張文俊，張 敏，馬勁博，柳 征

（國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410073）

0 引言

無源定位系統(tǒng)是通過接收輻射源發(fā)射的電子信息進(jìn)行定位，這種定位方法具有作用距離遠(yuǎn)、隱蔽性好等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)提高電子戰(zhàn)系統(tǒng)在戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下的生存能力和作戰(zhàn)能力有著重要作用。無源定位技術(shù)可按觀測(cè)站數(shù)量分為單站和多站無源定位系統(tǒng)，多站無源定位系統(tǒng)可獲得的信息量大、定位精度高，但要求能對(duì)目標(biāo)共視，選址難度大，布站成本高。單站無源定位系統(tǒng)選址方便，布站成本低，且避免了多站定位要求站間同步和大量數(shù)據(jù)傳輸?shù)葐栴}，成為了定位跟蹤研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)。

固定單站僅測(cè)向定位方法對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)不具有可觀測(cè)性，現(xiàn)有定位方法需在僅測(cè)向的基礎(chǔ)上增加相位差變化率、多普勒頻率變化率等觀測(cè)信息。但是在實(shí)際應(yīng)用中，多普勒頻率變化率、相位差變化率等參數(shù)的測(cè)量精度要求高，系統(tǒng)相對(duì)復(fù)雜。

在實(shí)際環(huán)境中，目標(biāo)的種類有限，且由于安全和經(jīng)濟(jì)等因素，目標(biāo)通常進(jìn)行勻速巡航，并且速率可以通過資料獲得。若在速率先驗(yàn)信息的基礎(chǔ)上通過僅測(cè)角實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位跟蹤，對(duì)充分挖掘單站效能、拓寬定位范圍具有重要意義。本文探討如何利用目標(biāo)數(shù)據(jù)庫中的速率先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行定位跟蹤，提出基于速率先驗(yàn)信息的固定單站僅測(cè)角目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析算法，進(jìn)行了數(shù)字仿真，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

1 基于速率先驗(yàn)信息固定單站僅測(cè)角跟蹤建模

在運(yùn)動(dòng)分析中，目標(biāo)的巡航狀態(tài)通常以勻速直線運(yùn)動(dòng)模型來描述。如圖1所示，以觀測(cè)站為原點(diǎn)O，正北方向?yàn)閅軸，正東方向?yàn)閄軸，輻射源與固定觀測(cè)站連線與Y軸的夾角為觀測(cè)角，取順時(shí)針方向?yàn)檎?。初始距離為r0、初始時(shí)刻角度為β0、航向?yàn)棣?、速率為v。由于空間目標(biāo)都可以完全限制在其航跡與觀測(cè)站所組成的平面上描述，所得結(jié)論可推廣到三維空間中去。

圖1 勻速運(yùn)動(dòng)輻射源運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景示意圖

1.1 狀態(tài)模型

假設(shè)觀測(cè)站位于xO=[ 0 0 ]T，輻射源做勻速直線運(yùn)動(dòng)，定義其狀態(tài)為：

假設(shè)輻射源的速率v已知，而輻射源位置[xk yk]T和航向α未知，則上式進(jìn)一步可修改為：

可以得到狀態(tài)方程為:

式中，wk為過程噪聲，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

由式（3）和式（4）可知，k時(shí)刻的輻射源位置可由初始時(shí)刻的狀態(tài)表示：

式中，t0、tk分別為初始時(shí)刻、觀測(cè)時(shí)刻，r0為輻射源到目標(biāo)的初始距離，β0為初始時(shí)刻角度，α為航向，v為速率。初始時(shí)刻角度β0可以通過測(cè)向設(shè)備得到，而輻射源速率v信息假設(shè)通過先驗(yàn)信息獲得，因此只需將初始距離r0、航向α作為待估計(jì)量，分析輻射源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

1.2 觀測(cè)模型

二維條件下方位角的測(cè)量方程為：

2 可觀測(cè)性分析

2.1 可觀測(cè)性分析原理

可觀測(cè)性概念是卡爾曼在20世紀(jì)60年代首先提出的，表征系統(tǒng)狀態(tài)能否由其輸出完全反映的問題。若能根據(jù)觀測(cè)區(qū)間內(nèi)的量測(cè)信息唯一地確定出目標(biāo)狀態(tài)集合Xt=[xt yt vxt vxt]T，則可完整地描述出目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位與跟蹤。因此僅測(cè)角目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析的可觀測(cè)性問題，就是在僅有目標(biāo)方位量測(cè)信息β=[β0,β1,…,βk]的條件下，目標(biāo)狀態(tài)參數(shù)解的存在性與唯一性問題。

如圖2所示的輻射源運(yùn)動(dòng)例子中，目標(biāo)的2種運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的方位角觀測(cè)值完全相同，因此僅利用測(cè)角信息不能確定輻射源的位置。

圖2 一種僅測(cè)角定位不可觀測(cè)時(shí)的目標(biāo)軌跡示意圖

當(dāng)觀測(cè)方程是非線性時(shí)，根據(jù)Lee和Dum等人所提出的可觀測(cè)性定理，狀態(tài)定義為：

輸出定義為：

如果對(duì)于凸集S∈Rn上的所有x0，都有：

是正定的，則系統(tǒng)在S上是完全可觀測(cè)的。其中H(τ)=?h(x,t)/?x，Φ(τ,t0)是?f/?x的轉(zhuǎn)移矩陣。對(duì)離散系統(tǒng)，考慮利用觀測(cè)序列Zi+n-1={zi,zi+1,…,zi+n-1}來確定系統(tǒng)在i時(shí)刻的狀態(tài)Xi，則對(duì)于初始集合S中的n維矢量，記：

則系統(tǒng)在S上是完全可觀測(cè)的。

2.2 基于速率先驗(yàn)信息固定單站可觀測(cè)性分析

考慮在僅測(cè)角的基礎(chǔ)上加入速率先驗(yàn)信息，對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行偽線性化處理可以將觀測(cè)方程轉(zhuǎn)化為線性形式，不考慮量測(cè)誤差，由式（5）和式（6）可知，當(dāng)k=1,2,…,k,k≥2有如下的方程成立：

將等式右邊分子分母分別除以r0可得：

用矩陣形式可表示為：

定義偽觀測(cè)矩陣：

令M=ATA，則有：

式中，Lj=v2(tj-t0)2,經(jīng)推證M的行列式值為：

對(duì)上式分析可知，當(dāng)k≥2且βi≠βj,i,j=1,…,k，有det(M)＞0，則[sinα/r0cosα/r0]有唯一解，即可解得唯一的r0和α，即系統(tǒng)是可觀測(cè)的。

3 已知速率先驗(yàn)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析算法

3.1 偽線性估計(jì)方法

利用角度和速率先驗(yàn)信息，估計(jì)運(yùn)動(dòng)輻射源的初始距離r0、航向α。

不失一般性，假設(shè)等時(shí)間間隔T獲得角度觀測(cè)量，即有：

進(jìn)而可得：

整理可得：

將sinα/r0和cosα/r0作為待估計(jì)量，并將K組觀測(cè)量寫為矩陣形式可得偽線性觀測(cè)方程：

式中，

利用最小二乘可得：

從而得到輻射源的初始距離和航向的估計(jì)值為：

3.2 加權(quán)偽線性估計(jì)方法

為了減小估計(jì)誤差協(xié)方差，可以選取合適的加權(quán)矩陣的改善偽線性估計(jì)的估計(jì)性能。對(duì)式（21），將βk利用βk+Δβ代入，并取一階近似可得：

式中，εβ是由于角度測(cè)量誤差引起的方程式誤差，P=diag[r1/r0,r2/r0,…,rN/r0]，diag[ ?]表示以向量為對(duì)角線元素構(gòu)建矩陣。

可取加權(quán)矩陣：

由于加權(quán)矩陣中包含目標(biāo)初始距離和航向，而事先無法得到，因此首先利用下式進(jìn)行計(jì)算：

4 CRLB分析

在基于速率先驗(yàn)信息的固定單站僅測(cè)角目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析中，影響定位精度的因素包括角度測(cè)量誤差、速率誤差等。假設(shè)觀測(cè)序列為β，測(cè)量誤差為零均值高斯分布且互不相關(guān)，方差為，誤差協(xié)方差矩陣為E(ΔβΔβT)=Qβ，式中，Δβ=β-β0，β0為未知觀測(cè)角真實(shí)向量。速率為v，方差為將輻射源的初始距離r0、航向α以及速率的真實(shí)值v0表示成一個(gè)未知向量φ=[u,v0]T，u=[r0α]。將角度的量測(cè)和速率先驗(yàn)表示成測(cè)量向量κ=[βT,v]T,于是量測(cè)的概率密度函數(shù)（PDF）的對(duì)數(shù)為：

式中，c是與未知參數(shù)θ無關(guān)的常數(shù)，Qv是速率的誤差協(xié)方差。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，未知參數(shù)φ的CRLB的計(jì)算方法為：

式中，

可得：

圖3 定位結(jié)果(測(cè)向誤差0.1°,速率偏差0%v)

圖4 定位結(jié)果(測(cè)向誤差0.25°，速率偏差1%v)

式（34）為當(dāng)存在角度測(cè)量誤差和速率先驗(yàn)誤差時(shí)的定位誤差CRLB，其中X-1表示不存在速率誤差時(shí)的定位誤差CRLB。

5 仿真分析

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述理論。仿真總時(shí)長為600 s，采樣間隔1 s，固定觀測(cè)站位于原點(diǎn)位置，輻射源初始時(shí)刻位置為（10 km,100 km），運(yùn)動(dòng)速率為250 m/s，航向?yàn)?0°，輻射源與固定觀測(cè)站連線與正北方向的夾角為觀測(cè)角。Monte-Carlo仿真次數(shù)200次。仿真結(jié)果展示在圖3-6中。

圖3-6分別為不同測(cè)角誤差與速率偏差情況下的定位結(jié)果。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，固定單站在基于速率先驗(yàn)信息的條件下通過僅測(cè)向即可實(shí)現(xiàn)對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)輻射源的定位跟蹤。偽線性估計(jì)（PLE）和加權(quán)偽線性估計(jì)（WPLE）方法的均方根誤差都能達(dá)到CRLB，且WPLE方法的收斂速度更快，在測(cè)向誤差和速度偏差較大的條件下仍能快速收斂。

圖5 定位結(jié)果(測(cè)向誤差0.5°，速率偏差5%v)

圖6 定位結(jié)果(測(cè)向誤差1°，速率偏差10%v)

6 結(jié)束語

本文研究了二維場(chǎng)景下，固定單站對(duì)已知速率先驗(yàn)的勻速直線運(yùn)動(dòng)輻射源目標(biāo)的僅測(cè)角目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析方法。有效利用了目標(biāo)巡航速率固定且易獲得這一特性，提出了基于偽線性估計(jì)和加權(quán)偽線性估計(jì)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析算法。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的方法可以較準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)對(duì)勻速率直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定位跟蹤。綜上所述，本文算法原理簡(jiǎn)單，對(duì)參數(shù)的要求少，無需初值，相比現(xiàn)有算法具有更強(qiáng)的實(shí)用性。