張杰

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要研究解題的思路，更需要掌握科學(xué)的研究方法。學(xué)會(huì)自我設(shè)問，將數(shù)學(xué)問題分解成若干個(gè)子問題，驅(qū)動(dòng)自己的思路拓寬和思維發(fā)展，是一種行之有效的學(xué)習(xí)方法。從解題思路來說，要善于架設(shè)橋梁，如架設(shè)連接幾個(gè)已知條件之間的橋梁、架設(shè)未知與已知之間的橋梁。這里以解直角三角形中兩個(gè)問題的探究為例，和大家聊聊自我設(shè)問的探究方法、巧架橋梁的解題思路。

例1 （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第110頁例3）如圖1，在△ABC 中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°，求AB。

【自我設(shè)問】我們可以從以下幾個(gè)方面給自己提出問題：

第一，從哪個(gè)地方入手？△ABC 不是直角三角形，但已知兩角和一邊的三角形是確定的，換言之，所有未知的邊和角都可求，但現(xiàn)有的手段就是解直角三角形，故設(shè)法作垂線構(gòu)造直角三角形，達(dá)到“化斜為直”的目的。如圖1，過點(diǎn)C 作CD⊥AB 得到兩個(gè)直角三角形△ACD 和△BCD。

第二，從邊入手考慮有何發(fā)現(xiàn)？顯然，連接△ADC 和△BDC 的橋梁是公共邊CD。

第三，出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形后可直接解決什么問題？

在Rt△ADC 中，AC=8、∠A=30°已知，其他元素都可求，如∠ACD=60°，CD=4，AD=4 3。

第四，求AB 的突破口在哪里？在Rt△BDC 中，∠B=45°已知，還差一條邊。這條邊非CD 莫屬，至此，CD 邊“登場(chǎng)”。

【巧架橋梁】

許多求圖形線段長(zhǎng)度和角的度數(shù)的問題都能歸結(jié)到解直角三角形。學(xué)習(xí)了“解直角三角形”以后，同學(xué)們都知道，在一個(gè)直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，至少知道兩個(gè)元素，其中至少一個(gè)元素是邊，即已知一邊一角或兩邊，就能求出其他元素，這個(gè)過程就叫作解直角三角形。有時(shí)，問題中的直角三角形可能不止一個(gè)，這就需要研究問題中幾個(gè)直角三角形邊與邊、邊與角的關(guān)系，并以這些關(guān)系作為“橋梁”連接幾個(gè)三角形，從而使問題得以解決。

由此可見，解題的關(guān)鍵是抓住這兩個(gè)直角三角形的公共邊CD，它是連接兩個(gè)直角三角形的橋梁。

例2 如圖2，水庫堤壩的橫截面成梯形ABCD，DC∥AB，背水坡AD 的坡角為45°，坡長(zhǎng)為3 2m，壩頂寬DC=2m，壩底寬AB=9m。求迎水坡BC 的坡度i。

【自我設(shè)問】

第一，由梯形ABCD 想到什么？

第二，由“AD 的坡角為45°，坡長(zhǎng)為3 2m”能得到什么？

第三，求迎水坡BC 的坡度i 需要求哪些量？

請(qǐng)同學(xué)們自主回答設(shè)問的問題。

【巧架橋梁】

我們知道，坡度=鉛垂高度∶水平寬度，要得到鉛垂高度和水平寬度，自然聯(lián)想到作CE⊥AB，將求坡度轉(zhuǎn)化為求CE 和EB 長(zhǎng)的問題。從條件“AD 的坡角為45°，坡長(zhǎng)為3 2m”應(yīng)該想到過點(diǎn)D作DF⊥AB，這樣將梯形分割成矩形DCEF 和兩個(gè)直角三角形（Rt△AFD 和Rt△BEC），這兩個(gè)直角三角形有一組邊相等，這樣就架設(shè)了溝通Rt△AFD 和Rt△BEC 的橋梁。抓住梯形中相等的高這個(gè)橋梁，問題解決可謂不費(fèi)吹灰之力。請(qǐng)同學(xué)們自主完成解答過程。

縱觀這兩個(gè)例題，最后都轉(zhuǎn)化為解直角三角形。所以，我們以后無論遇到幾個(gè)這樣的直角三角形，只要緊扣這些直角三角形邊之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)自我設(shè)問，巧妙架設(shè)橋梁，解題思路便信手拈來。

（作者單位：江蘇省泰興市濟(jì)川初級(jí)中學(xué)）