高子林, 劉志強， 王銀河, 熊 江

(1.重慶三峽學院 智能信息處理與控制重點實驗室,重慶 404100; 2.廣東工業(yè)大學 自動化學院,廣東 廣州 510006)

由于混沌系統(tǒng)存在一些特有的性質(zhì),如對初始條件具有敏感性、存在奇異吸引子和相空間中的分形等,因此被廣泛地應用在保密通信[1]、生物系統(tǒng)[2]、化學反應[3]及信息處理[4]等各個領(lǐng)域。特別地,自從文獻[5]首次利用驅(qū)動-響應方法實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步控制以來,混沌系統(tǒng)的同步控制問題得到了廣泛關(guān)注,并取得了一系列有價值的成果[6-9]。特別是在考慮混沌系統(tǒng)中存在不確定性和外部擾動的情況下,學者們提出了Backstepping控制[10]、自適應控制[11]、滑模控制[12]以及線性和非線性反饋控制[13]等智能同步控制方法。

文獻[14]證明了模糊邏輯系統(tǒng)的萬能逼近性,因此使用該系統(tǒng)來逼近混沌系統(tǒng)中未知非線性項成為可能[15-18]。文獻[15-16]采用Mamdani自適應模糊邏輯系統(tǒng)來逼近混沌系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)。從數(shù)學的角度看,Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出可以用一組模糊基函數(shù)的線性組合進行表示,文獻[15-16]給出的參數(shù)自適應律主要用于對這組系數(shù)(實際上就是模糊規(guī)則中的后件參數(shù))進行在線估計,因此參數(shù)自適應律的個數(shù)與組合系數(shù)的數(shù)量相等,即參數(shù)自適應律的個數(shù)由模糊規(guī)則的數(shù)目決定。在實際應用過程中,為了提高控制性能和精度,往往需要使用大量的模糊規(guī)則,這會導致使用大量的自適應律對模糊規(guī)則的組合系數(shù)進行估計,從而增加了在線計算時間,容易導致系統(tǒng)延時,甚至導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此,在具備某些先驗知識的情況下, 生成不帶有組合參數(shù)自適應律的模糊邏輯系統(tǒng)來近似逼近實際工程中的非線性項是很有必要的。

不難看出,混沌系統(tǒng)中的未知非線性項可以用模糊邏輯系統(tǒng)近似逼近,并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論可以完成同步控制器的設計。然而,現(xiàn)有方法的前提條件是混沌系統(tǒng)中的參數(shù)要求是已知的,這在一定程度上限制了混沌系統(tǒng)在實際工程中的應用。另一方面,文獻[19-21]考慮了混沌系統(tǒng)中存在未知參數(shù)的情況,采用自適應方法完成了同步控制器的設計,所提出的方法要求混沌系統(tǒng)中非線性項必須是已知的。

針對上述2種情況的缺陷,本文研究了一類完全未知的混沌系統(tǒng)的驅(qū)動-響應同步問題,其中未知非線性函數(shù)用不帶參數(shù)自適應律的Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)進行近似逼近,未知參數(shù)則通過自適應方法進行在線估計,然后利用Lyapunov穩(wěn)定性理論完成了同步控制器的設計,并給出了數(shù)值仿真,其結(jié)果驗證了該方法的可行性和有效性。在同步控制器設計中, 參數(shù)自適應律的數(shù)目與模糊規(guī)則的數(shù)目無關(guān),與文獻[15-18]中的方法相比,本文提出的方法不僅可以減少在線計算量,而且更符合實際應用中對混沌同步的要求。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)[22-23]:

(1)

針對系統(tǒng)(1)式,若選擇非線性函數(shù)f1(x)=-x1x3,f2(x)=x1x2,當參數(shù)α=10、δ=28、γ=8/3、φ=1時,系統(tǒng)(1)式是一個典型的Lorenz混沌系統(tǒng)[23-24];當參數(shù)α=35、δ=-7、φ=-28、γ=3,系統(tǒng)(1)式則被稱為Chen混沌系統(tǒng)[23,25];當參數(shù)α=36、δ=0、φ=-20、γ=3時,則稱系統(tǒng)(1)式為Lü混沌系統(tǒng)[22-23]。因此,針對混沌系統(tǒng)(1)式的同步研究具有一定的代表性和廣泛性。

混沌系統(tǒng)在保密通信[1]、化學反應[3]以及信息處理[4]等領(lǐng)域得到廣泛地應用。近年來研究發(fā)現(xiàn),同步電機(虛擬同步電機)的模型可以通過變換等效為一個類似于系統(tǒng)(1)式的Lorenz動態(tài)方程[25],在某些情況下,針對系統(tǒng)(1)式的研究可以為電力系統(tǒng)的可靠運行提供理論基礎(chǔ),進而有助于混沌系統(tǒng)在實際工程中的應用。

系統(tǒng)(1)式的響應系統(tǒng)如下:

(2)

如果定義狀態(tài)同步誤差為ei=yi-xi(i=1,2,3),那么通過系統(tǒng)(1)式和(2)式可得到如下誤差微分方程:

(3)

記狀態(tài)同步誤差向量為e=[e1,e2,e3]T。

假設1 外界干擾|ζi(t)|≤ωi(t),|ξi(t)|≤σi(t)(i=1,2,3),其中已知函數(shù)ωi(t)和σi(t)在[0,+∞]是連續(xù)的。

2 系統(tǒng)設計

本文設計Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)用于逼近系統(tǒng)(1)式中的未知非線性函數(shù),采用參數(shù)自適應方法對未知參數(shù)進行在線估計,利用其估計信息完成同步控制器的設計,最終實現(xiàn)一類完全未知混沌系統(tǒng)的驅(qū)動-響應同步。

2.1 Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)設計

基于模糊邏輯系統(tǒng)的萬能逼近性,系統(tǒng)(1)式中的未知非線性函數(shù)fk(x)(k=1,2)可以用Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)進行近似逼近?，F(xiàn)考慮使用帶有Nk條模糊規(guī)則的Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)Fk來近似逼近fk(x),其模糊規(guī)則在論域W?R3中表示如下:

(4)

如果采用單點模糊化、乘積推理與中心解模糊,那么由模糊規(guī)則(4)式構(gòu)成的模糊邏輯系統(tǒng)Fk的輸出為:

k=1,2

(5)

2.2 同步控制器設計

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

其中:es=b1e1+b2e2+b3e3;g為一個給定的正常數(shù),且參數(shù)b1、b2、b3、g在選擇時要保證矩陣

定理1 考慮系統(tǒng)(1)式和(2)式,若假設1成立,則在控制器(6)式和自適應律(7)～(12)式的作用下,可以達到控制目標的要求。

3 數(shù)值仿真

在仿真的過程中,假設參數(shù)α=10、δ=28、γ=8/3、φ=1和非線性函數(shù)f1(x)=-x1x3、f2(x)=x1x2均是未知的。首先用Mamdani模糊邏輯系統(tǒng)Fk(k=1,2)分別近似逼近未知非線性函數(shù)f1(x)=-x1x3和f2(x)=x1x2。變量x1、x2、x3的論域均為[-80,80],將論域劃分成3個模糊集{負(N),零(Z),正(P)},其隸屬度函數(shù)分別為μZ(z)=e-z2,μN(z)=e-(z+50)2/60,μP(z)=e-(z-50)2/60,根據(jù)某些先驗知識,本文主要依據(jù)f1(x)與x1x3異號和f2(x)與x1x2同號的關(guān)系給出了模糊規(guī)則，見表1所列。

表1 用于近似逼近f1(x)和f2(x)的模糊規(guī)則

圖1 狀態(tài)x1和y1隨時間變化曲線

圖2 狀態(tài)x2和y2隨時間變化曲線

圖3 狀態(tài)x3和y3隨時間變化曲線

圖4 同步誤差ei隨時間變化曲線

圖5 參數(shù)隨時間變化曲線

圖6 總同步誤差‖e‖隨時間變化曲線

綜上所述,對于一類完全未知的驅(qū)動系統(tǒng)(1)式,在控制器(6)式和自適應律(7)式～(12)式的作用下,使響應系統(tǒng)(2)式與驅(qū)動系統(tǒng)(1)式實現(xiàn)了同步。由圖4和圖6可知,相比于文獻[22]的同步方法,本文提出的方法可以使驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)更快地實現(xiàn)同步;由圖5可知,參數(shù)估計是在線進行的,并且每個參數(shù)都是有界的。因此本文提出的同步方法在工程應用中更具有實用性。

4 結(jié) 論

本文利用自適應方法和模糊邏輯系統(tǒng)的萬能逼近性,針對一類完全未知的混沌系統(tǒng)給出了驅(qū)動-響應同步的控制方案。其中模糊邏輯系統(tǒng)僅用于近似逼近混沌系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù),自適應方法解決了參數(shù)在線估計的問題。在同步控制器的設計過程中,參數(shù)自適應律的個數(shù)與模糊規(guī)則的數(shù)目無關(guān),且只有6個通用參數(shù)需要在線估計，自適應律的數(shù)目顯著減少,在線運算量也隨之減少,并且通過某些先驗知識產(chǎn)生的模糊規(guī)則所構(gòu)成的模糊邏輯系統(tǒng)(無需對模糊規(guī)則的后件參數(shù)進行在線估計)具有更廣泛而高效的應用。