馮曉明，程敏熙

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院 物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心， 廣東 廣州 510006)

在解答相對(duì)論題目的時(shí)候，往往需要進(jìn)行大量的計(jì)算.尤其是關(guān)于參考系變換的題目，更為棘手，因?yàn)榧纫磸?fù)地運(yùn)用洛倫茲變換，又要理順?biāo)悸?，時(shí)刻區(qū)分清楚到底是“誰(shuí)相對(duì)于誰(shuí)在做什么”.并且很多計(jì)算得到的結(jié)論往往讓人難以理解，似乎是“反直覺(jué)”的，違反人們的常識(shí).

為簡(jiǎn)化計(jì)算的繁雜度，同時(shí)也為了更直觀地解釋結(jié)論，通常會(huì)設(shè)法把計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為閔可夫斯基空間中的幾何問(wèn)題，通過(guò)討論幾何圖形的幾何行為，求解題目的答案和結(jié)論.常見(jiàn)的幾何化方法是二慣性系映射法[1]，其突出特點(diǎn)是無(wú)需移動(dòng)事件點(diǎn)，僅通過(guò)映射的方法就能確定原事件點(diǎn)在新參考系中的坐標(biāo)，快速而清晰，通常應(yīng)用于快速解題；本文將提出另一種幾何化方法，雖然相較于前者要移動(dòng)事件點(diǎn)，但移動(dòng)的依據(jù)即是時(shí)空間隔的不變性，能向初學(xué)者直觀反映洛倫茲變換的動(dòng)態(tài)過(guò)程以及時(shí)空間隔的不變性，傳遞物理學(xué)在變化中追求不變性的價(jià)值觀.

以一道題目為例，一列車(chē)以速度V勻速向右運(yùn)動(dòng)，以地面為參考系，當(dāng)列車(chē)頭尾分別對(duì)準(zhǔn)A、B時(shí)，A、B同時(shí)開(kāi)槍?zhuān)瑒t同時(shí)死亡；若以列車(chē)為參考系，情況如何？

1 閔可夫斯基空間

在閔可夫斯基空間中，物理學(xué)中的事件概念就是實(shí)際事件的模型化，即認(rèn)為每一事件發(fā)生在空間的一點(diǎn)和時(shí)間的一瞬，可用一個(gè)坐標(biāo)(x,ct)表示.狹義相對(duì)性原理對(duì)時(shí)空變換的基本要求是保證時(shí)空間隔不變[2]，即

s′2=ct′2-x′2=

c2γ2(t-βx/c)2-γ2(x-βct)2=

(ct)2-x2=s2

(1)

這體現(xiàn)了物理學(xué)在變化中追求不變性的價(jià)值觀.反映在空時(shí)圖中，即要求事件點(diǎn)沿時(shí)空間隔等于常量的曲線上移動(dòng)，這些曲線是以對(duì)角線為漸近線的兩個(gè)雙曲線族[3].其中，漸近線也被稱(chēng)為光錐，表示光相對(duì)于原點(diǎn)所有可能的位置的集合.當(dāng)s2>0，稱(chēng)為類(lèi)時(shí)間隔，當(dāng)s2=0稱(chēng)為類(lèi)光間隔，當(dāng)s2<0，稱(chēng)為類(lèi)空間隔.在類(lèi)光與類(lèi)時(shí)間隔中，均可以有因果關(guān)系，在變換后不能顛倒；而在類(lèi)空間隔中，則不存在任何因果關(guān)系[4]，在變換后可以顛倒.由以上3種時(shí)空間隔可以劃分為如圖1所示的3種時(shí)空區(qū).

圖1 時(shí)空區(qū)的劃分

因?yàn)樵诳諘r(shí)圖中，縱坐標(biāo)是ct，橫坐標(biāo)是x，所以某兩個(gè)事件點(diǎn)之間組成的直線斜率的絕對(duì)值表示速度大小的倒數(shù)[5]，這個(gè)速度的物理意義是兩個(gè)事件點(diǎn)建立聯(lián)系、進(jìn)行信息交流的速度.而光速的斜率就是雙曲線漸近線的斜率.

如果某兩個(gè)事件點(diǎn)之間組成的斜率小于漸近線的速率，說(shuō)明這兩個(gè)事件點(diǎn)之間是超光速交流，因?yàn)楠M義相對(duì)論要求實(shí)物粒子的速度不能大于真空中的光速[6]，所以這是不允許的.如果某兩個(gè)事件點(diǎn)之間組成的斜率等于漸近線的速率，說(shuō)明這兩個(gè)事件點(diǎn)之間是等光速交流，除非它們之間是靠光信號(hào)交流，否則也是不允許的.如果某兩個(gè)事件點(diǎn)之間組成的斜率大于漸近線的速率，說(shuō)明這兩個(gè)事件點(diǎn)之間是低光速交流，這是允許的.

2 二慣性系映射法

2.1 幾何表示

以地面為參考系，如圖2所示，點(diǎn)C為事件的中點(diǎn)，則A、B同時(shí)開(kāi)槍、同時(shí)死亡.

圖2 地面參考系

設(shè)A、B中點(diǎn)C為原點(diǎn)(0，0)，以地面為參考系建立ct-x空時(shí)圖，追蹤列車(chē)的中心，則列車(chē)初始事件也為(0，0)，再設(shè)其末事件為M(xM，tM).設(shè)A開(kāi)槍為事件A1(xA1，tA1)，A死亡為事件A2(xA2，tA2)，B開(kāi)槍為事件B1(xB1，tB1)，B死亡為事件B2(xB2，tB2)；在ct-x空時(shí)圖中，因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值表示速度倒數(shù)的大小，在一般情況下，列車(chē)的速度小于子彈的速度，則事件M的斜率大于事件B1與事件A2構(gòu)成的斜率；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，如圖3所示，其中，線段OM表示列車(chē)向右跑，線段A1B2表示A向左開(kāi)槍打中B，線段B1A2表示B向右開(kāi)槍打中A.

圖3 地面ct-x空時(shí)圖

若以列車(chē)為參考系，如圖4所示，因?yàn)锳開(kāi)槍發(fā)出子彈的運(yùn)動(dòng)方向與列車(chē)的運(yùn)動(dòng)方向相反，而B(niǎo)開(kāi)槍發(fā)出子彈的運(yùn)動(dòng)方向與列車(chē)的運(yùn)動(dòng)方向相同，說(shuō)明A開(kāi)槍發(fā)出的子彈與列車(chē)的相對(duì)速度大于B開(kāi)槍發(fā)出的子彈與列車(chē)的相對(duì)速度，即前者的子彈比后者的子彈要先到達(dá)列車(chē)參考系下的事件中點(diǎn)C’則易知A比B先開(kāi)槍?zhuān)恢狝、B誰(shuí)先死.

圖4 列車(chē)參考系

對(duì)圖3進(jìn)行參考系變換，即從地面參考系變換到列車(chē)參考系，建立列車(chē)ct′-x′空時(shí)圖，在列車(chē)參考系，則列車(chē)中心為原點(diǎn)(0，0)，設(shè)其末事件為M′(x′M，t′M)(因?yàn)榇藭r(shí)列車(chē)相對(duì)于自己是靜止的，沒(méi)有發(fā)生位移)，設(shè)A開(kāi)槍為事件A′1(x′A1，t′A1)，A死亡為事件A′2(x′A2，t′A2)，B開(kāi)槍為事件B′1(x′B1，t′B1)，B死亡為事件B2′(x′B2，t′B2).因ct′軸與x′軸是關(guān)于光錐對(duì)稱(chēng)的，由此可確定x′軸的擺向，如圖5所示.

圖5 時(shí)空軸關(guān)于光錐對(duì)稱(chēng)

2.2 映射規(guī)則

空時(shí)圖中的映射規(guī)則是：從原事件點(diǎn)射出一條平行于x′軸的直線，其與ct′軸的交點(diǎn)即為這個(gè)事件點(diǎn)在新參考系中的時(shí)間坐標(biāo)ct；同理，若從原事件點(diǎn)射出一條平行于ct′軸的直線，其與x′軸的交點(diǎn)即為這個(gè)事件點(diǎn)在新參考系中的空間坐標(biāo)x.根據(jù)這一映射規(guī)則，所有事件點(diǎn)在新參考系中的時(shí)間坐標(biāo)如圖6所示，其直觀而清晰地反映了4個(gè)事件發(fā)生的先后順序，即依次為A開(kāi)槍?zhuān)珺開(kāi)槍?zhuān)珹死亡，B死亡.

圖6 映射

綜上所述，二慣性系映射法具有步驟簡(jiǎn)單、快速直觀的特點(diǎn)，非常適合于熟練者使用.然而，相對(duì)于初學(xué)者而言，可能存在以下兩個(gè)困難.1) 不理解映射規(guī)則，仍然受制于定勢(shì)思維，即認(rèn)為原事件點(diǎn)分別在ct′軸與x′軸上的投影點(diǎn)才是其在新參考系中的時(shí)空坐標(biāo)，則可能在映射過(guò)程中出錯(cuò)，若事件點(diǎn)的數(shù)量越多，則映射的難度就越大；2) 由于該方法不需要移動(dòng)事件點(diǎn)，則較難體現(xiàn)洛倫茲變換的“動(dòng)態(tài)”過(guò)程，也體現(xiàn)不出時(shí)空間隔的不變性，感受不到物理學(xué)在變化中追求不變性的價(jià)值觀.而雙曲旋轉(zhuǎn)法能較好地照顧初學(xué)者的水平，有助于初學(xué)者解決上述兩個(gè)困難.

3 雙曲旋轉(zhuǎn)法

3.1 旋轉(zhuǎn)依據(jù)

雙曲旋轉(zhuǎn)法在變換前的步驟與二慣性系映射法完全一致，區(qū)別在于對(duì)圖5的后續(xù)處理.因?yàn)樵诋?huà)圖時(shí)總要先選一個(gè)慣性系作為標(biāo)準(zhǔn)，即把ct軸與x軸分別畫(huà)成豎直與水平方向，而選哪個(gè)系作標(biāo)準(zhǔn)則完全任意[7]. 因此，若把列車(chē)參考系作為標(biāo)準(zhǔn)，則圖5可以等效為圖7.

圖7 雙曲旋轉(zhuǎn)

因?yàn)閷勺鴺?biāo)軸的擺向仍舊轉(zhuǎn)換為熟悉的正交關(guān)系，所以此舉能較好地照顧了初學(xué)者的水平.此外，根據(jù)時(shí)空間隔不變性，所有事件點(diǎn)均沿其上的雙曲線進(jìn)行唯一方向的移動(dòng)，此舉既有利于初學(xué)者觀察洛倫茲變換的動(dòng)態(tài)過(guò)程，也有利于傳遞物理學(xué)追求不變性的價(jià)值觀.這一價(jià)值觀讓物理學(xué)家格外關(guān)注不變性，在伽利略變換中，時(shí)間是不變的，所以體現(xiàn)了絕對(duì)時(shí)間的觀念；而在洛倫茲變換中，時(shí)間卻是可變的，所以體現(xiàn)了相對(duì)時(shí)間的觀念；但在變化中卻隱含著不變性，即時(shí)空間隔的不變性，從而構(gòu)筑起四維時(shí)空.根據(jù)這一不變性，洛倫茲變換就能形象地描述為事件點(diǎn)沿雙曲線的移動(dòng)，把計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.

設(shè)線段B′1A′2與x′軸正方向所成的角為α，因?yàn)檫@是定性分析，無(wú)法得知旋轉(zhuǎn)角的具體大小，則事件B′1和事件A′2的時(shí)間先后關(guān)系有三種可能：1) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度較小，即角α為銳角，則B′1早于A′2發(fā)生；2) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度恰好，即角α等于0，則B′1和A′2同時(shí)發(fā)生；3) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度較大，即角α為鈍角，則B′1遲于A′2發(fā)生.

3.2 因果律制約

若想完全確定事件點(diǎn)，就必須考慮事件點(diǎn)之間的因果關(guān)系.

一開(kāi)始，事件B′1的時(shí)間坐標(biāo)小于事件A′2的時(shí)間坐標(biāo).經(jīng)過(guò)參考系變換之后，雖然B開(kāi)槍(即事件B′1)是沿著類(lèi)空左區(qū)向左上移動(dòng)，而A死亡(即事件A′2)是沿著類(lèi)時(shí)上區(qū)向左下移動(dòng)，此時(shí)事件B′1的時(shí)間坐標(biāo)看似有可能大于事件A′2的時(shí)間坐標(biāo)，但這是不可能的.因?yàn)檫€要考慮兩個(gè)事件之間的交流速度是否超越了光速.

線段B′1A′2組成的斜率的絕對(duì)值表示子彈速度的倒數(shù)，因子彈的速度小于光速，所以線段B′1A′2組成的斜率應(yīng)大于漸近線的斜率，即線段B′1A′2與x′軸正方向只能成銳角.所以事件B′1和事件A′2之間的時(shí)間關(guān)系只能是第一種可能，即B′1早于A′2發(fā)生.

這就意味著，在列車(chē)參考系中，A比B先開(kāi)槍?zhuān)珹比B先死亡，且B開(kāi)槍早于A死亡(因果律制約).這看起來(lái)似乎違反常識(shí)——先開(kāi)槍的人怎么會(huì)先死亡呢？實(shí)際上，其中的因果關(guān)系并沒(méi)有發(fā)生混亂.

雖然A先開(kāi)槍?zhuān)珺后開(kāi)槍?zhuān)@并不能保證B一定要先死亡，A一定要后死亡.因?yàn)樵贏開(kāi)槍、B死亡、B開(kāi)槍、A死亡這4個(gè)事件中，前兩者有因果聯(lián)系，后兩者也有因果聯(lián)系，其余的兩兩之間并無(wú)因果聯(lián)系.即A開(kāi)槍必然早于B死亡，B開(kāi)槍必然早于A死亡，但B死亡與A死亡之間沒(méi)有因果聯(lián)系，不受因果律的制約，它們之間具體的先后發(fā)生順序要由參考系變換后的圖7決定，即B死亡遲于A死亡.由此可見(jiàn)，B死亡與A死亡所對(duì)應(yīng)的事件點(diǎn)并不需要經(jīng)過(guò)精確計(jì)算才能確定，而是能直接根據(jù)雙曲線的走向來(lái)定性確定.

此外，A先開(kāi)槍卻先死亡，B后開(kāi)槍卻后死亡，可以推斷出這么一個(gè)事實(shí)：從A發(fā)出的子彈速度是比從B發(fā)出的子彈速度要慢的.雖然是相同的子彈，但因?yàn)樽儞Q了參考系，所以速度大小會(huì)有所不同，并且可以肯定的是兩者均不會(huì)超越光速.反映在圖7上，則線段A′1B′2、線段B′1A′2、漸近線這三者的斜率絕對(duì)值必須是依次遞減的，進(jìn)一步定性確定4個(gè)事件點(diǎn)的相對(duì)位置.由此可見(jiàn)，對(duì)幾何化結(jié)果的解讀也能反過(guò)來(lái)調(diào)整事件點(diǎn)相對(duì)位置之間的合理性.

3.3 小結(jié)

對(duì)比參考系變換前后的圖3和圖7，可知4個(gè)事件點(diǎn)所構(gòu)成的圖形由矩形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)拉伸后變?yōu)榱似叫兴倪呅?根據(jù)雙曲線的走向，先分別確定了B死亡與A先死亡的相對(duì)位置、B開(kāi)槍與A開(kāi)槍的相對(duì)位置；再根據(jù)線段A′1B′2、線段B′1A′2、漸近線之間斜率絕對(duì)值的大小關(guān)系，就能定性確定4個(gè)事件點(diǎn)之間的相對(duì)位置.幾何化的結(jié)果十分直觀地表達(dá)了4個(gè)事件之間發(fā)生的先后順序，所以在列車(chē)參考系中，它們發(fā)生的先后順序?yàn)锳開(kāi)槍?zhuān)珺開(kāi)槍?zhuān)珹先死亡，B死亡.

4 拓展

幾何化的方法還有助于對(duì)題目進(jìn)行拓展，加深認(rèn)識(shí).例如，從圖形的幾何行為出發(fā)，除了旋轉(zhuǎn)拉伸，還有對(duì)稱(chēng).如果平行四邊形在圖7中關(guān)于ct′軸對(duì)稱(chēng)，所對(duì)應(yīng)的情況即是在一列向左行駛的列車(chē)參考系中依次觀察到B開(kāi)槍?zhuān)珹開(kāi)槍?zhuān)珺先死亡，A死亡，也得到了“誰(shuí)先開(kāi)槍誰(shuí)先死”的結(jié)論.這說(shuō)明在不同的參考系中，事件先后順序在不違反因果律的前提下會(huì)發(fā)生不同的改變，這就是相對(duì)論時(shí)空觀的神奇之處.此外，二慣性系映射法也能進(jìn)行如上拓展.

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)幾何化方法，能將原本復(fù)雜的手動(dòng)計(jì)算過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單直觀的幾何圖形變形過(guò)程.常見(jiàn)的幾何化方法是二慣性系映射法，其特點(diǎn)是只要根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出新參考系時(shí)空軸的擺向，就可無(wú)需移動(dòng)事件點(diǎn)，僅在其原來(lái)的位置上通過(guò)映射規(guī)則確定在新參考系中的坐標(biāo)，十分方便與快捷.

而雙曲旋轉(zhuǎn)法的特點(diǎn)是直觀反映洛倫茲變換動(dòng)態(tài)過(guò)程以及時(shí)空間隔的不變性，傳遞物理學(xué)在變化中追求不變性的價(jià)值觀；通過(guò)對(duì)因果律的分析，能粗略確定參考系變換后事件點(diǎn)之間的相對(duì)位置；而對(duì)圖形的解讀既能反過(guò)來(lái)細(xì)調(diào)事件點(diǎn)之間的相對(duì)位置，互相牽制、互相印證；又能利用對(duì)稱(chēng)等幾何性質(zhì)對(duì)原題目進(jìn)行適當(dāng)拓展，加深理解.

綜上所述，兩種方法均有各自的特點(diǎn)，前者適合于熟練者快速地解題，后者適合于初學(xué)者的學(xué)習(xí)，共同目的均是把文本信息轉(zhuǎn)化為圖像信息，既提高了解題效率，又提升了“看圖說(shuō)話(huà)”的空間想象與幾何分析能力.