朱釗

[摘 ?要] 函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的主線，函數(shù)的概念及其性質(zhì)是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，且傳統(tǒng)教學(xué)較難突破. 文章例談了GeoGebra軟件在函數(shù)教學(xué)中的相關(guān)案例，包括函數(shù)的概念、單調(diào)性、奇偶性、各參數(shù)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，以及函數(shù)定點(diǎn)問題的相關(guān)案例，從數(shù)形結(jié)合的角度、以趣味的方式幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)函數(shù)蘊(yùn)藏的性質(zhì)及變化規(guī)律，改善學(xué)生函數(shù)的學(xué)習(xí)方式.

[關(guān)鍵詞] 信息技術(shù);GeoGebra;中學(xué)函數(shù)教學(xué)

引言

信息技術(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)課程相結(jié)合是新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念之一. GeoGebra作為一款自由且跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，兼具“函數(shù)”“圖表”“集合”等功能，能夠同時(shí)處理代數(shù)與幾何，能夠動(dòng)態(tài)化對(duì)象，功能強(qiáng)大，使用簡單，交互性強(qiáng)[1]. 函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的主線，函數(shù)的相關(guān)概念及其圖像與性質(zhì)是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn). 對(duì)函數(shù)基本概念的不理解、對(duì)函數(shù)圖像的不明晰以及對(duì)函數(shù)模型的不敏感等是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的慣性困境[2]，而傳統(tǒng)教學(xué)較難突破. 在此背景下，GeoGebra軟件的輔助教學(xué)可以使教學(xué)動(dòng)態(tài)化、視覺化，從數(shù)形結(jié)合的角度、以趣味的方式幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)函數(shù)蘊(yùn)藏的性質(zhì)及變化規(guī)律，改善學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)方式，大大提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

函數(shù)概念的課件案例

1. 教學(xué)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)于函數(shù)概念的教學(xué)要求在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)中的作用[3]. 高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)基本概念比初中學(xué)過的函數(shù)概念更抽象、更精細(xì)、更準(zhǔn)確. 建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征. 由于定義方式的高邏輯性與抽象性，學(xué)生難以理解對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì). 在傳統(tǒng)教學(xué)下，教師給出一個(gè)具體的函數(shù)表達(dá)式，學(xué)生可以理解每取一個(gè)x值都有唯一一個(gè)對(duì)應(yīng)的y值，但這僅停留在代數(shù)階段，割裂了代數(shù)與幾何的結(jié)合. 若通過描點(diǎn)法畫圖，可以得出幾個(gè)點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但這又無法將這幾個(gè)點(diǎn)一般化，學(xué)生無法深層次理解函數(shù)概念的本質(zhì). GeoGebra作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件恰好可以彌補(bǔ)這一不足，教師可以直接列舉學(xué)生熟悉的案例，應(yīng)用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)出任意一個(gè)x值都有唯一一個(gè)對(duì)應(yīng)的y值，由此進(jìn)行深層次探究.

2. 演示過程

首先在輸入框中輸入函數(shù)y=x3+2x2-5x+2，繪制該函數(shù)的圖像. 特別需要注意的是，在輸入過程中應(yīng)將輸入法先切換為英文輸入法. 其次，制作該圖像的定義域與值域. 使用“對(duì)象上的點(diǎn)”這一功能在x軸上任取一點(diǎn)A，利用“平行線”功能過點(diǎn)A作關(guān)于y軸的平行線，與圖像的交點(diǎn)即為A在圖像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，使用“垂線”功能過點(diǎn)B作y軸的垂線，與y軸的交點(diǎn)為C.

此時(shí)可以得到三個(gè)點(diǎn)，即點(diǎn)A，B，C. 我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C即為點(diǎn)A在y軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，一個(gè)x值對(duì)應(yīng)一個(gè)y值，在傳統(tǒng)教學(xué)中通過畫圖也可以得到. 那么，如何讓學(xué)生理解兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？如何理解在自變量x變化過程中都有唯一一個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)呢？GeoGebra軟件在此案例中的“追蹤”功能可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中無法動(dòng)態(tài)演示、無法讓學(xué)生幾何直觀的缺陷. 將點(diǎn)C右擊選擇“追蹤”功能，拖動(dòng)控制它的點(diǎn)即自變量點(diǎn)A，或者建立滑動(dòng)條，追蹤點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡. （見圖1）

在這一過程中，改變點(diǎn)A的位置即改變函數(shù)的定義域，定義域改變后則會(huì)跟蹤到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，即值域的變化情況. 那么，點(diǎn)A的值每改變一次，即會(huì)出現(xiàn)一個(gè)新的軌跡點(diǎn). 通過繪制過程，我們可以明顯觀察到，在函數(shù)圖像上，每一個(gè)x值都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，從而深刻理解函數(shù)概念中集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

函數(shù)奇偶性的課件案例

1. 教學(xué)分析

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，刻畫的是函數(shù)圖像的對(duì)稱性. 一般地，如果對(duì)于函數(shù)y=f（x）的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=f（x），那么就把函數(shù)y=f（x）叫作偶函數(shù)，而對(duì)于函數(shù)y=f（x）的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）= -f（x），那么就把函數(shù)y=f（x）叫作奇函數(shù). 在傳統(tǒng)教學(xué)下，關(guān)于奇偶性這一特性的引入是從數(shù)量關(guān)系來描述的，學(xué)生對(duì)于偶函數(shù)性質(zhì)的理解可以借助二次函數(shù)圖像. 對(duì)于奇函數(shù)，課本上給出了界定方式：f（-x）=-f（x），關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱. 傳統(tǒng)教學(xué)中的奇偶性教學(xué)無法體現(xiàn)自變量取值的任意性與動(dòng)態(tài)性，要將學(xué)生的思維從靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)，可以利用GeoGebra繪制數(shù)值列表，觀察圖像上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，或?qū)⒑瘮?shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，通過動(dòng)態(tài)展示加深學(xué)生對(duì)奇偶性本質(zhì)的理解.

2. 演示過程

首先，繪制一個(gè)奇函數(shù)y=2x-2-x. 其次，為了體現(xiàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系，需要在表格區(qū)繪制一個(gè)數(shù)值列表. 在Excel表格中從A1到A7分別輸入-3到3（間隔為1）的一列數(shù)據(jù)，在B2中輸入“f（A1）”，將表格下拉至“f（A7）”，可以自動(dòng)得到相應(yīng)的函數(shù)值，觀察自變量與函數(shù)值可以發(fā)現(xiàn)：f（-3）=-7.88=-f（3），f（2）=3.75= -f（-2）. 這是傳統(tǒng)教學(xué)中通過畫圖也可以得到的信息. 那么從動(dòng)態(tài)的角度，可以用“對(duì)象上的點(diǎn)”在函數(shù)圖像上取一點(diǎn)A，使用“中心對(duì)稱”功能作出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱點(diǎn)A′，分別右擊A與A′將橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)記錄在表格區(qū);然后拖動(dòng)點(diǎn)A，表格中將記錄兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，觀察對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：自變量相反，函數(shù)值也相反，即對(duì)于函數(shù)f（x）=2x-2-x定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）=2x-2-x就是奇函數(shù)（見圖2）. 這是從“數(shù)”的角度體現(xiàn)奇函數(shù)的代數(shù)性質(zhì).

同樣，運(yùn)用GeoGebra軟件還可以從“形”的角度體現(xiàn)奇函數(shù)的幾何性質(zhì)：選擇“旋轉(zhuǎn)”功能將整個(gè)函數(shù)圖像以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)之后與原圖像重合.（見圖3）

上述操作可以直接得出旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖像，在教授過程中還可以向?qū)W生演示其旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)過程. 首先建立關(guān)于旋轉(zhuǎn)角度α的滑動(dòng)條，設(shè)置旋轉(zhuǎn)區(qū)間，比如最小值0°，最大值180°. 選擇“旋轉(zhuǎn)”功能將整個(gè)函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)角度α，可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)180°時(shí)與原圖像重合，得到奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的性質(zhì). （見圖4）

GeoGebra軟件同樣可以用來驗(yàn)證函數(shù)的奇偶性. 比如在輸入框內(nèi)輸入sinx，繪制該函數(shù)的圖像. 用同樣的方法，在輸入框內(nèi)輸入sin（-x）和-sinx. 可以在代數(shù)區(qū)看到三個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，在繪圖區(qū)看到三個(gè)函數(shù)的圖像. 隱藏函數(shù)g（x）= -sinx的圖像，只顯示其余兩個(gè)函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖像沒有重合，說明函數(shù)f（x）=sinx不是偶函數(shù);而隱藏函數(shù)f（x）=sinx的圖像，顯示另外兩個(gè)函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)圖像重合，說明函數(shù)f（x）=sinx是奇函數(shù). （見圖5）

函數(shù)單調(diào)性的課件案例

1. 教學(xué)分析

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，刻畫的是函數(shù)的變化趨勢(shì). 一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）的自變量x在其定義區(qū)間內(nèi)增大（或減小）時(shí)，函數(shù)值f（x）也隨之增大（或減?。? 函數(shù)f（x）的這兩種性質(zhì)叫作函數(shù)的單調(diào)性. 學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性是先從初中的形象描述階段逐漸過渡到高中的抽象概括階段，而在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生接觸的絕大部分都是靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)入高中后要用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn). 例如，在判斷函數(shù)f（x）=x2在[0，+∞）上的單調(diào)性時(shí)，學(xué)生最常見的錯(cuò)誤就是在給定區(qū)間里取兩個(gè)數(shù)，比如1和2，因?yàn)?2<22，所以判斷f（x）=x2在[0，+∞）上單調(diào)遞增. 因此在學(xué)習(xí)該性質(zhì)時(shí)，教師可以利用GeoGebra軟件演示函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，將有限驗(yàn)證擴(kuò)大到動(dòng)態(tài)下的無限，以數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，有效突破難點(diǎn).

2. 演示過程

GeoGebra軟件可以用于函數(shù)單調(diào)性的導(dǎo)入部分. 例如，首先繪制出函數(shù)y=x3+2x2-5x+2的圖像，其次在圖像內(nèi)構(gòu)造該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 選擇“極值點(diǎn)”功能，點(diǎn)擊函數(shù)會(huì)自動(dòng)出現(xiàn)兩個(gè)極值點(diǎn)A，B，在函數(shù)圖像上選取單調(diào)遞減區(qū)間. 對(duì)于此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間，可以設(shè)置隱藏按鈕，研究起來會(huì)更加直觀清晰. 在遞減區(qū)間中任選一點(diǎn)E，構(gòu)造點(diǎn)E在函數(shù)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F，選擇點(diǎn)E右擊“追加動(dòng)畫”，選擇左下角的播放鍵讓播放暫停，可以觀察到動(dòng)畫內(nèi)，當(dāng)自變量x從點(diǎn)A的橫坐標(biāo)-2.12移動(dòng)至點(diǎn)D的橫坐標(biāo)0.79時(shí)，x的值越大，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從12.06下降至-0.21，越來越小，即任意取-2.12≤x<x≤0.79，都有f（x）>f（x）. 在這個(gè)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：一是所取的自變量具有任意性;二是比較對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小. 同樣，在演示過程中，我們可以選擇“函數(shù)檢視”，通過列出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以觀察到：當(dāng)xy. 借助此演示，讓學(xué)生進(jìn)一步歸納概括出函數(shù)單調(diào)性的文字語言表達(dá)及數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，深化學(xué)生對(duì)單調(diào)性的理解. （見圖6）

函數(shù)各參數(shù)與圖像之間的關(guān)系的課件案例

1. 教學(xué)分析

二次函數(shù)的各參數(shù)變化對(duì)函數(shù)圖像的影響是教學(xué)的難點(diǎn). 在傳統(tǒng)教學(xué)中，大部分學(xué)生僅僅將函數(shù)看作是表達(dá)式，割裂了各參數(shù)與圖像之間的關(guān)系，難以從運(yùn)動(dòng)變化的角度理解其本質(zhì)特征. 而GeoGebra軟件可以動(dòng)態(tài)演示出三個(gè)參數(shù)的變化所引起的函數(shù)圖像的變化，突破了傳統(tǒng)教學(xué).

2. 演示過程

首先可以在自定義區(qū)間內(nèi)建立三個(gè)參數(shù)滑動(dòng)條a，b，c，比如自定義區(qū)間是[-20，20]，在輸入框中輸入a=1，b=-5，c=3，然后在輸入框中輸入y=ax2+bx+c，繪圖區(qū)就會(huì)顯示出函數(shù)y=x2-5x+3的圖像. 教師可以多做幾次實(shí)驗(yàn)，只拖動(dòng)滑動(dòng)條a時(shí)，觀察函數(shù)圖像的變化，可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)a決定拋物線開口的方向和大小. 當(dāng)a>0時(shí)，開口向上;當(dāng)a<0時(shí)，開口向下. 當(dāng)a越大時(shí)，拋物線的開口越小;反之，當(dāng)a越小時(shí)，拋物線的開口越大. 當(dāng)只拖動(dòng)b的滑動(dòng)條時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)b改變的是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸以及它的頂點(diǎn). 當(dāng)只拖動(dòng)c的滑動(dòng)條時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)c決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)位置. 當(dāng)c>0時(shí)，函數(shù)與y軸交于正半軸;當(dāng)c<0時(shí)，函數(shù)與y軸交于負(fù)半軸. 通過GeoGebra軟件的演示，可以使學(xué)生很快達(dá)成對(duì)以上規(guī)律的共識(shí).

除此之外，我們還可以探究更多的數(shù)學(xué)奧秘. 比如各參數(shù)之間的關(guān)系，當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，觀察可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè);當(dāng)b=0時(shí)，對(duì)稱軸就是y軸. 以及a，b，c共同決定判別式Δ=b2-4ac的符號(hào)，進(jìn)而決定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題. 當(dāng)Δ=0時(shí)，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ>0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí)，則沒有交點(diǎn). 這可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況、零點(diǎn)問題，讓學(xué)生深刻體會(huì)到函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的主線，體會(huì)數(shù)形結(jié)合與分類討論思想. （見圖7）

同理，在GeoGebra軟件的使用下，學(xué)生也能快速領(lǐng)會(huì)A，ω，φ三個(gè)參數(shù)的變化對(duì)三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變化的影響. GeoGebra軟件建立了數(shù)與形之間的關(guān)系，有利于函數(shù)教學(xué)的整體把握，有利于函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體建立.

函數(shù)解題的課件案例

Geogebra軟件同樣可以用來進(jìn)行解題驗(yàn)證，諸如函數(shù)的定點(diǎn)問題、零點(diǎn)問題、軌跡問題等. 下面以2020年高考數(shù)學(xué)全國一卷中的一道定點(diǎn)問題為例：

已知A，B分別為橢圓E：+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，·=8，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D. （1）求E的方程;（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

對(duì)于問題（1）的求解，通過已知可得A（-a，0），B（a，0），G（0，1），即可求得·=a2-1，結(jié)合已知可求得a2=9.

對(duì)于問題（2）的求解，考查的是計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題，可以使用Geogebra軟件得到或者驗(yàn)證問題（2）的答案.

首先根據(jù)題意構(gòu)建場(chǎng)景，切換英文半角符號(hào)，在輸入框內(nèi)直接輸入：橢圓+y2=1以及直線x=6，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，上頂點(diǎn)為G. 使用“對(duì)象上的點(diǎn)”在直線x=6上任取一點(diǎn)P，連接直線AP與直線BP，與橢圓分別交于另一點(diǎn)C與另一點(diǎn)D，連接CD. 為顯示清晰，將直線CD用紅色標(biāo)記，并右擊“開啟追蹤”. 拖動(dòng)決定直線CD變化的起始點(diǎn)P，直線CD隨之運(yùn)動(dòng)并自動(dòng)顯示出直線CD的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖8所示. 通過觀察圖像，可知直線CD恒過定點(diǎn)，0.

對(duì)于軌跡問題、定點(diǎn)問題等都可以通過GeoGebra軟件來驗(yàn)證答案，同時(shí)可以根據(jù)答案幫助思考，產(chǎn)生思路. 但是需要注意的是，信息技術(shù)只是輔助教學(xué)的一種工具，在求解答案的過程中，還是需要認(rèn)真思考并及時(shí)歸納總結(jié).

總結(jié)

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的主線. 數(shù)形結(jié)合是函數(shù)學(xué)習(xí)的重要思想之一，傳統(tǒng)教學(xué)中的函數(shù)教學(xué)無法將數(shù)字動(dòng)態(tài)化、可視化，GeoGebra軟件的輔助可以突破傳統(tǒng)教學(xué)中的不足，幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)的變化規(guī)律及性質(zhì).

教師在運(yùn)用GeoGebra的同時(shí)，可以教授學(xué)生使用方法，提高學(xué)生的主體意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力. 特別需要注意的是，信息化設(shè)備只是用來輔助教學(xué)的一種手段，教師應(yīng)加強(qiáng)自身的專業(yè)能力，處理好信息化與教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，拓展信息化與其他教學(xué)方面的聯(lián)系，發(fā)揮出信息化教學(xué)的最大優(yōu)勢(shì).

參考文獻(xiàn)：

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