崔耕韜，江衛(wèi)華，涂 煒

(武漢工程大學(xué) 電氣信息學(xué)院，湖北 武漢443000)

0 引言

自20 世紀(jì)90 年代以來，鋰離子電池以其高能量密度和優(yōu)良的充放電性能而受到人們的關(guān)注，它也從鉛酸電池和鎳鎘電池中脫穎而出， 成為大量應(yīng)用于各種微型、小型電子產(chǎn)品和電動車中的儲能裝置。因此，對于鋰電池的研究應(yīng)該先建立其模型，進(jìn)行混合動力脈沖能力特性(Hybrid PulsePower Characteristic，HPPC)測試，分析其充放電特性。

當(dāng)前，有多種經(jīng)典的電池模型：理想等效模型中各參數(shù)均為不變量， 因此精度較低；Thevenin 模型增加了電池極化的影響，但不能反映各參數(shù)與荷電狀態(tài)(State of Charge，SOC)之 間 的 關(guān) 系[1-3]；PNGV 模 型 對Thevenin 模 型進(jìn)行了改進(jìn)，但精度仍較低；RC 模型能反映電池內(nèi)阻、電流對SOC 的影響，具有較好的動靜態(tài)特性。

目前，SOC 的估算主要有開路電壓測量法、 電量累積法、電化學(xué)積分法等[4-5]，而卡爾曼濾波算法與其他方法相比具有更高的估算精度，且可以修正系統(tǒng)初始誤差，有效抑制系統(tǒng)噪聲，因此常用于估算電池的SOC。本文提出一種擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，并進(jìn)行建模仿真，具有很高的精度。

1 鋰離子電池模型

本次實(shí)驗(yàn)采用的是二階RC 模型，如圖1 所示，用RΩ表示歐姆內(nèi)阻，用Rd和Cd分別表示電化學(xué)極化內(nèi)阻、電容；用Rk和Ck分別表示濃差極化電阻、電容；Ud是Rd和Cd兩端電壓，Uk是Rk和Ck兩端電壓，Uoc是電池開路電壓，U 為電池端電壓[6-7]。 則由戴維南定理可以得到以下公式：

圖1 二階RC 電池模型

式中，I 代表了電池電流，f(soc，t)代表了開路電壓與SOC之間的關(guān)系。 進(jìn)一步可得到鋰電池仿真的方程式：

式 中， 時 間 常 數(shù)τ1=Rd·Cd，τ2=Rk·Ck，u 是 計(jì) 算 中 產(chǎn) 生 的測量噪聲[8-9]。

2 鋰離子電池充放電實(shí)驗(yàn)

2.1 電池的混合功率脈沖特性

HPPC 試驗(yàn)可以測試電池的脈沖能力以及充放電性能，一方面主要用來計(jì)算電池內(nèi)阻，另一方面可以反映SOC 與電池放電能力、回饋脈沖能力之間的關(guān)系。如圖2 所示，在限壓5.2 V 時，用1 C 電流進(jìn)行HPPC 充電和放電，從0%SOC 每次充電10%SOC～100%SOC，中間靜置電池1 h，使端電壓恢復(fù)至接近開路電壓；后同樣從100%SOC 每次放電10%SOC～0%SOC，以探索如何用電池SOC 表示開路電壓和內(nèi)阻。

圖2 脈沖電流充放電曲線

圖3 是電池充放電時的SOC-Uoc曲線，反映了SOC與開路電壓之間的關(guān)系，曲線可以分成三部分。 總體上，SOC與電壓呈非線性關(guān)系，且Uoc隨SOC 的增大而增大；在0%SOC ～10%SOC 內(nèi)，電池開路電壓急劇增大，之后經(jīng)歷一段平穩(wěn)緩慢上升的過程； 在最后90%SOC～100%SOC時，電壓又較快上升。 可見在曲線的前段和末段電壓對SOC 的敏感性高，曲線的中段SOC 對電壓的敏感性高。

2.2 電池模型的參數(shù)辨識

在脈沖放電中，電壓首先會急劇下降，這一點(diǎn)的電壓差是由歐姆內(nèi)阻引起的。 歐姆內(nèi)阻可以描述為：

圖3 電池充放電時SOC-Uoc 曲線

式中，ΔU1表示電池充電時急劇變化電壓差，ΔU2表示電池放電時急劇變化電壓差，I 表示脈沖電流。 由于電池的極化現(xiàn)象，歐姆內(nèi)阻實(shí)際上也是變化的。

通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定了RC 模型在充放電周期內(nèi)的各項(xiàng)參數(shù)，并記錄不同的SOC 點(diǎn)下的不同參數(shù)，然后用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，最后用查表法將電池各個參數(shù)應(yīng)用于模型。 根據(jù)圖3，取長時間放置的電池的端電壓作為Uoc，參考文獻(xiàn)[10]、[11]，利用1stOpt 軟件，擬合得到了電池荷電狀態(tài)與Uoc之間的關(guān)系。 需要指出的是SOC 的最高項(xiàng)次數(shù)越高，擬合精度就越高，本次擬合最高次數(shù)為8，SOC∈[0，1]，用X 表示SOC，有：

圖4 是鋰電池在充放電中極化內(nèi)阻隨SOC 的變化過程圖，電池的內(nèi)阻會隨著SOC 的減小而波動增加。 這是因?yàn)殡姵氐膬?nèi)部發(fā)生著化學(xué)反應(yīng)，導(dǎo)致電池中的材料變形，導(dǎo)體和電極的腐蝕，并使電解質(zhì)減少，從而導(dǎo)致內(nèi)阻的增加。

圖4 充放電中極化內(nèi)阻-Uoc 曲線

由圖4，用SOC 表示Rd和Rk的函數(shù)關(guān)系式，SOC∈[0，1]，有：

3 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

3.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波原理

卡爾曼濾波的核心思想是利用系統(tǒng)觀測到的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)，對鋰電池的真實(shí)狀態(tài)作最小均方差的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)。它利用前一個值的估計(jì)值和實(shí)時測量值對下一個值進(jìn)行估計(jì)，得到系統(tǒng)實(shí)時狀態(tài)，并過濾掉觀測數(shù)據(jù)中的噪聲和干擾。而卡爾曼濾波僅適用于對線性系統(tǒng)的估計(jì)，對于鋰離子電池的SOC 預(yù)測需要用到擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。 對于離散時間非線性系統(tǒng)，有：

式中，F(xiàn)(X，U)和H(X，U)為非線性函數(shù)，X 表示狀態(tài)量，U 表示控制量，Z 表示觀測量，W 和V 分別表示過程噪聲和測量噪聲[12]。 在EFK 中，通過一階泰勒展開式對其線性化表示：

圖5 擴(kuò)展卡爾曼濾波結(jié)構(gòu)圖

3.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波與SOC

擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)根據(jù)上一時刻的狀態(tài)估計(jì)值和誤差協(xié)方差對當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)，得出先驗(yàn)估計(jì)值，再根據(jù)最新測量值對其校正，得出后驗(yàn)估計(jì)值[13-14]。 結(jié)合二階RC 電池模型式(1)、式(2)、式(4)，可得到離散化狀態(tài)模型：

式 中，UΩ是歐姆內(nèi)阻RΩ兩端的電壓，I 是電流，Uoc(SOC(k))是隨k 時刻SOC 值變化的電池開路電壓值，ΔT 是采樣時間，Q 是電池容量，η 是庫倫系數(shù)，k 和k-1 代表時刻。

4 鋰電池SOC 估算仿真與實(shí)驗(yàn)

本文根據(jù)EKF 原理和相關(guān)公式以及電池的參數(shù)，建立了SOC 估算模型。 輸入數(shù)據(jù)后，將用庫倫計(jì)數(shù)法算得的SOC 與用EKF 算得的SOC 相比較[15]。 為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木_度，在MATLAB 的Simulink 模塊下進(jìn)行了仿真，使用的是標(biāo)稱電壓3.7 V、標(biāo)稱容量2.6 Ah 的鋰電池，實(shí)驗(yàn)條件為25 ℃。

圖6 所示是SOC 估算圖，圖6(a)是在脈沖電流下SOC 隨放電、充電時間而改變的曲線，SOC 初始值為1；圖6(b)是在恒流放電下的SOC 隨時間而改變的曲線，SOC 初始值為0.9。 圖7 驗(yàn)證了在恒流放電時估算模型與電池實(shí)際荷電狀態(tài)之間的誤差。

圖6 EKF-SOC 估算曲線與實(shí)際SOC 曲線

圖6 將不同電流下的SOC 估算值與SOC 實(shí)際值進(jìn)行了對比，圖6(a)放電780 s，靜置780 s，每次放電量為20%SOC；圖6(b)恒流放電3 500 s。圖6(a)誤差比圖6(b)誤差略大，但在合理范圍之內(nèi)，表明改變電流會對SOC估算產(chǎn)生影響。

圖7 SOC 估算誤差曲線

圖7 所示表明此模型的估算誤差大多趨于[-0.04，0.01]，平均誤差為2.1%，最大誤差僅為5.7%，且在低于30%SOC 時，估算誤差顯著降低。 這驗(yàn)證了模型具有較高精度，且可以顯著抑制噪聲。 但此模型未考慮溫度對電池SOC 估算的影響，同時改變電流大小對估算精度影響較大，因此模型可以繼續(xù)優(yōu)化改進(jìn)。

5 結(jié)論

本文利用二階RC 電路模型來捕獲鋰電池的電特性，通過混合動力脈沖能力測試對電池參數(shù)進(jìn)行辨識，探索了電池SOC 與開路電壓、內(nèi)阻之間的關(guān)系。 在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）的SOC 估算法。 建立仿真模型并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后，驗(yàn)證表明模型的誤差值在2.1%左右，與一般的SOC 估算法相比可明顯提高精度。