文倩 饒馨 李徐巖

【摘要】本文選取了6個π值的計算近似公式，在python環(huán)境下，根據(jù)公式編程運(yùn)行得到各個公式的計算結(jié)果，并從橫向、縱向等多角度進(jìn)行比較.結(jié)果表明：拉馬努金公式和丘德諾夫斯基公式無論在速度還是精確度上都具有極其優(yōu)良的性質(zhì)，其用來計算π值時所需項數(shù)最少，速度最快，計算的精確度也最大.除此之外，公式中階數(shù)越高，分母越大，則其收斂速度越快.此結(jié)果對于測試或檢驗計算機(jī)的各項性能具有極大的意義.

【關(guān)鍵詞】拉馬努金;丘德諾夫斯基;萊布尼茲;沃里斯;巴塞爾問題

一、引言

π值的含義是圓周率，即圓的周長與直徑的比值，在大多數(shù)科學(xué)計算中，所用的值一般不超過10位小數(shù).然而從古至今，人們始終沒有中斷對更精確的π值的渴求.π的研究在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學(xué)水平.德國數(shù)學(xué)家康托爾說：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo).”π的計算價值及研究意義主要體現(xiàn)在如下兩點(diǎn)：（1）它現(xiàn)在可以被人們用來測試或檢驗超級計算機(jī)的各項性能，特別是運(yùn)算速度與計算過程的穩(wěn)定性;（2）計算的方法和思路可以引發(fā)新的概念和思想.本文主要對有關(guān)π值計算的精確度和復(fù)雜性進(jìn)行研究，擬解決π的高精度計算，從而用于檢驗計算機(jī)的可靠性和對于運(yùn)算、程序和算法的正確性.本文所基于的python語言具有簡單易學(xué)、開源、高級語言、可移植性、解釋性、面向?qū)ο蟆⒖蓴U(kuò)展性、豐富的庫以及代碼可讀性強(qiáng)等九大優(yōu)勢，給本文代碼的編程和運(yùn)行帶來了極大便利.

二、π的近似計算方法及結(jié)果

本文選取了6種π值的計算方法，在python環(huán)境下運(yùn)行分別得到如下結(jié)果：

從表格和圖中可以看出：

（1）對于每種計算方法，項數(shù)對精確度的影響呈遞增趨勢.

（2）在結(jié)果都近似到16位小數(shù)的情況下，采用拉馬努金公式計算的結(jié)果精確到第16位小數(shù)時所需項數(shù)是5種方法中最少的，可見其收斂速度也是最快的.

（3）除了拉馬努金公式計算方法以外，在相同項數(shù)情況下，用π2[]8法計算所能得到的精確度是余下4種方法中最大的.

（三）時間對精確度的影響

從表格和圖中可以看出：

（1）對于每種計算方法，計算時間對精確度的影響呈遞增趨勢，這是因為當(dāng)所給時間越長時，計算機(jī)能計算的項數(shù)也越多，再從前面可知，項數(shù)越多時精確度越大.

（2）拉馬努金公式和丘德諾夫斯基公式在短時間內(nèi)得到的精確度更高，在相同的時間內(nèi)，這兩種方法比其余4種方法所得的精確度高很多.

（3）除了拉馬努金公式和丘德諾夫斯基公式2種方法以外，在相同時間內(nèi)，用π2[]8法計算得到的精確度在其余方法中是最高的.

（四）原因分析

【參考文獻(xiàn)】[1]韓思，朱長貴.級數(shù)收斂的速度[J].渭南師專學(xué)報，1996（S1）：39-40.