姚振寧 劉起坤 周長林

(中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué),河南 鄭州 450001)

靜態(tài)電磁場作用下多個(gè)物體間的相互作用計(jì)算問題是一種復(fù)雜的多體耦合問題,可用于分析電流變液[1-3]、磁流變液[4,5]、復(fù)合磁性液體[6]。在低磁艦船磁性防護(hù)中,船上空心殼體鐵磁設(shè)備間的相互磁化會(huì)直接影響全船磁性指標(biāo)的控制,為快速分析相互磁化影響,把復(fù)雜的空心殼體鐵磁設(shè)備近似等效為球殼,此時(shí)需要研究球殼間的相互磁化問題。

含有多個(gè)磁介質(zhì)球殼的球殼系統(tǒng)在外磁場中的磁化十分復(fù)雜,這是因?yàn)楸煌獯艌龃呕那驓?huì)產(chǎn)生相互磁化,當(dāng)球殼為鐵磁物質(zhì)時(shí),這種相互磁化作用更強(qiáng)。目前,關(guān)于靜態(tài)電磁場作用下多個(gè)球體間的相互耦合研究有很多,這些研究方法可以被借鑒用到外磁作用下球殼系統(tǒng)空間磁場的計(jì)算上。文獻(xiàn)[7]～文獻(xiàn)[9]在雙球坐標(biāo)系中求解雙球靜電問題,并由拉普拉斯方程獲得解析解,但解析解是用積分或特殊函數(shù)來表示的,使用起來不方便。文獻(xiàn)[10]利用正交函數(shù)法求解雙球靜電問題,雖然可以獲得解析解,但解析解含有無窮級(jí)數(shù)。文獻(xiàn)[11]～文獻(xiàn)[13]利用多極矩展開法來計(jì)算電介質(zhì)球間的相互作用,當(dāng)介電常數(shù)較小時(shí),計(jì)算比較方便,但如果介電常數(shù)較大,計(jì)算項(xiàng)數(shù)將迅速增多。文獻(xiàn)[14]利用鏡像法來計(jì)算導(dǎo)體球系統(tǒng)的偶極矩或電場空間分布,鏡像法比較適合由單個(gè)或多個(gè)形狀對(duì)稱物體組成的系統(tǒng),而且計(jì)算精度高、速度快,但一般只適用于導(dǎo)體球系統(tǒng)或介電常數(shù)足夠大的電介質(zhì)球系統(tǒng)。文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)了鐵質(zhì)球體間的相互磁化產(chǎn)生的鏡像磁偶極子磁矩和鏡像磁荷,并得到外磁作用下鐵質(zhì)球體系統(tǒng)空間磁場的鏡像解析解,雖然鏡像解析解的計(jì)算精度較高,但只適用于球體系統(tǒng)空間磁場的計(jì)算,不適用于球殼系統(tǒng)空間磁場的計(jì)算。相對(duì)于球體間相互磁化,球殼間的相互磁化更為復(fù)雜,目前還沒有公開文獻(xiàn)利用解析解來計(jì)算球殼間的相互磁化問題。

本文從外磁作用下的單個(gè)球殼與單個(gè)球體產(chǎn)生的磁場規(guī)律出發(fā),通過引入磁場比例系數(shù)把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化,并根據(jù)鏡像法推導(dǎo)出球殼間的相互磁化規(guī)律,進(jìn)而求出外磁作用下球殼系統(tǒng)空間磁場的鏡像解,并分析討論了鏡像解的計(jì)算階數(shù)選擇,最后驗(yàn)證了球殼系統(tǒng)空間磁場鏡像解的正確性。當(dāng)球殼為弱磁物質(zhì)時(shí),由于相對(duì)磁導(dǎo)率較小,球殼間的相互磁化作用不明顯,所以本文研究外磁作用下鐵質(zhì)球殼系統(tǒng)空間磁場的計(jì)算。

1 球殼系統(tǒng)空間磁場表達(dá)式

如圖1所示,球殼系統(tǒng)置于真空中,設(shè)球殼1(球心為O1)的內(nèi)外徑分別為Ri和R,球殼2(球心為O2)的內(nèi)外徑分別為ri和r,球心間的距離為d,球殼相對(duì)磁導(dǎo)率為μr,He為均勻外磁場。

圖1 球殼系統(tǒng)

在外磁場作用下,球殼系統(tǒng)被磁化,其在周圍空間任一場點(diǎn)P產(chǎn)生的空間磁場表達(dá)式為

式中,H1和H2為兩個(gè)球殼由于被外磁場磁化而分別在場點(diǎn)P產(chǎn)生的空間磁場;H′1和H′2為這兩個(gè)磁化的球殼由于相互磁化而分別在場點(diǎn)P產(chǎn)生的附加空間磁場。H1和H2可由以下三式求出[16]

式中,m1、m2為兩個(gè)球殼被外磁場磁化后的等效磁偶極子磁矩;r1、r2的方向由球心O1、O2分別指向場點(diǎn)P;λ1、λ2為兩個(gè)球殼的磁場比例系數(shù)。

可見,求解球殼系統(tǒng)空間磁場的關(guān)鍵在于計(jì)算附加空間磁場,而附加空間磁場沒有直接的解析表達(dá)式,需要通過其他方法求出。

2 附加空間磁場的鏡像計(jì)算

如圖2所示,設(shè)系統(tǒng)中球殼1(球心為O1)的內(nèi)外徑分別為Ri和R,球殼2(球心為O2)的內(nèi)外徑分別為ri和r,球殼2被外磁場磁化后的等效磁偶極子磁矩為m2=m2x e x+m2y e y+m2z e z,假定球心O1為坐標(biāo)原點(diǎn),并令α=(μr-1)/(μr+1)。

圖2 球殼間的磁化

在相同均勻外磁場作用下,單個(gè)球殼與單個(gè)球體產(chǎn)生的磁場形式相同,僅僅相差一個(gè)磁場比例系數(shù),所以可以通過引入磁場比例系數(shù),把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化。根據(jù)由鏡像法推導(dǎo)出的球體間的相互磁化研究[15],并引入磁場比例系數(shù),則等效磁偶極子磁矩為m2的球殼2對(duì)球殼1的磁化等效為球殼1內(nèi)的一個(gè)鏡像磁偶極子磁矩和兩個(gè)鏡像磁荷,其各自表達(dá)式和位置為

式中的磁場比例系數(shù)λ1可用式(4)第一式表示,而鏡像磁偶極子、鏡像磁荷產(chǎn)生的磁場就是球殼1的附加空間磁場

同理,如圖3所示,球殼1被外磁場磁化后的等效磁偶極子磁矩為m1=m1x e x+m1y e y+m1z e z,則等效磁偶極子磁矩為m1的球殼1對(duì)球殼2的磁化等效為球殼2內(nèi)的一個(gè)鏡像磁偶極子磁矩和兩個(gè)鏡像磁荷,其各自表達(dá)式和位置為

式中的磁場比例系數(shù)λ2可用式(4)第二式表示,而鏡像磁偶極子、鏡像磁荷產(chǎn)生的磁場就是球殼2的附加空間磁場

因此,根據(jù)式(2)、式(6)和式(8)的表達(dá)式,再由式(1)即可求出球殼系統(tǒng)空間磁場的鏡像解。

圖3 球殼間的磁化

式(5)、式(6)、式(7)和式(8)分析了球殼間的一階相互磁化,并沒有考慮高階相互磁化。仿照準(zhǔn)靜態(tài)場中各階場分析方法,由一階相互磁化可以獲得二階以及更高階相互磁化(每階相互磁化均考慮磁場比例系數(shù)),然后把各階附加空間磁場相疊加,則可以獲得較高精度的附加空間磁場。

3 計(jì)算階數(shù)選擇

為了獲得較高精度的鏡像解,必須考慮高階相互磁化。當(dāng)鏡像解的計(jì)算階數(shù)選擇過大時(shí),計(jì)算過程復(fù)雜;當(dāng)鏡像解的計(jì)算階數(shù)選擇過小時(shí),計(jì)算精度可能不夠。因此,需要合理選擇鏡像解的計(jì)算階數(shù)。

圖4 各階鏡像

圖5 極端情況下衰減程度隨階數(shù)變化曲線

由圖可以看出:隨著階數(shù)增加,衰減程度逐漸減小,衰減速度逐漸變慢;當(dāng)階數(shù)到20左右時(shí),衰減程度已經(jīng)很小。實(shí)際上,在一般情況下(d＞2R且μr 為有限值),由于λ＜1、α＜1 和(d-d i)＞R,所以和的衰減速度非常快,鏡像解只需考慮前幾階相互磁化即可。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文鏡像解算法的正確性,采用積分方程法計(jì)算外磁作用下的球殼系統(tǒng)空間磁場(剖分單元足夠多),把數(shù)值解作為真解。

4.1 積分方程法數(shù)值計(jì)算

如圖6所示,假設(shè)任意形狀物體離散為N個(gè)單元,Q i為第i個(gè)離散單元中心(i=1,2,…,N),μr為相對(duì)磁導(dǎo)率,P為周圍空間任一場點(diǎn),He為外磁場。

圖6 積分方程法數(shù)值計(jì)算示意圖

首先,將場點(diǎn)P分別置于各離散單元中心,則可以得到以各離散單元磁場強(qiáng)度為未知量的線性方程組(如果外磁場是均勻的,則下式中的He(r Pj)=常數(shù))

式中,j=1,2,…,N,r Qi為第i個(gè)離散單元的矢徑,r Pj為第j個(gè)離散單元(即場點(diǎn)P)的矢徑,r Pj Qi為第i個(gè)離散單元到第j個(gè)離散單元的矢徑。然后,求解以上線性方程組可以得到各離散單元磁場強(qiáng)度。最后,代入下式可以得到外磁場作用下任意形狀物體在周圍空間任一場點(diǎn)P產(chǎn)生的空間磁場

4.2 鏡像解驗(yàn)證

如圖7所示,球殼系統(tǒng)置于均勻外磁場Be=[33500n T,6000n T,35000n T]中,兩個(gè)球殼的外徑分別為R和r,間距為l,μr均為100,厚度外徑比均為D。計(jì)算場點(diǎn)位于球殼下方的一條直線上,與x軸間的距離為2R,計(jì)算場點(diǎn)個(gè)數(shù)為21,鏡像解的計(jì)算階數(shù)為20。利用TrueGrid剖分軟件將每個(gè)球殼進(jìn)行剖分(為了清晰地顯示球殼的內(nèi)部輪廓,圖中僅給出了球殼的下半部分),然后采用以上積分方程法求數(shù)值解。

圖7 球殼系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)示意圖

為了評(píng)估鏡像解的誤差大小,本文計(jì)算了鏡像解的最大相對(duì)誤差er,max=emax/Bt,max(Bt,max為所有計(jì)算場點(diǎn)的真解最大值,emax為所有計(jì)算場點(diǎn)的鏡像解絕對(duì)誤差最大值)。為了對(duì)比檢驗(yàn)鏡像解的計(jì)算效果,本文計(jì)算了疊加解及其最大相對(duì)誤差(疊加解即為不考慮相互磁化的本文零階鏡像解)。

圖8和圖9分別給出了r=R和R/2時(shí)場點(diǎn)鏡像解、疊加解與真解(l=0,D=0.1)。由圖可以看出:疊加解與真解吻合較差,當(dāng)r=R時(shí),其x、y和z分量的er,max分別為36.76%、15.84%和24.04%,當(dāng)r=R/2時(shí),其x、y和z分量的er,max分別為15.45%、7.35%和13.62%;鏡像解與真解吻合較好,當(dāng)r=R時(shí),其x、y和z分量的er,max分別為3.31%、2.98%和3.38%,當(dāng)r=R/2時(shí),其x、y和z分量的er,max分別為3.12%、3.21%和4.03%。

圖8 鏡像解、疊加解與真解的比較(r=R)

圖9 鏡像解、疊加解與真解的比較(r=R/2)

另外,需要考查球殼的厚度對(duì)鏡像解誤差的影響,圖10為鏡像解的er,max隨厚度外徑比變化曲線(l=R/10,r=R)。由圖可以看出,鏡像解的er,max較小,其三個(gè)分量均小于3.5%。

可見,鏡像解的計(jì)算誤差非常小,且適用于不同厚度的球殼系統(tǒng)空間磁場的計(jì)算。此外,相對(duì)于復(fù)雜耗時(shí)的數(shù)值計(jì)算方法,鏡像計(jì)算把球殼間的相互磁化最終等效為鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩,而鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩具有清晰簡潔的表達(dá)式,所以本文鏡像解算法能夠快速分析相互磁化影響。圖8、圖9及圖10中鏡像解的很小誤差主要源于:為把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化,引入磁場比例系數(shù)所帶來的誤差;求解系統(tǒng)空間磁場的鏡像法本身誤差。

圖10 鏡像解的最大相對(duì)誤差隨厚度外徑比變化曲線

5 結(jié)語

本文從外磁作用下的單個(gè)球殼與單個(gè)球體產(chǎn)生的磁場規(guī)律出發(fā),引入磁場比例系數(shù),把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化,提出一種能夠計(jì)算球殼系統(tǒng)空間磁場的鏡像解算法,最后仿真結(jié)果驗(yàn)證了鏡像解的正確性,且適用于不同厚度的球殼系統(tǒng)空間磁場的計(jì)算。從整個(gè)計(jì)算過程來看,可以得到以下結(jié)論:

(1) 鏡像計(jì)算把球殼間的相互磁化最終等效為鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩,所以只需利用鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩的表達(dá)式就能快速定性分析球殼間的相互磁化影響,避免了復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算;

(2) 鏡像解首先考慮每個(gè)球殼被外磁場磁化,再考慮球殼間的相互磁化,因此鏡像解能夠推廣到含有多個(gè)球殼的系統(tǒng)空間磁場計(jì)算。