張宏生，陸念力

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

雙向壓彎構(gòu)件是鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論中的一個(gè)具有普遍意義的問題，而起重機(jī)鋼結(jié)構(gòu)主要承受動(dòng)載荷，結(jié)構(gòu)受力和變形都控制在彈性范圍內(nèi)，理論上不做塑性分析。文獻(xiàn)［1］在國內(nèi)較早開展起重機(jī)鋼結(jié)構(gòu)雙向構(gòu)件穩(wěn)定性計(jì)算研究，其研究成果被應(yīng)用于我國首部起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范［2］（GB 3811—83）和塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范［3］（GB/T 13752—92）。對(duì)于空間雙向壓彎構(gòu)件的非線性強(qiáng)度計(jì)算，其本質(zhì)上是構(gòu)件截面邊緣纖維發(fā)生屈服。為了驗(yàn)算雙向壓彎構(gòu)件的非線性強(qiáng)度，起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 3811—83）中非線性強(qiáng)度計(jì)算公式（25）考慮軸向壓力、空間雙向彎矩、初始缺陷、彎矩放大系數(shù)等因素的影響，其表達(dá)形式為

式中：φψ為主要考慮初始缺陷的影響并利用當(dāng)量初撓度進(jìn)行表達(dá)的放大系數(shù)；Cmy為繞強(qiáng)軸的端部彎矩對(duì)繞弱軸端部彎矩的影響系數(shù)；Mox、Moy為繞x軸和繞y軸的端部最大彎矩；MHx、MHy為繞x軸和繞y軸的跨中最大彎矩；Cox、Coy為端部彎矩不等的折減系數(shù)；CHx、CHy為橫向載荷彎矩系數(shù)；Wy、Wx分別為繞x軸和繞y軸的抗彎模量；N為軸向壓力；A為橫截面積；NEx、NEy分別為x軸和y軸的歐拉臨界力。

而在塔式起重機(jī)中多采用格構(gòu)式構(gòu)件，因此塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 13752—92）中式（31）去掉了Cmy系數(shù)，其表達(dá)形式為

起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 3811—83）和塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 13752—92）為我國起重機(jī)行業(yè)的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。為了引入國內(nèi)外科學(xué)計(jì)算發(fā)展過程中涌現(xiàn)出來的新技術(shù)和新的設(shè)計(jì)理念，我國分別與2008和2017年發(fā)布這兩部規(guī)范的修訂版，分別是起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范［4］（GB 3811—2008）和塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范［5］（GB/T 13752—2017）。起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 3811—2008）附錄M中公式（M.1）的表達(dá)形式為

并且附錄M中明確提出式（3）是在兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)約束條件相同、在彈性工作階段的等截面構(gòu)件的前提下推導(dǎo)的。式（3）和式（2）的主要區(qū)別是取消了歐拉臨界力前的載荷系數(shù)0.9，相對(duì)而言，式（2）計(jì)算得到的復(fù)合應(yīng)力更大，計(jì)算結(jié)果偏保守。

塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 13752—2017）中式（54）對(duì)以上公式進(jìn)行了修正，其表達(dá)形式為

式中：Mx、My為構(gòu)件計(jì)算截面上繞x軸和繞y軸的彎矩。

式（1）～式（3）的推導(dǎo)前提是兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)約束條件相同，而且這3個(gè)公式對(duì)1個(gè)構(gòu)件只驗(yàn)算1次，就是簡單將最大的端彎矩和最大的跨中彎矩乘以相應(yīng)的載荷系數(shù)進(jìn)行簡單迭加，公式計(jì)算較為簡單；式（4）放棄了載荷系數(shù)，需要對(duì)多個(gè)危險(xiǎn)截面進(jìn)行驗(yàn)算，但是規(guī)范中并未給出最危險(xiǎn)截面位置。

動(dòng)臂式起重機(jī)在國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中得到廣泛應(yīng)用，其動(dòng)臂的力學(xué)模型如圖1所示。起重機(jī)動(dòng)臂在起升平面內(nèi)可等效為簡支梁模型，在起升平面外可等效為懸臂梁模型。本文首先將研究起重機(jī)動(dòng)臂利用式（4）進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)的最危險(xiǎn)截面位置，然后比較利用式（3）和式（4）進(jìn)行驗(yàn)算的差異性，最后通過算例進(jìn)行驗(yàn)證。

圖1 典型起重機(jī)動(dòng)臂的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of a typical crane boom

1 起重機(jī)動(dòng)臂載荷分析

假定所研究的起重機(jī)動(dòng)臂為等截面直桿，無初彎曲或初撓度等缺陷，即ψ=1。桿長為l，各截面參數(shù)為Ix、Iy、Wx、Wy、A。吊臂與水平面夾角θ，鋼絲繩與吊臂根部鉸點(diǎn)水平距離為a，垂直距離為b，鋼絲繩與吊臂夾角為α。在吊臂根部鉸點(diǎn)建立坐標(biāo)系，z軸沿吊臂軸線方向，x軸垂直起升平面，y軸位于起升平面?？蓪D1模型等效為懸臂梁模型和簡支梁模型。

圖2 （a）為懸臂梁模型，圖2（b）為簡支梁模型。設(shè)吊重為P，水平偏擺力為Q，鋼絲繩所受拉力為F，吊臂由鋼絲繩拉力和吊重P產(chǎn)生的軸力為Na。

由幾何關(guān)系可以建立α和θ之間的關(guān)系，得到

圖2 典型起重機(jī)動(dòng)臂的平面內(nèi)和平面外力學(xué)模型Fig.2 In-plane and out-of-plane mechanical model of a typical crane boom

對(duì)臂根鉸點(diǎn)o點(diǎn)取矩，得到鋼絲繩拉力F為

鋼絲繩拉力F和吊重P產(chǎn)生軸向壓力Na為

塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 13752—2017）中附錄F推薦了受有均布載荷的結(jié)構(gòu)件的折算軸向等效方法，將起重機(jī)動(dòng)臂軸向均布載荷qsinθ等效為桿端集中載荷。同時(shí)考慮到起升平面內(nèi)為簡支梁模型，起升平面外為懸臂梁模型，由此得到

起重機(jī)動(dòng)臂平面內(nèi)和平面外的任意一點(diǎn)彎矩可表示為

起重機(jī)動(dòng)臂平面內(nèi)為簡支梁模型，平面外為簡支梁模型，其歐拉臨界力NEx和NEy分別為

2 非線性強(qiáng)度驗(yàn)算公式

2.1 《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范GB/T 3811—2008》驗(yàn)算公式

在本文所研究的起重機(jī)動(dòng)臂模型中（見圖1），將載荷Mox=0，Moy=Ql，MHx=ql/4，MHy=0，以及相關(guān)的系數(shù)分別為Coy=0.6，CHx=1，將各項(xiàng)系數(shù)代入式（3），得到常量的應(yīng)力σ1為

2.2 《塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范GB/T 13752—2017》驗(yàn)算公式

將各項(xiàng)系數(shù)代入式（4），得到跟位置z有關(guān)的應(yīng)力函數(shù)σ2(z)為

對(duì)式（12）取一階導(dǎo)數(shù)為0，得到應(yīng)力函數(shù)σ2(z)取極大值的最危險(xiǎn)截面位置zM為

需要注意的是，在式（13）中，水平偏擺力Q通常為吊重P的函數(shù)，由偏擺角β描述，

當(dāng)偏擺角過大，式（13）中最危險(xiǎn)截面位置ZM可能為負(fù)值，這時(shí)應(yīng)該取最危險(xiǎn)截面位置ZM=0。由式（13）可知，最危險(xiǎn)截面位置ZM是吊臂各參數(shù)的函數(shù)，特別是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)完成后，兩個(gè)重要影響參數(shù)為吊臂傾角θ和偏擺角β。

將最危險(xiǎn)截面位置ZM代入到應(yīng)力函數(shù)σ2(z)，即可求出構(gòu)件截面最大應(yīng)力為

3 算例驗(yàn)證

某動(dòng)臂式起重機(jī)的動(dòng)臂參數(shù)如表1所示，分析該吊臂的危險(xiǎn)截面位置，重點(diǎn)研究其與吊臂傾角θ和偏擺角β之間的關(guān)系。為了進(jìn)行無量綱化處理，圖3的縱坐標(biāo)為zM/l，并利用式（11）和式（15）進(jìn)行校核。

由圖3可知：偏擺角β對(duì)危險(xiǎn)截面位置影響較大，特別是當(dāng)偏擺角β很小接近于0時(shí)，最危險(xiǎn)截面接近跨中；而偏擺角β大于某一個(gè)角度（本例是2.2°）時(shí)，最危險(xiǎn)截面位于臂根處。而吊臂傾角θ對(duì)吊臂危險(xiǎn)截面位置影響很小。

表1 某起重機(jī)動(dòng)臂參數(shù)Tab.1 Parameters of a typical crane boom

由圖4和圖5可知：隨著吊臂傾角θ的增大，最大計(jì)算應(yīng)力σ1和σ2都將減小，但是σ1減小的幅度更大；而偏擺角β大于某一個(gè)角度（本例是1.1°）時(shí)，σ2計(jì)算結(jié)果比σ1大，σ2計(jì)算結(jié)果偏保守；而偏擺角β小于某一個(gè)角度（本例是1.1°）時(shí)，σ1計(jì)算結(jié)果比σ2大，σ1計(jì)算結(jié)果偏保守。因此，利用式（11）和式（15）進(jìn)行雙向壓彎構(gòu)件的非線性強(qiáng)度驗(yàn)算，需要根據(jù)偏擺角不同進(jìn)行適當(dāng)選擇。

圖4 不同規(guī)范應(yīng)力結(jié)果和吊臂傾角θ和偏擺角β關(guān)系Fig.4 Design rules results with different boom angle θand hoisting skew angleβ

圖5 σ1/σ2和吊臂傾角θ和偏擺角β關(guān)系Fig.5σ1/σ2 with different boom angleθand hoisting skew angleβ

4 結(jié)論

本文回顧了起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范和塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范中關(guān)于雙向壓彎構(gòu)件非線性強(qiáng)度驗(yàn)算公式的發(fā)展歷程，通過理論分析并結(jié)合數(shù)值模擬，利用算例展示了雙向壓彎構(gòu)件校核問題，得到以下結(jié)論：

（1）給出了塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 13752—2017）進(jìn)行非線性強(qiáng)度驗(yàn)算的構(gòu)件危險(xiǎn)截面位置公式，當(dāng)偏擺載荷過大時(shí)，危險(xiǎn)截面位于吊臂根部。

（2）吊臂傾角θ對(duì)吊臂危險(xiǎn)截面位置影響很小，偏擺角β對(duì)危險(xiǎn)截面位置影響較大。

（3）隨著吊臂傾角θ的增大，利用起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 3811—2008）和塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 13752—2017）得到的非線性強(qiáng)度σ1和σ2都將減小。

（4）偏擺角β的不同，需合理選擇起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 3811—2008）和塔式起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范（GB/T 13752—2017）中非線性強(qiáng)度驗(yàn)算公式。