喬建平

（柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西 柳州 546006）

0 引言

混沌系統(tǒng)源于“蝴蝶效應(yīng)”，逐漸發(fā)展成為一門典型的非線性科學(xué)。從本質(zhì)上來說，混沌是由確定性非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的類隨機(jī)且不規(guī)則的運(yùn)動。最基本的特性是對系統(tǒng)初值及參數(shù)微小變化的極端敏感性，導(dǎo)致了其運(yùn)動軌跡具有長期不可預(yù)測性。近年來，隨著混沌理論走向成熟，混沌的應(yīng)用研究引起了人們的廣泛關(guān)注，混沌同步控制、混沌密碼、混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等成為了目前的研究新領(lǐng)域。

混沌密碼一般采用序列密碼機(jī)制，其加解密原理框圖如圖1 所示。加解密過程分別為

圖1 混沌加解密原理框圖

其中，K為混沌密鑰序列，X為明文序列，Y為密文序列。

傳統(tǒng)序列密碼利用移位寄存器為基礎(chǔ)的電路來生成密鑰序列，密碼破譯者可以通過相關(guān)分析方法有效地重構(gòu)出密鑰序列，從而難以抵御重構(gòu)攻擊。區(qū)別于傳統(tǒng)序列密碼，混沌密碼通過反復(fù)迭代混沌系統(tǒng)來生成密鑰序列，使得相關(guān)分析不具有適應(yīng)條件，從而極大地提高了安全性。

近年來，學(xué)者們提出了許多新型或改進(jìn)型離散混沌映射，并應(yīng)用于密碼學(xué)，但是隨著圖像尺寸變大，加解密時間也變長，沒有達(dá)到實時加密解密的效果。本研究設(shè)計了一種像素移位置亂算法，運(yùn)用二維正弦邏輯調(diào)制映射（2D-SLMM）產(chǎn)生密鑰對像素移位置亂，再對置亂圖像進(jìn)行灰度值替代操作。驗證分析表明，本算法加解密速度快，并且安全可靠。

2D-SLMM 系統(tǒng)[1]，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中α和β為控制參數(shù)，當(dāng)α= 1、β= 3 時，xi+1，yi+1是混沌系統(tǒng)迭代值，迭代值組成的軌跡分布圖如圖2 所示，可看出，該系統(tǒng)具有極為復(fù)雜的混沌離散特性。

圖2 2D-SLMM 的迭代值分布圖

1 算法設(shè)計

圖像加密一般分為兩步：第一步是將原有的圖像像素按某種算法全部置亂；第二步是將置亂后的像素值掩蓋，也稱像素灰度值替代。以下將運(yùn)用2D-SLMM 混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的迭代值作為密鑰，分別運(yùn)用于圖像的像素移位置亂和灰度值替代加密過程。

1.1 移位置亂過程

設(shè)原始圖像為P，長寬為M×N。首先用2D-SLMM通過公式（2）生成M×N矩陣Q，每列按小到大重新排列得到矩陣Q’，同時生成記錄矩陣Q中每列元素在原序列中位置的新序列T，示意圖如圖3 所示。

圖3 移位置亂過程示意圖

x（i）和y（i）為2D-SLMM 迭代值，舍棄前500 次迭代值，以防暫態(tài)響應(yīng)。

設(shè)原始圖像為矩陣P，置亂示意圖如圖4 所示，按以下步驟進(jìn)行：

圖4 移位置亂過程示例

步驟1：矩陣T的第1 行元素（3，2，1，3，5），在矩陣P每列中選取對應(yīng)元素（p3，1，p2，2，p1，3，p3，4，p5，5），按順序?qū)⑵湟莆恢恋? 行，在矩陣C中呈現(xiàn)為（11，7，3，14，25）。

步驟2：矩陣T的第2 行元素（1，4 ，5 ，4，2），在矩陣P每列中選取對應(yīng)元素（p1，1，p4，2，p5，3，p4，4，p2，5），按順序?qū)⑵湟莆恢恋? 行，在矩陣C中呈現(xiàn)為（1，17，23，19，10）。

步驟3：矩陣T的第3 行元素（2，5，3，1，4），在矩陣P每列中選取對應(yīng)元素（p2，1，p5，2，p3，3，p1，4，p4，5），按順序?qū)⑵湟莆恢恋? 行，在矩陣C中呈現(xiàn)為（6，22，13，4，20）。

步驟4：矩陣T的第4 行元素（5，1，4，2，1），在矩陣P每列中選取對應(yīng)元素（p5，1，p1，2，p4，3，p2，4，p1，5），按順序?qū)⑵湟莆恢恋? 行，在矩陣C中呈現(xiàn)為（21，2，18，9，5）。

步驟5：矩陣T的第5 行元素（4，3，2，5，3），在矩陣P每列中選取對應(yīng)元素（p4，1，p3，2，p2，3，p5，4，p3，5），按順序?qū)⑵湟莆恢恋? 行，在矩陣C中呈現(xiàn)為（16，12，8，24，15）。實際置亂類似此流程進(jìn)行，最后得到置亂圖像C。

1.2 灰度值替代加密

先將置亂圖像C轉(zhuǎn)化成一維矩陣C’，按公式（5）依次執(zhí)行灰度值替代操作：

x[i]和y[i]為2D-SLMM 產(chǎn)生的隨機(jī)密鑰序列，為了消除暫態(tài)效應(yīng)，舍棄前1000 次迭代值。

當(dāng)每個像素值都進(jìn)行了上述替代加密后得到一維矩陣E’，將其轉(zhuǎn)化為二維矩陣，即得到加密圖像E，解密過程是加密過程的逆運(yùn)算。

2 實驗結(jié)果與分析

實驗仿真在MATLAB R2018a 平臺上進(jìn)行，以256×256Baboon 標(biāo)準(zhǔn)圖做測試，2D-SLMM 初值x0=0.39 257 399，y0=0.19 978 899，參數(shù)α=1 和β=3。圖5給出了本研究算法的加密圖像效果圖，加密圖像無原始圖像的任何有效信息，而解密圖像與原始圖像相同，這說明設(shè)計的算法有充分的可行性。

圖5 算法加解密效果圖

2.1 密鑰空間分析

算法密鑰空間大以確保在窮舉攻擊條件下不被攻破，本算法密鑰值組成：2D-SLMM 兩個初值和兩個參數(shù)，精度值可達(dá)10-15，則密鑰空間至少為1060。因此即使知曉序列生成器的組成方式，破解概率也極其微小，擁有如此大的密鑰空間，足以抵御當(dāng)前計算機(jī)的處理能力下的窮舉攻擊。

2.2 密文分布特性分析

直方圖是反映圖片灰度值數(shù)量變化的物理量，圖6分別顯示了原文圖像Baboon 的直方圖和其加密圖的直方圖，可見，兩者區(qū)別很大，后者各灰度級直方圖分布均等，足見此方法可抵擋結(jié)合灰度級數(shù)值統(tǒng)計的攻擊。

圖6 原始圖像和加密圖像直方圖

2.3 相鄰像素相關(guān)性分析

分別在垂直線、水平線以及對角線三個方向上隨機(jī)選取5000 個相鄰像素抽樣檢測，未經(jīng)加密前的圖片近鄰像素點(diǎn)在靠近y=x函數(shù)區(qū)域集中，而加密后圖像如圖7 所示，在整個坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)分布很均等，說明本算法有能力解決像素鄰近點(diǎn)處相關(guān)性強(qiáng)的問題。

圖7 密文圖像相鄰像素間的相關(guān)性圖

2.4 抗差分攻擊能力分析

像素數(shù)目變化率（NPCR）和歸一化平均變化強(qiáng)度（UACI）計算公式如下：

C1是原密文，C2是變化后密文，兩者原始圖像素點(diǎn)僅僅差別一個值；C1（i，j）和C2（i，j）分別代表兩個密文在（i，j）點(diǎn)的灰度值，C1（i，j）=C2（i，j）時，D（i，j）=0，C1（i，j）≠C2（i，j）時，D（i，j）=1。算法對若干圖像統(tǒng)計得到50 組的NPCR 和UACI，其平均值見表1，均趨近最佳理論值[3]，反映本加密方案抗擊差分攻擊性的能力好。

表1 加密圖像NPCR 和UACI 的平均值

2.5 加密時間分析

在試驗階段，利用MATLAB R2018a 平臺來運(yùn)行圖像算法，采用Microsoft Windows 10 系統(tǒng)。表2 列出了本算法和其他加密方案對256×256 的標(biāo)準(zhǔn)圖的加密效率，充分顯示了本算法在加密速度上有明顯優(yōu)勢。

表2 本章算法與其他算法加密效率比較

3 結(jié)束語

本研究以2D-SLMM 定義和混沌特性進(jìn)行簡要分析，設(shè)計了一種新的像素移位置亂圖像加密算法，實現(xiàn)了像素點(diǎn)快速移位置亂和灰度值替代操作，完成圖像加密，有效地解決了圖像尺寸變大、加解密時間變長的問題，達(dá)到實時加解密效果。實驗數(shù)據(jù)分析表明，本算法加密效率高、密鑰靈敏度強(qiáng)，能抵抗差分攻擊、統(tǒng)計攻擊等。