黃永義

(西安交通大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710049)

量子力學(xué)的基本對易關(guān)系是位置和其共軛動量的對易關(guān)系[x,p x]=i?,該對易關(guān)系包含了量子力學(xué)最核心的規(guī)律,是量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)最根本的區(qū)別。和其他物理理論類似,基本對易關(guān)系也有一個發(fā)展過程,這個發(fā)展過程也是矩陣力學(xué)的發(fā)展過程。這個發(fā)展過程是非?？焖俚?自克喇默斯色散理論在1924年提出以來,基本對易關(guān)系的三種形式,庫恩-托馬斯求和規(guī)則的萌芽形式,海森堡量子化條件的過渡形式和玻恩-約當(dāng)、狄拉克的現(xiàn)代形式都發(fā)生在1925 年。本文先簡要介紹克喇默斯色散理論,然后介紹庫恩-托馬斯求和規(guī)則,海森堡量子化條件和玻恩-約當(dāng)?shù)呢暙I、狄拉克量子泊松括號。本文的最后簡要地介紹了矩陣力學(xué)求解氫原子的過程,較詳細(xì)地闡述了波動力學(xué)與矩陣力學(xué)的等價性。

1 克喇默斯色散理論

康普頓效應(yīng)的實驗使得人們不得不承認(rèn)愛因斯坦光量子理論的正確,但這就勢必要推翻現(xiàn)有的電磁理論體系,而麥克斯韋電磁理論看上去又是如此牢不可破,無法動搖。1924 年玻爾、克喇默斯、斯萊特發(fā)表了玻爾-克喇默斯-斯萊特(BKS)理論試圖解決光波的連續(xù)性和原子躍遷的不連續(xù)這個兩難問題[1]。在BKS理論看來,當(dāng)一個原子在定態(tài)時,它會通過輻射場和別的原子建立聯(lián)系。這個虛輻射場來自于具有可能原子躍遷頻率的虛振子,它具有誘發(fā)原子躍遷的功能。由于玻爾對光量子的消極態(tài)度,BKS理論不是調(diào)和光的波動和粒子的矛盾,而是想把連續(xù)的電磁場和不連續(xù)的原子躍遷聯(lián)系起來。虛輻射場作用是通過確定原子的躍遷幾率得到統(tǒng)計的能量、動量守恒,這意味著要放棄原子對輻射發(fā)射和吸收的因果描述。由此BKS得到結(jié)論:能量、動量守恒只在統(tǒng)計意義上成立,而在基元過程不是嚴(yán)格成立。能量、動量不守恒代價太大,遭到了愛因斯坦、泡利等人的強烈反對。1925年博特和康普頓等人獨立地從實驗上否定了BKS理論,證實光子和電子相互作用的基元過程能量和動量守恒也精確成立[2,3]。他們對康普頓效應(yīng)實驗進行細(xì)致研究,實驗結(jié)果顯示康普頓散射中反沖電子和散射光子存在明顯的同時性和角度關(guān)聯(lián),這和BKS理論完全矛盾,因為后者預(yù)言散射光的發(fā)射在時間和方向上都是隨機的,與反沖電子之間不存在顯著的同時性和角度相關(guān)性。

雖然BKS理論被否定,但它的一些思想也不是毫無意義,克喇默斯利用虛擬振子的思想研究了色散現(xiàn)象并取得了積極的結(jié)果。為此我們先介紹一下經(jīng)典的色散理論,一個原子和一個價電子被視為一個電偶極振子,一束偏振的單色光E=E0cos(2πνt)照射該原子時,會產(chǎn)生和光偏振方向相同的電偶極矩p=-ex,由牛頓第二定律可得電偶極矩滿足的方程

式中m為電子質(zhì)量,=k/m振子的本征頻率。式(1)穩(wěn)態(tài)解為

如果原子有k種極化,每種極化有f k個電子,則原子的極化強度為

由此可得

式(4)的介電常數(shù)α和原子對光的折射率聯(lián)系在一起,因此稱原子對光的響應(yīng)為色散理論。

以上是原子對光色散的經(jīng)典結(jié)果,1921年拉登堡將經(jīng)典的色散理論的強度因子f和愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù)A聯(lián)系在一起,得到,其中νki=（E k-E i）/h,h為普朗克常數(shù)。將經(jīng)典形式的式(3)改寫為量子形式[4]

式(5)中的i表示原子的基態(tài),k表示激發(fā)態(tài)。這種形式的色散體現(xiàn)了原子對光的吸收,原子吸收光,同時原子的能級由基態(tài)i向高能級k躍遷。1924年克喇默斯將i推廣為激發(fā)態(tài),將拉登堡色散公式(5)改寫為

其中νik′=（E i-E k′）/h[5]。式(6)第一項內(nèi)涵和同式(5)相同,第二項對低于i能級的k′能級求和。第二項表示原子吸收光,同時原子的能級由高能級i向低能級k′躍遷,這種負(fù)吸收對應(yīng)于愛因斯坦的受激輻射。反常色散的第二項后來被拉登堡等人的一系列實驗證實。1924年克喇默斯,玻恩和范夫萊克獨立地借助于玻爾對應(yīng)原理推出了克喇默斯的色散公式(6)[6,7,8]。

2 基本對易關(guān)系的萌芽形式:庫恩-托馬斯求和規(guī)則

此式為庫恩-托馬斯求和規(guī)則[9,10]。庫恩和托馬斯沒有給出進一步研究結(jié)果,只需要稍微前進一點點,他們就能得到基本對易關(guān)系的過渡形式:海森堡量子化條件,因此庫恩-托馬斯求和規(guī)則只能算基本對易關(guān)系的萌芽形式。事實上由玻爾對應(yīng)原理,可得愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù)和x ki的關(guān)系式[11],

后文還會出現(xiàn)玻爾的對應(yīng)原理,這里我們對對應(yīng)原理作較詳細(xì)的說明。對應(yīng)原理是舊量子論時期玻爾的一個重要貢獻。在矩陣力學(xué)出現(xiàn)后玻爾曾表示量子力學(xué)的整個工具,可以看成是對包含在對應(yīng)原理中的那些傾向的一種精確表述。玻恩也認(rèn)為,對應(yīng)原理是從經(jīng)典力學(xué)通向量子力學(xué)的橋梁。什么是對應(yīng)原理呢? 1918 年玻爾是這樣表述的:沒有關(guān)于定態(tài)間躍遷機制的詳細(xì)理論,我們當(dāng)然不能普遍地得到兩個這種定態(tài)之間自發(fā)躍遷幾率的嚴(yán)格確定法,除非各個n是一些大數(shù)……對于并不是很大的那些n值,在一個給定躍遷的幾率和兩個定態(tài)中粒子位移表示式中的傅立葉系數(shù)值之間也必定存在一種密切的聯(lián)系[12]。

從玻爾的論述來看對應(yīng)原理主要目的是試圖找到影響躍遷幾率的相關(guān)因素,而玻爾表述的躍遷幾率和粒(電)子位移表示式的傅里葉系數(shù)值之間存在著密切的聯(lián)系展現(xiàn)了玻爾的強大的物理直覺,后來量子力學(xué)證實了躍遷幾率和經(jīng)典傅里葉系數(shù)對應(yīng)的躍遷振幅有關(guān)。玻爾所說的躍遷幾率與經(jīng)典振幅之間的密切的聯(lián)系包含了一些重要的定性對應(yīng),比如可以通過對經(jīng)典振幅的分析確定量子躍遷為零的情形。這樣他就可以導(dǎo)出量子躍遷的選擇定則,以及躍遷輻射的偏振性質(zhì),而這些在舊量子論時期具有極大的重要性。玻爾對應(yīng)原理的表述中“除非各個n是一些大數(shù)”這句話為人們提供了對應(yīng)原理的具體使用方法,實際情況對應(yīng)原理通常是這樣使用的,對于從定態(tài)n′～n的躍遷:

a.當(dāng)n′與n都是大數(shù),且都比n′-n大得多時,躍遷輻射的頻率與相應(yīng)軌道的經(jīng)典繞轉(zhuǎn)頻率的某個倍頻 (或者說與一個經(jīng)典泛頻) 基本重合。特別是,當(dāng)n′與n為相鄰定態(tài)時,躍遷輻射的頻率基本等于相應(yīng)軌道的經(jīng)典繞轉(zhuǎn)頻率。

b.在上述大量子數(shù)極限情形下,躍遷幾率正比于相應(yīng)泛頻所對應(yīng)的經(jīng)典振幅的平方。

c.上述規(guī)律不僅在大量子數(shù)極限下成立,而且或許在任意量子數(shù)下也成立,這個情況具有很大猜測性。

3 基本對易關(guān)系的過渡形式:海森堡量子化條件

1925年克喇默斯和海森堡采用了玻恩的做法,即把對作用量J的微商改寫為差分后導(dǎo)出了完全量子化的克喇默斯-海森堡色散公式[13]

式(10)中量子物理量x ki和其模平方|x ki|2的物理意義如前所述。為了計算色散公式(10)中|x ki|2,必須弄清楚位置坐標(biāo)x傅里葉分量xτ對應(yīng)的這個量子物理量x ki的物理本質(zhì)到底是什么,遵循的運動方程,x ki的具體形式和兩個量x ki之間的運算規(guī)則,特別是乘法規(guī)則。玻恩,海森堡,約當(dāng)討論后認(rèn)為物理量x ki的乘法不同于一般物理量的乘法,而應(yīng)該遵守未知的某種符號乘法規(guī)則,那種神秘的符號乘法規(guī)則到底是什么呢? 這些問題都是當(dāng)時量子理論急需要解決的,對當(dāng)時量子理論的發(fā)展具有極大的重要性。1925 年海森堡天才地把位置坐標(biāo)改寫成矩陣,其矩陣元為x kiei2πνki t。這樣,物理量x ki的物理本質(zhì)就是位置坐標(biāo)的矩陣元(除去時間相關(guān)的相位因子ei2πνki t),兩個物理量x ki的符號乘法即簡單的矩陣相乘。海森堡解決了上述問題,很快創(chuàng)立了矩陣力學(xué)[14,15]。

玻爾的氫原子理論中一系列定態(tài)對應(yīng)于一個能量E(n),E(l)等,兩個能級直接的躍遷原子會放出一個光子,光子的頻率滿足玻爾的頻率條件

式中?為約化普朗克常數(shù)。顯然就頻率而論,滿足里茲組合定則,即

經(jīng)典方法用振幅和頻率描述運動,必須把位置坐標(biāo)寫成傅里葉級數(shù)

式中τ在無窮范圍內(nèi)取整數(shù),ω(n)是基頻,τω(n)為諧頻。x(t)是實數(shù),使得關(guān)系式x-τ=xτ*成立。量子論中海森堡用位置坐標(biāo)矩陣代替式(13)來表達(dá)原子的信息,位置坐標(biāo)矩陣元為

式(14)中l(wèi)=n-τ為式(13)中的各項對應(yīng),并且假定x(l,n)=x(n,l)*和ω(l,n)=-ω(n,l)成立。這樣一種替換是思維的質(zhì)的飛躍,它將矩陣引入了量子力學(xué),下面的分析會看到（x(n,l)）就是一個無限維方矩陣。

海森堡將式(15)轉(zhuǎn)譯至式(16)的形式不是沒有理由的,主要的原因是使其理論滿足里茲組合定則式(12)的要求。事實上,量子論中的光是原子中電子在初末狀態(tài)躍遷的結(jié)果,經(jīng)典情況下頻率關(guān)系為τω(n)+(β-τ)ω(n)=βω(n),按照里茲組合定則要求,與經(jīng)典頻率關(guān)系對應(yīng)的量子論中頻率關(guān)系為ω(n,n-τ)+ω(n-τ,n-β)=ω(n,n-β),按此腳標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系,式(15)必然轉(zhuǎn)錄成式(16)的形式。由式(16)知,位置坐標(biāo)的平方x(t)2也是一個矩陣,其矩陣元為B(n,n-β)eiω(n,n-β)t。如果是不同的兩個物理量x(t)=∑xτeiτωt,y(t)=∑yρeiρωt的乘積,經(jīng)典的形式為z(t)=∑τzτeiτωt=,式中

式(17)轉(zhuǎn)譯至量子論為

量子論中兩個物理量乘積的表達(dá)式(18)實質(zhì)上就是數(shù)學(xué)上兩個矩陣的乘積。

有了量子論中物理量是矩陣的嶄新的思想,現(xiàn)在考查一下玻爾-索末菲量子化條件

具有的新形式了。為此我們還是從經(jīng)典表達(dá)式(13)出發(fā),借助玻爾對應(yīng)原理將量子化條件轉(zhuǎn)譯至量子論的表述。由式(13)得量子論條件表述為

現(xiàn)在需要將式(21)通過玻爾對應(yīng)原理轉(zhuǎn)譯至量子論中。玻爾對應(yīng)原理的要求:當(dāng)主量子數(shù)n很大時量子頻率過渡到經(jīng)典的頻率,即→ω(n,n-τ)。參照玻爾的頻率條件式(11)可得

上式中f(n)為任意函數(shù),即玻爾對應(yīng)原理要求將經(jīng)典情況函數(shù)f對量子數(shù)n微商替換為量子論情況下差分的形式。海森堡從玻恩那里學(xué)到了將式(21)轉(zhuǎn)譯為滿足克喇默斯的色散公式或庫恩-托馬斯求和規(guī)則的差分形式

式(22)為海森堡量子化條件。

4 基本對易關(guān)系的現(xiàn)代形式:玻恩和約當(dāng)?shù)呢暙I

海森堡發(fā)表了他的新力學(xué)后,玻恩和約當(dāng)進一步發(fā)展了海森堡的思想,他們做出的最重要的工作是將海森堡量子化條件式(22)改寫為一個更簡潔的形式[16]。玻爾-索末菲量子化條件式(19)可寫為

物理量p,q在量子論中都是矩陣,式(25)表示pq-qp矩陣為對角矩陣,其對角元（pq-qp）nn為-i?。式(25)可以寫成簡潔的形式如下

5 基本對易關(guān)系的現(xiàn)代形式:狄拉克量子泊松括號

1925年9月狄拉克的導(dǎo)師R.否勒收到海森堡基于對應(yīng)原理的僅使用物理上可觀察量建立矩陣力學(xué)的文章(一人文章),否勒建議狄拉克仔細(xì)研讀這篇文章。狄拉克的注意力被海森堡文章中神秘的令人費解的數(shù)學(xué)關(guān)系所吸引,幾個星期后狄拉克回到劍橋大學(xué),突然意識到海森堡文章中的數(shù)學(xué)形式和經(jīng)典力學(xué)中粒子運動的泊松括號一樣具有相同的結(jié)構(gòu)。從這個想法出發(fā),狄拉克很快地發(fā)展了基于非對易動力學(xué)變量的量子理論-量子泊松括號,我們看看狄拉克關(guān)于量子泊松括號的工作[17]。

兩個量子物理量的乘積如何過渡到它們的經(jīng)典泊松括號呢? 按海森堡的觀點,量子力學(xué)中任意力學(xué)量x和y都應(yīng)該具有矩陣形式,兩個力學(xué)量的乘積不滿足交換律,即xy≠yx。為了方便使用對應(yīng)原理,假設(shè)x矩陣的矩陣元x(n,n-α)的量子數(shù)n是大數(shù),α是比n小得多的數(shù)。這樣可以將x的矩陣元簡寫為x(n,n-α)=xαk,J r=n rh,h為普朗克常數(shù),角標(biāo)r代表系統(tǒng)的一對共軛變量:作用量變量J和角度變量w=ωt/2π的自由度。令m=n-α-β,這個量xy-y x的矩陣元（xy-y x）nm的經(jīng)典對應(yīng)為

式(28)中α,β均為小量子數(shù),n,m是表示初末態(tài)大量子數(shù),α+β=n-m為約束條件,第一個求和號代表對初末態(tài)之間的各種可能的躍遷求和,第二個求和號表示對共軛量J r和w r的自由度求和。xy-y x整體的矩陣對應(yīng)于-,而式(28)中初末態(tài)之間的各種可能的躍遷求和已包含在矩陣乘法里面。進一步我們得到

式中p r和q r是系統(tǒng)的任意一對共軛量。由于經(jīng)典泊松括號在正則變換下保持不變,因此式(29)成立,即在大量子數(shù)情況下量子力學(xué)中的xy-y x矩陣對應(yīng)于i?乘以經(jīng)典泊松括號{x,y},狄拉克依據(jù)玻爾對應(yīng)原理進一步假設(shè)任何量子數(shù)情況下兩者也相等即

由位置和動量的經(jīng)典泊松括號{q i,p j}=δij,狄拉克得到了玻恩和約當(dāng)曾得到的量子力學(xué)的基本對易關(guān)系[q i,p j]≡q ip j-p jq i=i?{q i,p j}=i?δij。

海森堡,玻恩,約當(dāng)三人完成了矩陣力學(xué)的完整表述[18],給出了算符的海森堡運動方程,由此建立了完整的矩陣力學(xué)。事實上,設(shè)f為位置q和動量p的所有有理函數(shù),由基本對易關(guān)系式(26)得到

令f等于系統(tǒng)哈密頓量H,哈密頓正則方程=,則式(31)變?yōu)?/p>

這樣所有是p,q的有理函數(shù)O(p,q)的運動方程為

此式為算符O的海森堡運動方程。

6 利用矩陣力學(xué)求解氫原子

用現(xiàn)代的術(shù)語來說矩陣力學(xué)是海森堡繪景下能量表象的量子力學(xué),算符的海森堡的運動方程式(33)是矩陣力學(xué)的核心方程,算符在能量表象下就是矩陣,算符的海森堡運動方程也是一個矩陣方程。矩陣力學(xué)處理量子力學(xué)問題,一般通過正則變換將系統(tǒng)的哈密頓量對角化,即W=SHS-1,式中S為變換矩陣,W為對角化的哈密頓量,其對角的矩陣元就是系統(tǒng)的能量本征值。任意算符也需要相應(yīng)的正則變換,即ˉO=SOS-1,變換后海森堡運動方程為

將式(34)兩邊取(nm)矩陣元,考慮到W為對角化矩陣W ni=W niδni=W nnδni得

式(35)的解為

算符O的矩陣隨時間的變化關(guān)系為

可見在矩陣力學(xué)里力學(xué)量矩陣隨時間的變化關(guān)系比較簡單。具體的物理問題往往和力學(xué)量矩陣元的模平方成正比,如光譜的強度和原子的位置矩陣元的模平方|r nm|2成正比,力學(xué)量矩陣隨時間的變化并不顯得那么重要,而矩陣力學(xué)的主要任務(wù)是通過正則變換將系統(tǒng)的哈密頓量對角化獲得系統(tǒng)的能量本征值。如何通過變換將系統(tǒng)的哈密頓量對角化呢? 一般先找到系統(tǒng)相互對易的力學(xué)量完全集,取這些力學(xué)量為共同表象,則這些力學(xué)量同時具有確定的值,然后根據(jù)由基本對易關(guān)系導(dǎo)出的力學(xué)量之間的對易關(guān)系和某力學(xué)量矩陣元的模平方恒大于等于零可得這些力學(xué)量的量子化的本征值。利用矩陣力學(xué)可以求得（j2,j z）表象下角動量平方j(luò)2和角動量在z方向分量jz的本征值,式中j=。

需要說明的是,矩陣力學(xué)通過正則變換求得系統(tǒng)的能量或力學(xué)量的本征值,需要很高的技巧尋找和構(gòu)建合適的物理量,需要計算繁雜的對易關(guān)系,能精確可解的系統(tǒng)是十分有限的,如一維諧振子、角動量和氫原子是精確可解的系統(tǒng)。事實上波動力學(xué)精確可解的系統(tǒng)也是很少的。比較重要的是對系統(tǒng)哈密頓量進行正則變換W=SHS-1,除了能直接得到可解系統(tǒng)的能量本征值,還可以對受擾動的系統(tǒng)進行微擾計算,如非簡并微擾、簡并微擾甚至含時微擾,這樣矩陣力學(xué)能夠解決量子力學(xué)的大部分問題。由于注重力學(xué)量的對角化,矩陣力學(xué)難以解決涉及時間演化的問題,如散射。波動力學(xué)卻能很方便地處理散射問題,在處理具體問題時波動力學(xué)往往比矩陣力學(xué)簡單得多,這也是波動力學(xué)能超越矩陣力學(xué)更容易被人們接受的主要原因。

7 波動力學(xué)與矩陣力學(xué)的等價性

1926年薛定諤、泡利、艾卡特各自獨立證明了波動力學(xué)和矩陣力學(xué)的等價性,我們采用薛定諤的思路從以下幾個方面證實兩種力學(xué)的等價性[22]。

上式即是矩陣力學(xué)的基本對易關(guān)系,證明的過程中我們使用了位置、動量算符的厄米性和基矢的完備性關(guān)系。

還可以用波動力學(xué)證明矩陣力學(xué)中力學(xué)量矩陣的海森堡運動方程=oW-Wo,式中o為力學(xué)量在能量表象下的矩陣,W為對角化的哈密頓量。為此在坐標(biāo)空間取正交完備歸一的基矢u1(q),u2(q),u3(q),…為能量本征函數(shù),則有

又矩陣力學(xué)的基本假設(shè)o nm（t）=o nmeiωnmt,式中躍遷頻率滿足玻爾頻率條件?ωnm=W n-W m,由此可得

由式(39)和式(40)我們得到了力學(xué)量矩陣元的海森堡運動方程=oW-Wo（）nm,進而得到力學(xué)量矩陣的海森堡運動方程i?˙o=oW-Wo。從上述論證看薛定諤波動力學(xué)和海森堡、玻恩、約當(dāng)矩陣力學(xué)確實是等價的。

8 結(jié)語

對比波動力學(xué)愛因斯坦-德布羅意-薛定諤這條過程清晰而簡單的發(fā)展線路,矩陣力學(xué)的發(fā)展則十分繁雜和曲折離奇,其中也到處閃爍著天才們的靈感和智慧,因此順暢地整理矩陣力學(xué)的發(fā)展過程是十分必要的,這就是本文的主要工作之一。本文以量子力學(xué)的基本對易關(guān)系為抓手介紹了矩陣力學(xué)的產(chǎn)生背景和海森堡、狄拉克創(chuàng)立量子力學(xué)的靈感和工作,比較詳細(xì)地闡述了基本對易關(guān)系發(fā)展的三種形式:庫恩-托馬斯求和規(guī)則的萌芽形式,海森堡量子化條件的過渡形式和玻恩-約當(dāng)、狄拉克的現(xiàn)代形式。為了深入地理解量子力學(xué),包括矩陣力學(xué)處理問題的方法,和波動力學(xué)與矩陣力學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系,本文還簡要地介紹了矩陣力學(xué)求解氫原子的過程,較詳細(xì)地闡述了波動力學(xué)與矩陣力學(xué)的等價性。玻爾氫原子理論未能給出光譜的強度、線寬、偏振等信息,玻爾讓他的學(xué)生克喇默斯研究這個問題。計算光譜的強度要用到愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù),拉登堡研究色散現(xiàn)象時找到色散強度因子和愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù)的關(guān)系,拉登堡的工作是一個關(guān)鍵的進展,第一次把經(jīng)典的色散現(xiàn)象和量子的能級躍遷聯(lián)系起來?？死雇茝V了拉登堡的色散結(jié)果,成功地建立了克喇默斯色散理論。庫恩和托馬斯由對應(yīng)原理將克喇默斯色散公式過渡到經(jīng)典的JJ湯姆遜色散公式,得到了庫恩-托馬斯求和規(guī)則,如文中所述,這個求和規(guī)則是基本對易關(guān)系的萌芽。海森堡和克喇默斯合作,得到了完全量子化的克喇默斯-海森堡色散公式,該公式中出現(xiàn)了與位置坐標(biāo)傅里葉分量xτ對應(yīng)的量子物理量x ki,海森堡研究清楚了物理量x ki的物理本質(zhì)就是位置坐標(biāo)的矩陣元,由此建立基本對易關(guān)系的過渡形式:海森堡量子化條件。海森堡量子化條件雖然不是基本對易關(guān)系的現(xiàn)代形式,但卻是矩陣力學(xué)的開端,是量子力學(xué)概念的突破,因為海森堡明確將矩陣引入量子力學(xué)。我們也看到原子對光色散理論的研究直接導(dǎo)致了矩陣力學(xué)的誕生。玻恩和約當(dāng)完全沿著海森堡的道路,得到了量子力學(xué)基本對易關(guān)系的現(xiàn)代形式。狄拉克受到海森堡矩陣力學(xué)文章的啟發(fā)另辟蹊徑,由矩陣乘法的不對易想到經(jīng)典泊松括號,建立了量子泊松括號和經(jīng)典泊松括號的對應(yīng)關(guān)系,由此輕而易舉地得到了基本對易關(guān)系。有了基本對易關(guān)系,建立整個矩陣力學(xué)體系便是順理成章的事了。