劉 毅，井 霞，高 磊

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

P-矩陣是指所有主子式皆為正的矩陣，其廣泛應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的優(yōu)化問(wèn)題中. 眾所周知，優(yōu)化領(lǐng)域的線性互補(bǔ)問(wèn)題(如下)有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)相關(guān)矩陣為P-矩陣，P-矩陣由此受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-5]. 給定矩陣M∈Rn×n和向量q∈Rn，線性互補(bǔ)問(wèn)題 LCP(M,q)是指尋找x∈Rn滿足

或證明這樣的x∈Rn不存在. 進(jìn)一步，當(dāng)M為P-矩陣時(shí)，容易得到線性互補(bǔ)問(wèn)題LCP(M,q) 的解存在且精確解x*與近似解x的誤差界[6]：

其中r(x)=min{x,Mx+q}表示對(duì)向量x與Mx+q對(duì)應(yīng)位置分量取最小,D=diag(di),d=[d1,d2,···,dn]T(0≤di≤1). 然而，對(duì)于不具有特定結(jié)構(gòu)且階數(shù)較大的P-矩陣，誤差界(1)中的計(jì)算是十分困難的. 注意到當(dāng)矩陣具有特定結(jié)構(gòu)時(shí)，上述問(wèn)題將得到極大緩解[7-13]. 為此，尋找P-矩陣的具有特殊結(jié)構(gòu)的子類并研究其線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界顯得尤為重要. 本文在OBS矩陣定義的基礎(chǔ)上，引入一類新的結(jié)構(gòu)矩陣：OBS-B矩陣，證明該矩陣為P-矩陣，并討論該矩陣與其他P-矩陣子類如B-矩陣、DB-矩陣、B-Nekrasov矩陣、DZ-typeB矩陣之間的關(guān)系；進(jìn)一步給出OBS-B矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界，證明所給誤差界優(yōu)于現(xiàn)有的結(jié)果. 最后，給出數(shù)值算例闡明結(jié)果的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

令Rn×n(Cn×n)表示所有n階實(shí)矩陣(復(fù)矩陣)的集合，指標(biāo)集N={1,2,···,n}.設(shè)矩陣，記下面給出本文所用到的定義和引理.

定義1[14]設(shè)矩陣. 若對(duì)任意的 i,j∈N ，i≠j，有

則稱A為雙嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，也稱為Ostrowski-Brauer矩陣.

2019年，Kolotilina[15]考慮到矩陣元素的稀疏性，在雙嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的基礎(chǔ)上，提出一類帶有稀疏結(jié)構(gòu)的矩陣類，稱之為Ostrowski-Brauer Sparse矩陣.

定義2[15]設(shè),n≥2. 若A無(wú)零行且對(duì)滿足的i,j∈N，有

則稱A為Ostrowski-Brauer Sparse矩陣，簡(jiǎn)稱為OBS矩陣.

進(jìn)一步，Kolotilina證明了OBS矩陣為非奇異H-矩陣，并給出其逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)估計(jì)式.

引理1[15]若A=[aij]∈Cn×n,n≥2是OBS矩陣，則A是非奇異H-矩陣.

引理2[15]設(shè)A=[aij]∈Cn×n,n≥2為OBS矩陣，則

下面給出P-矩陣的一些重要子類. 設(shè)矩陣. 則A可分裂為A=B++C，其中

2001年，Pe?a[1]提出一類重要的結(jié)構(gòu)矩陣：B-矩陣，并證明了該矩陣為P-矩陣.

定義3[1]設(shè)，若對(duì)任意的i,j∈N且，有

則稱A為B-矩陣.

同時(shí)，Pe?a給出了B-矩陣的一個(gè)與嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣密切相關(guān)的等價(jià)定義.

定義4[1]設(shè)且A=B++C，其中如(2)式所示. 矩陣A為B-矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B+為具有正對(duì)角元的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

2009年，García-Esnaola等在文獻(xiàn)[16]中給出了B-矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界.

定理1[16]設(shè)是B-矩陣，如(2)式所示，則

此外，基于B-矩陣的等價(jià)定義，Pe?a在文獻(xiàn)[2]中提出了一類包含B-矩陣的結(jié)構(gòu)矩陣類：DB-矩陣，該矩陣也為P-矩陣的重要子類.

定義5[2]設(shè)且A=B++C，其中如(2)式所示. 若矩陣B+為具有正對(duì)角元的雙嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A為DB-矩陣.

本節(jié)最后，我們羅列出下文證明中用到的一些技巧性引理.

引理3[2]若為非奇異M-矩陣，P是非負(fù)矩陣且秩為1，則A+P是P-矩陣.

引理4[7]設(shè) γ＞0和 η≥0，則對(duì)任意的x∈[0,1]，有

引理5[8]設(shè)且則, 有

2 主要結(jié)果

下面結(jié)合OBS矩陣與B-矩陣的等價(jià)定義，給出OBS-B矩陣的定義，并證明OBS-B矩陣是P-矩陣的子類.

定義6設(shè),n≥2，且A=B++C如(2)式所示. 若B+為主對(duì)角元為正的OBS矩陣，則稱A為OBS-B矩陣.

由引理3易證OBS-B矩陣為P-矩陣.

定理2若,n≥2 是OBS-B矩陣，則A是P-矩陣.

證明由A是OBS-B矩陣知，B+是主對(duì)角元為正的OBS矩陣且為Z-矩陣(所有非主對(duì)角元非正)，因此B+為具有正對(duì)角元的非奇異H-矩陣，從而為非奇異M-矩陣. 由(2)知C是非負(fù)矩陣且秩為1. 因此，由引理3可得A=B++C為P-矩陣. 證畢.

注1由定義1和定義2知雙嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣為OBS矩陣，故由定義4、定義5和定義6易知下列關(guān)系成立：

此外，由文獻(xiàn)[17]知

因此，結(jié)合關(guān)系式(3)可得OBS-B矩陣不是B-Nekrasov和DZ-type-B矩陣的子類，即

進(jìn)一步，下面的例子說(shuō)明B-Nekrasov和DZ-type-B矩陣也不是OBS-B矩陣的子類，即

例1考慮如下矩陣：

由文獻(xiàn)[17]中例2知A1是DZ-typeB矩陣. 由|a22||a33|=304＜r2(A)r3(A)=440 知A不是OBS-B矩陣. 矩陣A2顯然是Z-矩陣，因此B+=A, 令計(jì)算可得

因此A2是B-Nekrasov矩陣. 由知A2不是OBS-B矩陣.

綜上所述，我們給出B-矩陣、DB-矩陣、OBS-B矩陣、B-Nekrasov矩陣及DZ-typeB矩陣之間的關(guān)系圖如圖1.

下面討論OBS-B矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界，首先給出一個(gè)重要引理.

引理6設(shè)為主對(duì)角元為正的OBS矩陣，且，其中D=diag(di)(0≤di≤1)，則仍為主對(duì)角元為正的OBS矩陣.

圖1 OBS-B矩陣與P-矩陣一些子類的關(guān)系Fig. 1 Relations between OBS-B matrices and some subclasses of P-matrices

證明由知

又因?yàn)锳是主對(duì)角元為正的OBS矩陣且D=diag(di)(0≤di≤1)，故對(duì)任意的i∈N，有di+diaii＞0，且對(duì)滿足且的i,j∈N,i≠j,當(dāng)dj≠0 時(shí)，有

當(dāng)dj=0 時(shí)，有

因此，由定義2得是主對(duì)角元為正的OBS矩陣. 證畢.

利用引理2，引理4～6，下面給出OBS-B矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界.

定理3設(shè)為OBS-B矩陣，記A=B++C，其中B+=[bi j] 形如(2)式，則

其中：

證明令，則，其中DC. 因?yàn)锽+是主對(duì)角元為正的OBS矩陣，故由引理6得也為主對(duì)角元為正的OBS矩陣，即為非奇異M-矩陣. 從而由文獻(xiàn)[16]中定理2.2的證明知

鴇鳥肅肅地扇著雙翼，停落在荊棘里。 王家的事沒(méi)了沒(méi)完，黍稷全不能種植。 父母拿什么做飯？遙遠(yuǎn)的蒼天呀！何時(shí)才能終止？

注意到B+是主對(duì)角元為正的OBS矩陣且,i∈N. 因此，對(duì)每個(gè)i∈N有：

因此，

由(6)和(7)式知定理 3結(jié)論成立. 證畢.

由關(guān)系式(3)可知B-矩陣是OBS-B矩陣的一個(gè)子類，因此(4)式同樣可作為B-矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界. 為了說(shuō)明誤差界(4)的優(yōu)越性,下面我們給出一個(gè)比較定理.

定理4設(shè)A=[aij]∈Cn×n是B-矩陣，記A=B++C，其中矩陣B+=[bi j]如(2)式所示. 對(duì)滿足bij≠0 的任意i,j∈N,i≠j,若bii＜1,bjj＜1，則

若下列條件任意一條成立:

則

證明注意到和從而當(dāng)ri(B+)=0時(shí)，有βi=bii. 因此

對(duì)滿足bi j≠0的任意i,j∈N,i≠j，若bii＜1，bjj＜1，顯然有

即

移項(xiàng)可得

即

移項(xiàng)可得

即

移項(xiàng)得

即有

3 數(shù)值算例

下面給出兩個(gè)數(shù)值算例對(duì)所得理論結(jié)果進(jìn)行說(shuō)明.

例2考慮矩陣

由矩陣A的分裂A=B++C，其中

得A為B-矩陣. 從而由定理1中的(3)式得

又因?yàn)锽-矩陣也是DZ-type-B矩陣、B-Nekarsov矩陣、OBS-B矩陣(見(jiàn)圖1)，故由文獻(xiàn)[12]中B-Nekarsov矩陣線性互補(bǔ)誤差界得

由文獻(xiàn)[17]中DZ-type-B矩陣線性互補(bǔ)誤差界得

由定理3中OBS-B矩陣的線性互補(bǔ)誤差界(4)式得

上述結(jié)果顯示誤差界(4)優(yōu)于文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[17]所給的誤差界.

例3考慮矩陣

顯然，矩陣A是Z-矩陣，因此，B+=A. 令B+=[bij],計(jì)算得

因此，A不是DB-矩陣、DZ-typeB矩陣和B-Nekrasov矩陣，從而無(wú)法用相應(yīng)的誤差界估計(jì)然而，對(duì)滿足bi j≠0的任意i,j∈N,i≠j有

即A是OBS-B矩陣，從而由定理3得