán)重下降[2]。其中，DL技術(shù)[3-6]一種有效的增強(qiáng)自適應(yīng)波束形成魯棒性的方法。

SVM是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中一種具有良好泛化能力、非常有效的機(jī)器學(xué)習(xí)方法[7-8]，以結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則而被應(yīng)用于多種領(lǐng)域。例如，信號(hào)處理中的波束形成領(lǐng)域，最早是由Gaudes等提出，將SVM與波束形成中的MVDR相結(jié)合，達(dá)到有效抑制波束旁瓣的效果[9]；林關(guān)成等采用迭代重加權(quán)最小二乘算法代替二次規(guī)劃，直接將SVM與波束形成算法相結(jié)合，在干擾信號(hào)較多情況下有效解決了波束形成的魯棒性問題[10]。崔琳等將SVM的基本理論與DL方法相結(jié)合，提出的波束形成算法有效提高了波束形成器存在DOA估計(jì)失配和陣元位置擾動(dòng)等非理想情況下的魯棒性[11]。

PSO算法是由KENNEDY與EBERHART教授在1995年提出的[12-15]，以搜索精度高、收斂速度快等特點(diǎn)而被廣泛用于解決非線性優(yōu)化問題[16-18]。孫榮光等將PSO引入MVDR的求解過程，利用PSO通過尋優(yōu)獲得陣列的最優(yōu)權(quán)向量，提高了算法抑制干擾的能力，但在小快拍數(shù)條件下，最優(yōu)權(quán)值向量精度受困于收斂判據(jù)的限制[19]。HUANG等提出用分區(qū)搜索的方法，即將陣列權(quán)矢量的相位空間分成若干子區(qū)域分別進(jìn)行搜索，該算法的收斂速度快，但計(jì)算復(fù)雜度高，且只考慮了相位空間，導(dǎo)致波束的魯棒性不太理想[20]。

本文在對(duì)角加載采樣矩陣求逆(diagonal loading sampling matrix inversion，LSMI)波束形成算法的基礎(chǔ)上，以陣列輸出功率最小化為目標(biāo)，使用線性ε-不敏感損失函數(shù)，建立料子群支持向量機(jī)對(duì)角加載(PSO-SVM-LSMI)魯棒波束形成的優(yōu)化模型，最后對(duì)波束形成優(yōu)化模型進(jìn)行尋優(yōu)求解。

1 SVM-LSMI波束形成算法

假設(shè)空間有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源，全向性陣元數(shù)為M的陣元以陣列間距為λ/2的均勻線列陣分布,其中λ為信號(hào)波長(zhǎng)。則在某一時(shí)刻k基陣的觀測(cè)值為

(1)

式中：s(k)，i(k)，n(k)分別為期望信號(hào)、干擾信號(hào)和噪聲；Ki為干擾的個(gè)數(shù)；θs為期望信號(hào)的來(lái)波方向；θij為干擾信號(hào)的來(lái)波方向；a(θs)和a(θij)分別為期望信號(hào)和干擾信號(hào)的陣列流形矢量。則傳統(tǒng)的窄帶波束形成器的輸出可寫為

y(k)=wHx(k)

(2)

式中：w=[w1,w2,…,wM]T為陣列的復(fù)權(quán)矢量;x(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T為陣列的復(fù)觀測(cè)值。

LSMI波束形成器的設(shè)計(jì)問題可以表述為

(3)

根據(jù)SVM的理論特點(diǎn)，需要重新構(gòu)建基于標(biāo)準(zhǔn)SVM的LSMI波束形成算法的優(yōu)化模型為

(4)

式中：yi為波束形成器的期望輸出；|yi-wHa(θi)|ε=max{0，|yi-wHa(θi)-ε|}為ε-不敏感損失函數(shù)。根據(jù)支持向量機(jī)的使用特點(diǎn)，需要在實(shí)變量條件下對(duì)該優(yōu)化問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換改寫，其形式為

(5)

(6)

式(6)滿足的約束條件為

(7)

(8)

(9)

2 PSO-SVM-LSMI波束形成算法

2.1 PSO算法

設(shè)m為粒子群的種群數(shù)量，第i個(gè)粒子在2M維權(quán)空間的位置矢量為Zi=[z1…z2M]T，粒子在權(quán)空間的移動(dòng)速度矢量為Vi=[v1…v2M]T，粒子在權(quán)空間位置的優(yōu)劣由目標(biāo)函數(shù)確定。記Pi為第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置，Pg為整個(gè)粒子群中最優(yōu)粒子的位置，對(duì)于第n次迭代，粒子更新公式為

(10)

(11)

式中：d為慣性權(quán)重因子;0≤r≤1;c1和c2為學(xué)習(xí)因子;N為最大迭代次數(shù);Pi表示粒子的個(gè)體極值;當(dāng)Pg保持不變時(shí)，迭代終結(jié)，Pg即為全局最優(yōu)解。

2.2 搜索空間的確定

設(shè)由式(4)得到的最優(yōu)解為

w=[w1,w2,…,wM]=Aiejφi

(12)

式中：向量A的元素表示優(yōu)化權(quán)向量各元素的模;φ表示優(yōu)化權(quán)向量各元素的相位，且φi=2ki，Ai≤1，i=1,2,…,M。因此，權(quán)矢量搜索空間應(yīng)滿足Ai∈(0,1)和ki∈(0,1),i=1,2,…,M。

設(shè)w=[w1,w2,…,wM]為第i個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的復(fù)權(quán)矢量，則約束條件可表示為

(13)

具體的實(shí)現(xiàn)方法為

(14)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

假設(shè)一窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，全向性陣元數(shù)M為16的陣元以陣列間距為半波長(zhǎng)的均勻線列陣分布。理想的期望信號(hào)波達(dá)方向?yàn)?0°，而實(shí)際的期望信號(hào)波達(dá)方向?yàn)?8°，干擾的入射方向?yàn)?8°、67°、130°，干噪比均為20 dB。將陣元放在z軸上，陣元的位置在y和z方向上存在隨機(jī)的位置擾動(dòng)，且擾動(dòng)為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的零均值高斯隨機(jī)變量，σp表示擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)偏差。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)以及調(diào)試,設(shè)定SVM的參數(shù)：懲罰參數(shù)C為1，誤差容限ε為0.001。設(shè)定PSO算法的參數(shù)：慣性權(quán)重因子d為0.8，學(xué)習(xí)因子c1和c2為1.5，種群規(guī)模為200，最大迭代次數(shù)N為100。

實(shí)驗(yàn)1：理想情況下,即無(wú)失配時(shí)的情況。仿真選取的快拍數(shù)為512，信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)分別為0 dB和20 dB，其中，SVM-LSMI為文獻(xiàn)[11]提出來(lái)的魯棒波束形成算法。則理想情況下即無(wú)失配時(shí)的波束圖如圖1所示。

(a) 0 dB

(b) 20 dB圖 1 無(wú)失配時(shí)不同SNR的波束圖Fig.1 The beam pattern at different SNR without mismatch

從圖1(a)、(b)可以看出，當(dāng)SNR較低時(shí)，3種算法均在獲得較理想的波束指向的同時(shí)擁有良好的旁瓣級(jí)；當(dāng)SNR較高時(shí)，LSMI和SVM-LSMI算法的旁瓣在一定程度上有所升高，但對(duì)干擾仍具有較強(qiáng)的抑制能力，算法的性能有所下降。而PSO-SVM-LSMI波束形成算法不僅可以獲得較理想的波束指向、主瓣寬度和有效的干擾抑制能力，尤其在SNR較高時(shí)，可以獲得比LSMI和SVM-LSMI算法更低的旁瓣級(jí)。說明在高SNR的情況下，PSO-SVM-LSMI算法在繼承原有LSMI算法特性的基礎(chǔ)上，同時(shí)結(jié)合PSO-SVM的優(yōu)點(diǎn)，使該算法具很強(qiáng)的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)2：DOA失配2°時(shí)的情況。其他仿真條件均和實(shí)驗(yàn)一相同。則DOA失配2°時(shí)的波束圖如圖2所示。

從圖2(a)、(b)可以看出，當(dāng)期望信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)存在失配時(shí)，由于LSMI算法誤將期望信號(hào)當(dāng)做干擾加以抑制，因而LSMI和SVM-LSMI算法的主瓣出現(xiàn)了指向性偏差。特別是當(dāng)信噪比較高時(shí)，這2種算法雖然可以獲得較強(qiáng)的干擾抑制能力，但波束的旁瓣迅速升高，算法的性能嚴(yán)重下降。

(a) 0 dB

(b) 20 dB圖 2 失配2°時(shí)不同SNR的波束圖Fig.2 The beam pattern with different SNR at 2 degree of mismatch

而PSO-SVM-LSMI算法的旁瓣級(jí)雖然在SNR較高時(shí)有所升高且發(fā)生輕微畸變，但無(wú)論SNR的高低，都沒有因?yàn)槠谕盘?hào)的波達(dá)方向失配而對(duì)波束的指向性造成影響，而且對(duì)干擾信號(hào)也具有很強(qiáng)的抑制作用。說明在期望信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)失配的情況下，PSO-SVM-LSMI算法有效的解決了對(duì)信號(hào)指向誤差敏感的影響，比LSMI和SVM-LSMI算法具有更強(qiáng)的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)3：陣元位置存在擾動(dòng)偏差時(shí)的情況，如圖3所示。

(a) 0.02λ

(b) 0.20λ圖 3 SNR為0 dB時(shí)不同擾動(dòng)偏差的波束圖Fig.3 The beam pattern with different disturbance deviation at 0 dB of SNR

圖3(a)的擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.02λ，圖3(b)的擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.20λ，SNR為0 dB，其他仿真條件均與實(shí)驗(yàn)1相同。

從圖3圖(a)、(b)可以看出，在信噪比較低的條件下，當(dāng)擾動(dòng)偏差為0.02λ時(shí)，LSMI算法的主瓣出現(xiàn)了些許的指向性偏差，且隨著擾動(dòng)偏差的增大，主瓣指向性的偏差程度在加劇，同時(shí)旁瓣也迅速升高，但仍然具有良好的干擾抑制能力。SVM-LSMI算法在擾動(dòng)偏差為0.02λ時(shí)，算法的性能良好，但隨著擾動(dòng)偏差的增大，波束主瓣不僅出現(xiàn)指向性偏差，且在旁瓣迅速升高的同時(shí)伴隨畸變現(xiàn)象的發(fā)生。而PSO-SVM-LSMI算法雖然隨著擾動(dòng)偏差的增大，波束的旁瓣出現(xiàn)了輕微程度地畸變，但仍然可以獲得較理想的主瓣指向和主瓣寬度，并且具有很強(qiáng)的干擾抑制能力，其性能基本穩(wěn)定。說明在SNR較低,且存在位置擾動(dòng)的情況下，PSO-SVM-LSMI算法比LSMI和SVM-LSMI算法的魯棒性強(qiáng)。

實(shí)驗(yàn)4：將SNR設(shè)置為20 dB，其他仿真條件均與實(shí)驗(yàn)3相同，則陣元位置存在擾動(dòng)偏差時(shí)的波束圖如圖4所示。

(a) 0.02λ

(b) 0.20λ圖 4 SNR為20 dB時(shí)不同擾動(dòng)偏差的波束圖Fig.4 The beam pattern with different disturbance deviation at 20 dB of SNR

從圖4(a)、(b)可以看出，在SNR較高的條件下，無(wú)論擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.02λ,還是0.20λ，均對(duì)LSMI算法的性能產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，已經(jīng)無(wú)法正確分辨期望信號(hào)的來(lái)波方向，其旁瓣級(jí)迅速升高且出現(xiàn)嚴(yán)重畸變，該方法完全失效。對(duì)于SVM-LSMI算法，當(dāng)擾動(dòng)偏差為0.02λ時(shí)，仍然能準(zhǔn)確分辨期望信號(hào)的來(lái)波方向，但旁瓣級(jí)在一定程度上升高且發(fā)生畸變，當(dāng)擾動(dòng)偏差為0.20λ時(shí)，該方法的性能完全失效。而PSO-SVM-LSMI算法在擾動(dòng)偏差為0.02λ時(shí)，算法性能依然很穩(wěn)定，受擾動(dòng)偏差的影響并不明顯，波束圖效果理想；在擾動(dòng)偏差為0.20λ時(shí)，雖然波束圖的旁瓣發(fā)生一定程度的畸變，抑制干擾的能力伴隨著擾動(dòng)偏差的增大而有所減弱，但仍能夠有效抑制干擾，且具有準(zhǔn)確辨別主瓣方向的能力。這充分說明在高SNR的條件下，PSO-SVM-LSMI算法的魯棒性足以保證算法性能的基本穩(wěn)定。

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)導(dǎo)向矢量存在失配的非理想情況，將SVM理論應(yīng)用于傳統(tǒng)對(duì)角加載波束形成算法中，采用PSO算法求解標(biāo)準(zhǔn)支持向量回歸波束形成優(yōu)化模型。分別對(duì)無(wú)失配的理想情況、存在陣元位置擾動(dòng)和存在波達(dá)方向估計(jì)失配這3種情況進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明：無(wú)論存在失配與否，當(dāng)陣列對(duì)空間中的信號(hào)存在響應(yīng)誤差時(shí)，所提方法對(duì)其抑制的效果更好，具有很強(qiáng)的魯棒性。