蔡鳳梅

[摘 要]數(shù)學(xué)識圖、作圖與析圖能力的強弱一定程度上直接影響學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。由從直觀走向抽象、從簡單走向復(fù)雜和從認(rèn)知走向思辨三個角度入手，結(jié)合具體的案例闡述如何培養(yǎng)學(xué)生識圖、畫圖與析圖的能力，從而有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]識圖;畫圖;析圖;幾何直觀

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）05-0001-03

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心概念之一， 其實質(zhì)是利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，從而有效降低數(shù)學(xué)的抽象性給學(xué)生解決問題帶來的困擾。理性審視當(dāng)前課堂教學(xué)，很多教師能認(rèn)識到運用圖形幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的重要性，但在實踐操作過程中只是停留于想當(dāng)然式的單向解析與引導(dǎo)，并沒有立足于學(xué)生的內(nèi)在需求，因而導(dǎo)致學(xué)生識圖、作圖與析圖能力缺失，對學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)造成不利影響。下面基于筆者所倡導(dǎo)的“啟智數(shù)學(xué)”教學(xué)主張，結(jié)合多年的實證性研究，就如何培養(yǎng)學(xué)生識圖、畫圖與析圖的能力進行論述。

一、從直觀走向抽象，培養(yǎng)學(xué)生識圖能力

1.培養(yǎng)識圖的習(xí)慣

小學(xué)生尚處于形象思維為主的重要階段，對直觀性、生動性的圖形更容易產(chǎn)生興趣，尤其是低年級學(xué)生，他們隨意性大，常常只會對圖中較為明顯的內(nèi)容感興趣。識圖能力是學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備條件。然而識圖能力的培養(yǎng)并非一朝一夕之事，需要教師能夠掌握學(xué)生的認(rèn)知特點和規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生對圖意進行有序的描述，促使學(xué)生養(yǎng)成識圖習(xí)慣。

例如，教學(xué)人教版教材二年級上冊“認(rèn)識乘法”時，若教師直接出示主題圖（如圖1）后便讓學(xué)生觀察，學(xué)生往往會游離于數(shù)學(xué)信息之外，將數(shù)學(xué)課演繹成看圖說話的語文課。對此，為了突出“乘法”的本質(zhì)意義，筆者通過有針對性的引導(dǎo)“圖中設(shè)置了幾種游戲項目，每種游戲項目各可以玩多少人？”將學(xué)生的觀察視角立足于數(shù)學(xué)，不但促使學(xué)生分類后能夠提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，還能得出“4個3”“4個6”“7個2”等數(shù)量關(guān)系，直接揭示了“乘法”的本質(zhì)意義。

從低年級開始，就要經(jīng)常性地進行這樣的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，致力于以導(dǎo)向性的問題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察并識別圖形，讓學(xué)生養(yǎng)成識圖的習(xí)慣。

2.滲透識圖的方法

教師要注重對識圖方法的示范與引導(dǎo)，由淺入深、循序漸進，從直觀走向抽象，引導(dǎo)學(xué)生有序、有目的、完整地讀圖，形成從圖中收集、分析和處理信息的能力。

例如，教學(xué)人教版教材一年級上冊“1～5的認(rèn)識”時，當(dāng)學(xué)生通過教材主題圖初步認(rèn)識“1～5”之后，筆者讓學(xué)生認(rèn)真觀察教材中的圖式（如圖2），學(xué)生一看這5幅珠子圖便想當(dāng)然地說出“1、2、3、4、5”。學(xué)生有可能是不看圖只看數(shù)字，也有可能是只看珠子數(shù)，還有可能是既看數(shù)字也看珠子數(shù)。這些都僅僅是學(xué)生淺層的直觀感知。如何引領(lǐng)學(xué)生由直觀走向抽象呢？

筆者是這樣進行啟發(fā)的：“大家都能很快地看懂這些數(shù)字和圖，但這些圖背后還藏著一些有趣的小秘密！看看誰的眼睛最亮?！碑?dāng)學(xué)生答非所問，或是答題無序且混亂時，筆者再引導(dǎo)學(xué)生有序觀察：“我們觀察圖時，要有順序地、一幅幅地觀察。先認(rèn)真觀察第一幅圖?！庇谑菍W(xué)生就會說出：“第一幅圖是一顆珠子，下面是一個圓片，所以表示數(shù)字1。”筆者及時給予肯定：“觀察得很仔細(xì)，先看有幾顆珠子，再看有幾個圓片，然后說出用數(shù)字幾來表示?！庇辛诉@樣的指導(dǎo)與示范，在觀察第二幅圖時，學(xué)生就能進行模仿式的有序識圖了。這時，筆者再讓學(xué)生找出第一幅圖與第二幅圖的不同點，學(xué)生都能馬上發(fā)現(xiàn)“多了一個箭頭”。在說這個箭頭的含義時，學(xué)生能夠有序地表述：“第二幅圖原來也跟第一幅圖一樣，只有一顆珠子表示1;這里箭頭表示的是又撥來一顆珠子，所以從1變成了2?！惫P者給予積極的肯定。在觀察第三幅圖、第四幅圖和第五幅圖時，不僅要讓學(xué)生有序識圖，還要讓學(xué)生用聯(lián)系的眼光識圖，從而促使學(xué)生明白每一個數(shù)字都是在前面數(shù)字的基礎(chǔ)上增加1得來的。從實物到圖形，再到數(shù)字，從直觀不斷走向抽象，不但培養(yǎng)了學(xué)生有序識圖的習(xí)慣，而且滲透了數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升。

圖式，不管是主題圖，還是幾何圖形，都是一種數(shù)學(xué)語言。而數(shù)學(xué)識圖其實質(zhì)就是觀察并識別圖式所要傳遞的數(shù)學(xué)信息。因此，教師應(yīng)致力于用各種途徑促進學(xué)生掌握數(shù)學(xué)識圖方法，促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光讀懂圖意，在提升學(xué)生數(shù)學(xué)識圖能力的同時，提高學(xué)生的幾何直觀能力。

二、從簡單走向復(fù)雜，培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力

用圖形直觀語言表述數(shù)學(xué)概念，一定程度上可以有效降低數(shù)學(xué)知識的抽象程度，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。然而，數(shù)學(xué)畫圖只有出自學(xué)生內(nèi)在的強烈需求，才能彰顯其價值， “因畫圖而畫圖”反而會增加學(xué)生的厭惡感。畫圖能力并非與生俱來，在引導(dǎo)學(xué)生畫圖的過程中需要教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從簡單走向復(fù)雜，拾級而上。

1.悉心指導(dǎo)，從簡單入手

小學(xué)生形象思維占主導(dǎo)，教師應(yīng)從學(xué)生熟悉的實物圖著手，從簡單的實物圖開始，讓枯燥的數(shù)學(xué)變得生動、直觀，激發(fā)學(xué)生畫圖的興趣，讓學(xué)生懂得通過畫圖將數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來。

例如，學(xué)習(xí)“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾”時，學(xué)生常常難以理解其中的數(shù)量關(guān)系，這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖的方法來厘清數(shù)量關(guān)系。大部分學(xué)生會畫出實物圖（紅旗，如圖3），也有一部分學(xué)生會用圓形（或是其他圖形）來代表紅旗，還有一小部分學(xué)生懂得用直條圖來代表紅旗。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，教師可引導(dǎo)學(xué)生先厘清實物圖，再比較用圓形、小棒等模型代表紅旗的簡潔性，接著抽象出用直條圖來代表紅旗的清晰性，最后引導(dǎo)學(xué)生體會用直條圖表示兩者的數(shù)量關(guān)系最為簡潔清楚。

這樣的教學(xué)從簡單的實物圖入手，使得學(xué)生的思維從直觀走向表象，再從表象走向抽象，學(xué)生體驗到了圖形所展現(xiàn)的數(shù)學(xué)簡潔之美。

2.扶放結(jié)合，向復(fù)雜過渡

線段圖是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的一個重要媒介。因此，教師要根據(jù)學(xué)生的思維特點，充分挖掘教材資源，邊扶邊放，促使學(xué)生學(xué)會通過畫線段圖將抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀具體。

例如，人教版教材五年級下冊“解決問題”的例3（如圖4）：

先讓學(xué)生嘗試用自己喜歡的方法分析題中的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)學(xué)生思維受阻時，教師啟發(fā)學(xué)生閱讀教材中的“畫圖法”（如圖5）。

教材呈現(xiàn)了半抽象的直觀圖，并在直觀圖的下面用文字進行詳細(xì)的標(biāo)注說明，這樣的編排是基于學(xué)生的思維特點，本著“扶”學(xué)生的思維的宗旨，讓學(xué)生能對題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系有一個清晰的建構(gòu)，進而喚醒學(xué)生畫圖的內(nèi)在需要，感受畫圖對解決問題的重要性。接著，教師可以繼續(xù)追問：“除了可以這樣畫圖分析題中的數(shù)量關(guān)系外，還有沒有更簡潔的畫圖法？”五年級學(xué)生已經(jīng)具備畫線段圖的經(jīng)驗，這樣“半扶半放”的教學(xué)有效掃除了學(xué)生的思維障礙，促使學(xué)生順利地從文字抽象走向圖形直觀，繼而上升到數(shù)學(xué)圖形的簡約抽象上。學(xué)生親身經(jīng)歷從“半抽象”到“全抽象”的過程，自然感悟到數(shù)學(xué)的抽象美與簡潔美，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橫向化發(fā)展。

三、從認(rèn)知走向思辨，培養(yǎng)學(xué)生析圖能力

數(shù)學(xué)識圖側(cè)重于讓學(xué)生形成辨識圖形外在呈現(xiàn)信息的數(shù)學(xué)直覺，數(shù)學(xué)析圖則側(cè)重于讓學(xué)生辨析圖形所要表達(dá)的內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)畫圖重在讓學(xué)生將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，而數(shù)學(xué)析圖則重在將圖形語言轉(zhuǎn)換成更為清晰精練的數(shù)學(xué)語言。可以說，數(shù)學(xué)識圖更多的是聚焦于學(xué)生的認(rèn)知層面，數(shù)學(xué)畫圖則更多的是聚焦于學(xué)生的動作思維層面，而數(shù)學(xué)析圖則是關(guān)注學(xué)生思維的思辨性?；谶@樣的認(rèn)識，教師要借助圖形這個直觀手段，致力于促使學(xué)生形成超越直觀圖形走向更為“抽象”的數(shù)學(xué)思維。

1.同中求異，辨析拓展

利用線段圖來表征時，首先要厘清條件與問題之間的關(guān)系，從而找到解決問題的路徑。數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，就算是同一種解決問題的策略，其問題的呈現(xiàn)方式也會有所不同。因而教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生靈活地辨析線段圖表征信息的方式。

例如，教師可設(shè)計一幅線段圖（如圖6）：

先讓學(xué)生根據(jù)線段圖提出問題并解決。有學(xué)生提出：“柳樹和楊樹一共有多少棵？”有學(xué)生提出：“蘋果樹有多少棵？”還有學(xué)生提出：“蘋果樹比柳樹多多少棵？”等等。顯然，第一個問題比較簡單，利用第一條線段呈現(xiàn)的信息便可以解決;第二個問題就稍復(fù)雜一些，學(xué)生要先通過第一條線段求出柳樹和楊樹一共多少棵，再通過圖中信息“10棵”才能求出蘋果樹的數(shù)量;對于第三個問題，有的學(xué)生會運用正遷移先求出蘋果樹的棵數(shù)，再用蘋果樹的棵數(shù)與柳樹的棵數(shù)進行比較，而有一部分學(xué)生則是通過觀察和辨析線段圖，一步解決問題，即“18-10”，算出的就是蘋果樹比柳樹多的棵數(shù)。這樣的訓(xùn)練，能促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣的線段圖表征信息卻可以解決不同的問題，從而彰顯了圖形辨析策略之于同類問題的統(tǒng)攝作用，有效提升了學(xué)生的析圖能力。

2.異中求同，辨析溝通

數(shù)學(xué)是一門抽象性和邏輯性極強的學(xué)科，數(shù)量關(guān)系常常因一字之差而表征各異。因此，教師不但要引領(lǐng)學(xué)生辨析數(shù)學(xué)信息的異同，還要溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生構(gòu)建完整而清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，題目一：小度和小智共有卡紙48張。小度比小智多6張 ，他們兩人各有卡紙多少張？題目二：小智和小度共有卡紙48張。小度給小智6張，這時兩人卡紙一樣多。他們兩人原來各有卡紙多少張？

這兩道題一起出現(xiàn)時經(jīng)常讓學(xué)生感到困惑，學(xué)生解題時往往弄不清數(shù)量關(guān)系。此時，借助線段圖（如圖7），學(xué)生便能很快明確兩道題的不同點：題目一中小度和小智的卡紙數(shù)之差是 “6張”;題目二中小度和小智的卡紙數(shù)之差是“2 個 6張”。通過這樣直觀的對比與辨析，兩道題中的數(shù)量關(guān)系便十分清晰，學(xué)生很快就能找到解決問題的方法。像這樣經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生利用圖形辨析和分析內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系，能有效增強學(xué)生的析圖能力。

3.轉(zhuǎn)化突破，辨析重構(gòu)

對于一些數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)較為隱蔽和復(fù)雜的圖形，學(xué)生看到就想放棄。對此，教師要引導(dǎo)學(xué)生適時地改變思路，促使他們主動調(diào)用數(shù)學(xué)思維析圖，在解構(gòu)與重構(gòu)的過程中提升析圖能力。

例如，筆者設(shè)計了一道比較面積的習(xí)題： 如圖8，在梯形[ABCD]中，[△AOD]和[△BOC]的面積相比，誰更大？

大部分學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為△BOC 的面積比較小，而另一部分學(xué)生卻提出了疑問。在學(xué)生眾說紛紜，處于強烈的思維沖突之際，筆者適時啟發(fā)：“能否用轉(zhuǎn)化的方法分析△AOD與△BOC的面積的關(guān)系？”學(xué)生很快就能利用三角形同底等高的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)△AOD與△BOC的面積是相等的。這樣的教學(xué)引導(dǎo)能讓學(xué)生打破思維定式，靈活調(diào)用數(shù)學(xué)經(jīng)驗與數(shù)學(xué)方法進行理性析圖，從而找到圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系，促使問題得以快速解決。

綜上所述，小學(xué)階段是學(xué)生直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的重要時期，教師要充分挖掘教材資源，不但要關(guān)注學(xué)生識圖能力的培養(yǎng)，還應(yīng)增強學(xué)生的畫圖能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)思維可視化，更要提升學(xué)生的析圖能力，從而讓學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)得以落實。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 侯美霞，李醒群.低年段解決問題教學(xué)中學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（Z3）.

[2] 楊志榮.淺談畫圖法在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中的作用[J].吉林教育，2015（20）.

【本文系福建莆田市教育科學(xué)2020年度名師專項課題《基于啟智數(shù)學(xué)的小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計研究》（編號：PTMS20002）階段性成果。】

（責(zé)編 金 鈴）