韋愷華

【摘要】新課標(biāo)提出抽象概念的教學(xué)要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程.基于觀察、實(shí)踐、探索、思考、歸納等數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開(kāi)展，不僅能幫助學(xué)生理清概念的來(lái)龍去脈，還能使學(xué)生在探究過(guò)程中積累發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，從而感悟數(shù)學(xué)思想方法.

【關(guān)鍵詞】無(wú)理數(shù);逼近思想;數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

數(shù)學(xué)概念刻畫(huà)客觀事物的本質(zhì)特征，很多教師在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中直接給出概念的定義，讓學(xué)生記住定義，再花大量時(shí)間對(duì)定義進(jìn)行應(yīng)用.這樣的教學(xué)忽視了對(duì)概念生成過(guò)程的探究，學(xué)生機(jī)械地憑記憶接受這些知識(shí)，全然不知其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，更難以體會(huì)到數(shù)學(xué)本身的價(jià)值，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及思維能力的發(fā)展會(huì)產(chǎn)生不利的影響.下面筆者以蘇科版七年級(jí)上冊(cè)“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”中無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)片段為例，闡述如何在抽象概念教學(xué)中開(kāi)展一系列的探究活動(dòng)，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

一、課前思考：教學(xué)內(nèi)容前置及原因分析

1.考慮學(xué)生的認(rèn)知能力

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷更新.小學(xué)階段他們已經(jīng)接觸到正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，知道整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，且只需要在整數(shù)集合中添加“分?jǐn)?shù)”就得到了“有理數(shù)”.事實(shí)上，采用這種描述外延的方式來(lái)定義有理數(shù)并不能真正揭示有理數(shù)的本質(zhì)特征，而且沒(méi)有明顯的思維提升.其實(shí)，所有整數(shù)都可以寫(xiě)成分母是1的分?jǐn)?shù)，因此，可以定義有理數(shù)是一切能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式m[]n（m，n是整數(shù)，且n≠0）的數(shù).這樣根據(jù)概念的本質(zhì)來(lái)定義有理數(shù)，體現(xiàn)了知識(shí)在深度方面的提升，突出了初中數(shù)學(xué)知識(shí)與小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在思維上的不同，能加深學(xué)生對(duì)有理數(shù)本質(zhì)的理解，同時(shí)為定義無(wú)理數(shù)做下鋪墊，提供了方便.

2.考慮知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一個(gè)整體，不同知識(shí)之間存在著不可忽視的聯(lián)系.教材在七年級(jí)下冊(cè)安排了解一元一次不等式的內(nèi)容，如不等式x+1>4的解集是x>3，對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上：3的位置是一個(gè)空心圈，與“3”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)右邊的所有點(diǎn)表示的數(shù)都是這個(gè)不等式的解集.如果學(xué)生這時(shí)提出問(wèn)題：“3”右邊的數(shù)都是有理數(shù)嗎？答案顯然是否定的.我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的也可能是無(wú)理數(shù)，“3”右邊的數(shù)可能是有理數(shù)，也可能是無(wú)理數(shù).若不將無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)前置，就無(wú)法回答學(xué)生提出的問(wèn)題.

從上述兩個(gè)方面分析，不難看出無(wú)理數(shù)概念的前置對(duì)學(xué)生初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常必要的.

二、拋出問(wèn)題

在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的定義“能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式m[]n（m，n是整數(shù)，且n≠0）的數(shù)稱(chēng)為有理數(shù)”后，我們通過(guò)計(jì)算、探究發(fā)現(xiàn)：有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，它們都是有理數(shù).教師可以設(shè)置這樣的問(wèn)題——“是不是生活中遇到的所有數(shù)都是有理數(shù)呢”“有沒(méi)有除了有理數(shù)以外的數(shù)呢”，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，增強(qiáng)他們對(duì)新知識(shí)的探索欲望.

三、探究無(wú)理數(shù)概念的生成過(guò)程

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生能舉出π、0.3142537…等數(shù)，并有人通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式，因此它們不是有理數(shù).學(xué)生在這一過(guò)程中積極思考，不斷論證，充分鍛煉了數(shù)學(xué)思維.那么，這些數(shù)到底是什么數(shù)呢？生活中有這樣的數(shù)嗎？教師進(jìn)一步追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生積極投入思考.

【實(shí)踐】拼圖游戲：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形和剪刀，將小正方形沿圖中虛線(xiàn)剪開(kāi)，設(shè)法重新拼成一個(gè)大正方形.大家動(dòng)手試一試，并請(qǐng)一名同學(xué)把自己拼的圖在黑板上展示出來(lái).

問(wèn)題：這個(gè)大正方形的面積是多少？為什么？

說(shuō)明：通過(guò)拼圖活動(dòng)，學(xué)生可以感受無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景及其存在的合理性，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和合作精神.通過(guò)直觀的展示及對(duì)“問(wèn)題”的探究，學(xué)生培養(yǎng)“數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題”的習(xí)慣.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生能很輕易地解決，這也會(huì)讓他們對(duì)接下來(lái)的問(wèn)題探究充滿(mǎn)信心.

【探索】如果大正方形的邊長(zhǎng)為a，那么a2=2，你知道邊長(zhǎng)a是多少嗎？

問(wèn)題1：a是整數(shù)嗎？為什么？

問(wèn)題2：a是分?jǐn)?shù)嗎？為什么？

問(wèn)題3：a是有理數(shù)嗎？

說(shuō)明：在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)思考、交流無(wú)法說(shuō)出a具體是多少，探索活動(dòng)旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中確實(shí)存在他們不了解的數(shù)，發(fā)現(xiàn)“有理數(shù)”并不能滿(mǎn)足實(shí)際生活的需要.對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生能做出解答：因?yàn)?2=1，22=4，所以1

【思考】根據(jù)探索活動(dòng)，我們知道a不是整數(shù)，也不能化為分?jǐn)?shù)的形式，說(shuō)明a不是有理數(shù)，那么a到底是怎樣的一個(gè)數(shù)呢？它到底有多大呢？

說(shuō)明：簡(jiǎn)單的提問(wèn)引發(fā)學(xué)生更深層次的思考.在實(shí)際教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生尋求不同的方法來(lái)探索，從而更加深入地理解無(wú)理數(shù)概念.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行估值，嘗試通過(guò)小數(shù)運(yùn)算對(duì)a進(jìn)行定量研究：1.5×1.5=2.25，1.4×1.4=1.96，采用逼近的方法，得1.4

可見(jiàn)，a是一個(gè)無(wú)限小數(shù)，它總是介于兩個(gè)有限小數(shù)之間，但永遠(yuǎn)找不到一個(gè)有限小數(shù)等于a.在這個(gè)經(jīng)歷數(shù)的擴(kuò)充的過(guò)程中，學(xué)生不僅能感受數(shù)學(xué)的逼近思想，還可以體會(huì)“無(wú)限”的過(guò)程，發(fā)展自身的數(shù)感.

【歸納】前面提到的π是小學(xué)階段學(xué)過(guò)的圓周率，它的值是3.141592653589….

問(wèn)題1：請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)a的值與π的值有哪些共同點(diǎn)，并歸納出無(wú)理數(shù)的概念.

問(wèn)題2：你能寫(xiě)出幾個(gè)也具有這些特點(diǎn)的數(shù)嗎？

問(wèn)題3：π[]4是無(wú)理數(shù)嗎？為什么？

說(shuō)明：?jiǎn)栴}1旨在讓學(xué)生自己在探索活動(dòng)的基礎(chǔ)上歸納總結(jié)出無(wú)理數(shù)的特點(diǎn)“都是無(wú)限小數(shù)，且小數(shù)點(diǎn)后的排列無(wú)‘循環(huán)規(guī)律”，從而揭示出無(wú)理數(shù)的本質(zhì)屬性：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù).這里將無(wú)理數(shù)概念的提出安排在對(duì)a進(jìn)行定量分析后，有助于學(xué)生理解和記憶無(wú)理數(shù)的概念.而問(wèn)題2則是考查學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)概念的掌握情況，學(xué)生可以構(gòu)造出像0.1010010001…、-0.1010010001…這樣的無(wú)理數(shù).教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，對(duì)寫(xiě)出的答案進(jìn)行同伴互查.問(wèn)題3是實(shí)際教學(xué)中錯(cuò)誤率很高的一道題目，學(xué)生直接觀察其外在形式得出結(jié)論“這是有理數(shù)”，而忽視了有理數(shù)概念中提出的分?jǐn)?shù)形式中分子、分母需是整數(shù)的要求.設(shè)置該問(wèn)題是希望幫助學(xué)生認(rèn)清有理數(shù)和無(wú)理數(shù)概念的本質(zhì)區(qū)別，能正確識(shí)別并判斷某些數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，訓(xùn)練學(xué)生的思維判斷能力.此題也讓很多學(xué)生明白了這樣一個(gè)道理：學(xué)習(xí)不能浮于表面，要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).

【閱讀】閱讀材料，了解“無(wú)理數(shù)”的發(fā)展史.

說(shuō)明：教師通過(guò)講述“無(wú)理數(shù)”的發(fā)展史，讓學(xué)生了解發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的曲折過(guò)程，初步了解通過(guò)數(shù)學(xué)家的不斷努力，無(wú)理數(shù)的家族實(shí)際上要比有理數(shù)的家族龐大得多，逐步消除學(xué)生頭腦中“無(wú)理數(shù)很少”的感覺(jué)，從而讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)美在我們的生活中無(wú)處不在.

四、傳統(tǒng)的無(wú)理數(shù)概念呈現(xiàn)方式

一般來(lái)說(shuō)，講無(wú)理數(shù)就需要講平方根.下面筆者以上述問(wèn)題中所研究的大正方形的邊長(zhǎng)a為例，簡(jiǎn)要說(shuō)說(shuō)如何利用反證法證明a是無(wú)理數(shù).

假設(shè) a是有理數(shù)，則它可以寫(xiě)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)p[]q（p，q是整數(shù)，p與q互質(zhì)）的形式，于是2=a2=p2[]q2，即p2=2q2，由于2q2是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，不妨設(shè)p=2x，可得4x2=2q2，即q2=2x2，而2x2是偶數(shù)，所以q應(yīng)是偶數(shù)，這樣p，q都是偶數(shù)了，它們的公約數(shù)是2，與p，q互質(zhì)矛盾.由此可見(jiàn)，a不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)，人們通常將它記為2.

說(shuō)明：這里采用反證法對(duì)2是無(wú)理數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格證明，可以閱讀材料的方式供有興趣的學(xué)生閱讀，讓部分學(xué)生初步感悟反證法的思想.

結(jié) 語(yǔ)

a2=2中的a是實(shí)實(shí)在在存在的數(shù).上述對(duì)a的探究，從判斷其存在性入手，到對(duì)其定性分析，再到定量分析，最終歸納總結(jié)出 a具有的屬性.這種安排體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的方法，即在數(shù)的發(fā)展中，面對(duì)新的數(shù)時(shí)我們通常會(huì)提出如下疑問(wèn)：它存在嗎？它會(huì)是我們?cè)日J(rèn)識(shí)的數(shù)嗎？它具體會(huì)是多少呢？這種數(shù)學(xué)的研究方式是推進(jìn)數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的原動(dòng)力，教師日常要將這種方法滲透于教學(xué)的全過(guò)程.

上面的整個(gè)探究過(guò)程充分考慮了學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，巧妙地借助圖形直觀，通過(guò)實(shí)踐、探索、思考、歸納讓學(xué)生感受 a不能化為分?jǐn)?shù)的形式，揭示了無(wú)理數(shù)的客觀存在及其本質(zhì)屬性——無(wú)限不循環(huán)小數(shù).不難看出，這比借助平方根抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算要直觀得多.“實(shí)踐”中培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，“探索”中訓(xùn)練了學(xué)生的理性思維，“思考”中滲透了逼近思想，“歸納”中提升了學(xué)生的概括能力，“閱讀”中豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化.這樣的設(shè)計(jì)不僅能幫助學(xué)生掌握無(wú)理數(shù)的概念，同時(shí)能讓學(xué)生在觀察、比較、思考、論證的一系列思維過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)集的擴(kuò)張打下基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的有序性.

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不應(yīng)該停留在簡(jiǎn)單地讓學(xué)生去識(shí)記、讓學(xué)生利用概念去解決一些實(shí)際問(wèn)題的層面，而應(yīng)該在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究這些概念的本質(zhì)，激勵(lì)他們積極參與教學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)概念的生成過(guò)程，從而真正理解概念，正確地應(yīng)用概念.同時(shí)，教師要在概念的教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題”，形成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法和能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.學(xué)校的數(shù)學(xué)教育不單單是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是對(duì)學(xué)生思維的能力進(jìn)行培養(yǎng).教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手實(shí)踐、猜想、探究、驗(yàn)證、運(yùn)用等完整的學(xué)習(xí)過(guò)程，不僅能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，也能培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神，為他們今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】[1]萬(wàn)榮慶.僅僅讓學(xué)生記住這些 “規(guī)定” 就夠了嗎？——對(duì) “規(guī)定a0=1（a≠0）” 的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2010（08）：2-3.