陳曉云

(金陵科技學(xué)院理學(xué)院 江蘇 南京 211169)

1 引言

一維有限深方勢(shì)阱中粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，一直是量子力學(xué)中的基礎(chǔ)問題[1～3].在所有量子力學(xué)教材中，如文獻(xiàn)[1,2]，都明確指出一維有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子至少存在一個(gè)束縛態(tài)，且不需要滿足任何條件，但是在文獻(xiàn)[3]中，作者認(rèn)為一維有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子存在束縛態(tài)需要滿足一定的條件，該結(jié)論與量子力學(xué)教材的結(jié)論存在矛盾.本文指出了文獻(xiàn)[3]存在的問題，同時(shí)給出了一維對(duì)稱、一維半壁有限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子存在多個(gè)束縛態(tài)滿足的條件.

2 一維有限深方勢(shì)阱中束縛態(tài)能級(jí)的求解

2.1 對(duì)稱方勢(shì)阱

一維有限深方勢(shì)阱示意圖如圖1所示.

圖1 一維有限深對(duì)稱方勢(shì)阱

考慮一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在一維有限深對(duì)稱方勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)稱方勢(shì)阱可表示為

(1)

其中，2a為勢(shì)阱的寬度，U0為勢(shì)阱深度.

在勢(shì)阱內(nèi)(|x|≤a)和勢(shì)阱外(|x|>a)，薛定諤方程為

(2)

(3)

式(2)可化簡(jiǎn)為

(4)

其中k1，k2均為大于零的實(shí)數(shù)．方程(4)的通解為

(5)

A1,A2,B1,B2,C1,C2為待定常數(shù)．

考慮束縛態(tài)條件|x|→時(shí)，ψ(x)→0，和波函數(shù)在x=±a處的連續(xù)性條件

(6)

(7)

可得

(8)

式(8)有非零解的充分必要條件是

(9)

化簡(jiǎn)得

(10)

(11)

式中g(shù)為常量，且α,g的量綱均為1．對(duì)于束縛態(tài)，因?yàn)?

2.2 半壁有限深方勢(shì)阱

將1.1節(jié)中的U(x)換成下述式(12)的形式，就可以考慮一質(zhì)量為m的粒子在一維半壁有限深方勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)

(12)

重復(fù)上述推導(dǎo)，可以得到能量E滿足的超越方程為

(13)

下面利用Mathematica軟件用圖解法求解超越方程(11)與(13).

2.3 圖解法求解超越方程

令

利用Mathematica的畫圖命令：Plot[f(α),{α,0,1}],可以得到函數(shù)f(α)的圖形如圖2所示.

(a)

(b)

圖2給出了當(dāng)g取不同數(shù)值時(shí)，函數(shù)f1(α)和f2(α)隨著變量α(0<α<1)的變化曲線圖．表1列出了對(duì)應(yīng)于不同g值的對(duì)稱勢(shì)阱系統(tǒng)存在的束縛態(tài)能級(jí)．

表1 不同g值下一維有限深對(duì)稱勢(shì)阱存在的束縛態(tài)能級(jí)

從圖2和表1，可以看到，隨著g值的增加，曲線與α軸的交點(diǎn)數(shù)目增多，即束縛態(tài)能級(jí)的個(gè)數(shù)隨之增加，并且存在如下規(guī)律：

(1)對(duì)于對(duì)稱勢(shì)阱，當(dāng)0

(2)通過細(xì)致調(diào)節(jié)g值的大小，可以得到如下規(guī)律： 對(duì)于對(duì)稱勢(shì)阱，當(dāng)π

因此我們可以看到，對(duì)于對(duì)稱勢(shì)阱，不需要滿足任何條件，當(dāng)g取任意值時(shí)，即不管勢(shì)阱的寬度、深度、粒子的質(zhì)量取何值，粒子都會(huì)存在束縛態(tài)，且存在(n+1)個(gè)束縛態(tài)的條件為

nπ

(14)

而對(duì)于半壁勢(shì)阱，當(dāng)且僅當(dāng)g≥π時(shí)，才會(huì)有束縛態(tài)的出現(xiàn)，且運(yùn)動(dòng)粒子存在n個(gè)束縛態(tài)的條件為

(2n-1)π≤g<(2n+1)π

(15)

我們的結(jié)論和量子力學(xué)教材是一致的，但是式(14)和文獻(xiàn)[3]的結(jié)論存在矛盾，通過對(duì)文獻(xiàn)[3]的推導(dǎo)過程仔細(xì)檢查后發(fā)現(xiàn)，在文獻(xiàn)[3]中，利用三角函數(shù)和角公式將式(8)變成式(9)時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤．正確的推導(dǎo)過程如下：

文獻(xiàn)[3]中，式(8)和本文中式(10)的定義一致

下面對(duì)該式進(jìn)行化簡(jiǎn)．

則

定義

所以

sin (2k1a+φ)=

sin 2k1acosφ+cos 2k1asinφ=

即式(10)可化簡(jiǎn)為

(16)

sin (2k1a-φ)=sin 2k1acosφ-cos 2k1asinφ=

則式(10)可化簡(jiǎn)為

(17)

在本文中，我們只需用圖解法直接求解方程(10)，即可得到區(qū)間(0,U0)的束縛態(tài)能級(jí)，無需將勢(shì)阱U0劃分成兩個(gè)區(qū)間，這樣使得問題更簡(jiǎn)單更明了．

3 結(jié)束語

本文對(duì)一維有限深對(duì)稱方勢(shì)阱和半壁勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的束縛能存在的條件進(jìn)行了探究，計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于一維有限深對(duì)稱方勢(shì)阱，粒子束縛能的存在與勢(shì)阱的寬度、深度和粒子的質(zhì)量無關(guān)，肯定會(huì)有束縛態(tài)的存在；而在半壁勢(shì)阱中，束縛態(tài)的出現(xiàn)是有條件的．這個(gè)條件可以用來解釋原子分子物理中的現(xiàn)象，即兩個(gè)粒子之間存在吸引不一定能夠形成束縛態(tài).因?yàn)槲覀冊(cè)诮鈨审w問題的時(shí)候，引入雅可比坐標(biāo)將兩體問題化成單體問題時(shí)，在中心立場(chǎng)下，考慮基態(tài)情況，在球坐標(biāo)系中，此時(shí)系統(tǒng)滿足的薛定諤方程和一維半壁有限深勢(shì)阱滿足的方程一致.因此,即使這兩個(gè)粒子之間存在吸引，也不一定能夠形成束縛態(tài)．并且，分別給出了在兩種勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子存在n個(gè)束縛態(tài)的條件，指出了早期文獻(xiàn)存在的問題．