摘 要：學(xué)習(xí)即“發(fā)現(xiàn)”，是一種循序漸進(jìn)的螺旋式發(fā)現(xiàn)的過程?！鞍l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”是我們的一種課堂追求，讓孩子行走在“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的路上。以“平均數(shù)”教學(xué)為例：在比較中發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的學(xué)習(xí)需要，在探究中發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，在深化中發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的基本特征，在應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的實(shí)踐價(jià)值。

關(guān)鍵詞：“發(fā)現(xiàn)”;比較;探究;深化;應(yīng)用

學(xué)習(xí)即發(fā)現(xiàn)，是一種循序漸進(jìn)的螺旋式發(fā)現(xiàn)的過程?！鞍l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”，是指學(xué)生在教師的有效引領(lǐng)下，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)踐中，通過經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，獲取“四基”，提升“四能”，從而發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)。下面以“平均數(shù)”教學(xué)為例，分享探索實(shí)踐中對(duì)“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的認(rèn)識(shí)和體會(huì)。

平均數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)是引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)數(shù)的概念，在日常的教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生在比較中“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的學(xué)習(xí)需要，在探究中“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，在深化中“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的基本特征，在應(yīng)用中“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的實(shí)踐價(jià)值，從而發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、 比較：“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的學(xué)習(xí)需要

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)總是與一定的社會(huì)背景即“情境”相聯(lián)系，情境充分展現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容，將理論的知識(shí)用具體化，形象化展現(xiàn)出來，便于學(xué)生理解和吸收，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到社會(huì)生活中，感受這些知識(shí)的具體應(yīng)用，發(fā)散學(xué)生的思維，充分挖掘這些知識(shí)的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)。教師也可以根據(jù)這一特點(diǎn)來開展課堂的教學(xué)活動(dòng)，引進(jìn)多元化的教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)課堂的創(chuàng)新，將社會(huì)環(huán)境轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境，拓寬學(xué)生思維和學(xué)習(xí)的空間，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展。

二、 探究：“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義

蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界里，這種需要?jiǎng)t特別強(qiáng)烈?！睂W(xué)習(xí)貴在探究，探究成在“發(fā)現(xiàn)”。教師在教學(xué)中應(yīng)賦予學(xué)生探究的權(quán)利，要讓每一個(gè)孩子都在探究，鼓勵(lì)孩子自探自得，讓每一個(gè)孩子在每一節(jié)課上都有新的發(fā)現(xiàn)，讓不同的孩子有不同的發(fā)現(xiàn)，讓同一發(fā)現(xiàn)有不同的表達(dá)，將學(xué)習(xí)過程變成自主探究、自我發(fā)現(xiàn)、自然生長(zhǎng)的歷程。

三、 深化：“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的基本特征

弗賴登塔爾說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來?！苯處熜枰o予學(xué)生足夠的空間，優(yōu)化教學(xué)環(huán)境，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情景，使其親歷深化過程，深入開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐步學(xué)會(huì)更清晰、更合理、更全面地思考問題，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，培養(yǎng)勇于發(fā)現(xiàn)的理性精神。

【教學(xué)片斷1】

（一）感受平均數(shù)的虛擬性

師：（出示男生套圈情況統(tǒng)計(jì)圖）回看這張統(tǒng)計(jì)圖。在移多補(bǔ)少的過程中什么不變？

生1：他們套中的總個(gè)數(shù)沒變。

生2：人數(shù)不變。

師：在總數(shù)和人數(shù)不變的情況下，平均每人套中7個(gè)。這7個(gè)是李小剛（張明、王宇、陳曉杰）套中的個(gè)數(shù)嗎？

（學(xué)生都說“7”不是李、張、陳套中的個(gè)數(shù)，但有人認(rèn)為是王宇套中的，因?yàn)橥跤钫锰字辛恕?”個(gè)。）

生3：平均數(shù)“7”和王宇套中的“7”不一樣。王宇套中的“7”個(gè)是他個(gè)人的，平均數(shù)“7”跟四個(gè)人都有關(guān)系的，是平均每人套中的個(gè)數(shù)。

生4：王宇套中的“7”是真實(shí)的，平均數(shù)“7”是先合后分的結(jié)果，或者說是移多補(bǔ)少之后的結(jié)果，代表男生套圈的整體水平，不是王宇一個(gè)人的水平，所以平均數(shù)有點(diǎn)虛。

師：說得真好，平均數(shù)不同于每一個(gè)真實(shí)的數(shù)，它代表一組數(shù)據(jù)“整體水平”的“虛擬”的數(shù)?！景鍟禾摂M性】

（二）發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的取值范圍

出題：小麗有3條絲帶（如下圖），它們的平均長(zhǎng)度是多少厘米？

A. 14厘米

B. 18厘米

C. 24厘米

師：選擇，并說說理由。

生1：選擇B，我用的是排除法，因?yàn)椴豢赡苁?4厘米，也不可能是24厘米。

生2：選擇B，因?yàn)槠骄鶖?shù)表示移多補(bǔ)少后的結(jié)果，這里的“24”最長(zhǎng)，需要移給其他彩帶，這里的“14”最短，需要補(bǔ)給它，所以只會(huì)是18厘米。

生3：選擇B，因?yàn)槠骄鶖?shù)位于最小數(shù)和最大數(shù)之間。

生4：選擇B，我是用計(jì)算方法得到的，（14+24+16）÷3=18（厘米）。

師：綜合大家所說，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)移多補(bǔ)少后的結(jié)果，所以平均數(shù)應(yīng)該有一個(gè)范圍，比最小數(shù)大，比最大數(shù)小，就是一組數(shù)據(jù)的中間水平?！景鍟喝≈捣秶?/p>

（三）發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的敏感性

師：老師為大家準(zhǔn)備了三條不同長(zhǎng)短的繩子，它們的長(zhǎng)度分別是80厘米，25厘米，22厘米，大家可以先計(jì)算三條繩子的平均數(shù)，如果我再加入一條或長(zhǎng)或短的繩子，那么平均數(shù)會(huì)有什么變化呢？

生1：如果第4條繩子是50厘米，80厘米甚至100厘米，平均數(shù)會(huì)增大。

生2：如果第4條繩子小于10厘米，那么平均數(shù)會(huì)減小。

生3：如果加入的繩子在30厘米左右，那么平均數(shù)的變化不大。

師：那么我們可以發(fā)現(xiàn)，在加入的繩子中，如果超過了平均數(shù)，那么平均數(shù)便會(huì)增加，如果小于平均數(shù)，那么平均數(shù)就會(huì)減小，如果在平均數(shù)左右那么平均數(shù)也不會(huì)發(fā)生太大的變化。平均數(shù)作為一種統(tǒng)計(jì)量，會(huì)受到每一個(gè)數(shù)據(jù)的變化而變化。你看，平均數(shù)多敏感?。　景鍟好舾行浴?/p>

“平均數(shù)”這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容很多，既要感受平均數(shù)是移多補(bǔ)少后得到的一個(gè)虛擬數(shù)，又要明確平均數(shù)的取值范圍，還要體會(huì)平均數(shù)的敏感性。如果將這些數(shù)感的培養(yǎng)目標(biāo)分散到繁雜的素材中，則會(huì)增加學(xué)生的閱讀量，不便于發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的基本特征。鑒于此，筆者采用了例題再用和彩帶題兩用的方式，以恰當(dāng)巧妙的材料幫助學(xué)生真正理解概念，深入走進(jìn)“平均數(shù)”，多維度豐富學(xué)生對(duì)“平均數(shù)”的感悟，讓“平均數(shù)”這一統(tǒng)計(jì)量能反映一組數(shù)據(jù)的整體水平的功能體現(xiàn)得淋漓盡致，使學(xué)生對(duì)于平均數(shù)的認(rèn)識(shí)更全面、立體、豐富，形成良好的數(shù)感，為提升數(shù)據(jù)分析觀念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

四、 應(yīng)用：“發(fā)現(xiàn)”平均數(shù)的實(shí)踐價(jià)值

應(yīng)用是溝通知識(shí)與能力的橋梁。教師的教學(xué)任務(wù)不僅僅在于滲透數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均數(shù)，在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用，以及應(yīng)用價(jià)值，并且學(xué)會(huì)利用這些知識(shí)解決生活問題，更好地發(fā)現(xiàn)知識(shí)的實(shí)踐價(jià)值。鑒于此，從數(shù)學(xué)走向生活，筆者化“冰冷的應(yīng)用”為“火熱的思考”，在應(yīng)用題的教學(xué)中開展生活化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到生活中解決相關(guān)問題，掌握知識(shí)的具體應(yīng)用，培養(yǎng)勇于探索、敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性精神。

【教學(xué)片斷2】

（一）舉例

師：平均數(shù)在生活中，應(yīng)用非常廣泛，你能舉例說說嗎？

（生舉例，略）

（二）辨析

師：（出題1）2015年中國(guó)女性的平均壽命大約是77歲，小明的奶奶已經(jīng)76歲了，小明內(nèi)心很郁悶。你對(duì)此事有什么看法？

生1：小明肯定沒有學(xué)過平均數(shù)。

生2：77歲只是平均壽命，小明的奶奶如果身體健康，注意運(yùn)動(dòng)，心情愉快，完全可以超過平均年齡的。

生3：我要告訴小明，身體棒棒，活到99就沒問題，平均數(shù)“77”和奶奶沒有很大關(guān)聯(lián)。

師：（出題2）小東所在小組同學(xué)平均體重是36千克，小剛所在小組同學(xué)的平均體重是34千克。小東一定比小剛重。你們認(rèn)為呢？

生1：不一定。小東可能是他們小組最輕的，比36千克少，小剛可能是他們小組最重的，比34千克多。

生2：不一定。36千克和34千克只是一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這組數(shù)據(jù)中的數(shù)可能比平均數(shù)大，可能比平均數(shù)小，也可能和平均數(shù)一樣大。

生3：我覺得無法比較。我們知道，平均數(shù)很敏感，一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都會(huì)影響平均數(shù)，因?yàn)橐贫嘌a(bǔ)少成同樣多;而得到的平均數(shù)卻和每個(gè)數(shù)沒有必然聯(lián)系，因?yàn)槠骄鶖?shù)只代表整體水平。

師：平均數(shù)能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)大，表示整體水平高。但反過來，整體水平高，并不代表每個(gè)個(gè)體的水平高，整體水平低，并不代表每個(gè)個(gè)體的水平低。

（三）拓展

師：出示P53頁(yè)“你知道嗎”內(nèi)容：

閱讀，你知道了什么？

生1：這還是說平均數(shù)很敏感，會(huì)受到極端數(shù)的影響。

生2：我覺得用去掉最高分和最低分的辦法計(jì)算比賽成績(jī)很公平，能代表選手的實(shí)際水平。

師：這就是考慮到平均數(shù)的敏感性，剔除極端數(shù)據(jù)后計(jì)算平均分，這樣的成績(jī)統(tǒng)計(jì)更合理，這是平均數(shù)在生活中靈活運(yùn)用。

師：有這樣一個(gè)場(chǎng)景，超市的蔓越莓干30元/kg，葡萄干22元/kg，核桃仁48元/kg，將它們混合在一起，標(biāo)價(jià)為50元/kg，你認(rèn)為這樣標(biāo)價(jià)合理嗎？

生1：我認(rèn)為很合理，他們?nèi)齻€(gè)的單價(jià)平均數(shù)為50，混合在一起，可以賣50元1千克。

生2：我認(rèn)為不合理，因?yàn)?0元的基礎(chǔ)是將蔓越莓干、葡萄干和核桃仁平均混合在一起，將100千克蔓越莓干、葡萄干和核桃仁

重的1/3作為標(biāo)價(jià)才算合理。

生3：對(duì)！如果在這1千克中，核桃仁很少，大部分為蔓越莓干和葡萄干，那么它的價(jià)格便低于了平均數(shù)。

師：沒錯(cuò)，雖然平均數(shù)是數(shù)的集合平均，但是如果在生活中應(yīng)用平均數(shù)，還需要視具體情況而定。就像剛才這一道題目，商家可能為了謀取利益，混合少量的核桃仁來提高整體的價(jià)格。同學(xué)們?cè)谏钪袘?yīng)用平均數(shù)時(shí)，需要聯(lián)想今天這一題目靈活的變通，考慮到實(shí)際情況，接下來我們會(huì)學(xué)習(xí)更深層次的平均數(shù)內(nèi)容，也需要學(xué)生保持著生活化的思維，更加靈活的應(yīng)用這些知識(shí)。

平均數(shù)屬于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，他在生活中的多個(gè)方面都得到了具體的體現(xiàn)，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)注重生活化的體現(xiàn)，帶領(lǐng)學(xué)生挖掘生活中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，掌握這些數(shù)據(jù)的具體應(yīng)用，樹立一定的生活化思維，從數(shù)據(jù)分析的角度探尋解決問題的途徑。上述教學(xué)中，筆者把課堂的“溫度”建立在思維的高度上，使孩子沉浸在實(shí)踐應(yīng)用的欣喜氛圍中，感悟平均數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用以及對(duì)決策分析的作用，初步培養(yǎng)用數(shù)據(jù)說話的意識(shí)，極大地促進(jìn)思維全面打開，并向縱深處發(fā)展，獲得了不起的“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”。

“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”是我們的一種課堂追求，讓學(xué)生行走在“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的路上。只有從學(xué)生的生長(zhǎng)需求出發(fā)，建立自由創(chuàng)生的學(xué)習(xí)場(chǎng)，放手讓學(xué)生自己去探索、深化、應(yīng)用，才能讓其在深度學(xué)習(xí)中積蓄能量、收獲“發(fā)現(xiàn)”、拔節(jié)生長(zhǎng)、提升素養(yǎng)。

作者簡(jiǎn)介：陸敏雅，江蘇省常州市，江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)戴溪小學(xué)。