施文煜，姚怡芝，姚望

（上海船舶研究設(shè)計(jì)院，上海 201203）

0 前言

隨著海上貿(mào)易需求的增加，海洋運(yùn)輸蓬勃發(fā)展，海運(yùn)作為對外貿(mào)易增長及發(fā)展的推動(dòng)者，對我國建設(shè)海洋強(qiáng)國有著極其重要的作用，在國家發(fā)展建設(shè)及人民日常生活中都有著極其重要的影響。 大型散貨船作為代表性船型，在國際航運(yùn)市場占比逐年遞增。 在眾多類型的船舶中，按照控制輸入向量空間維數(shù)是否與船舶廣義坐標(biāo)向量空間維數(shù)相等，即船舶的獨(dú)立控制輸入量是否等于被控制自由度的數(shù)量，可分為全驅(qū)動(dòng)船舶和欠驅(qū)動(dòng)船舶，大多數(shù)船舶為考慮經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)為欠驅(qū)動(dòng)形式，同時(shí)，在復(fù)雜海況下執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生損壞時(shí)，全驅(qū)動(dòng)船舶也將成為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，產(chǎn)生相應(yīng)的控制問題。 因此，開展欠驅(qū)動(dòng)船舶控制研究有助于提高整個(gè)船舶系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，對船舶精確航行有著十分重要的現(xiàn)實(shí)工程意義。

從非線性、欠驅(qū)動(dòng)、船舶模型參數(shù)易控制三個(gè)方面對船舶軌跡跟蹤控制策略進(jìn)行研究。 目前，常用的軌跡跟蹤控制策略有PID 控制、 反步控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和滑?？刂频?。 文獻(xiàn)［1］對于前驅(qū)動(dòng)無人船軌跡跟蹤問題，采用反步控制思想對控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)，并對所設(shè)計(jì)控制律與PID 控制方法進(jìn)行比較，表明基于反步法設(shè)計(jì)的控制器具有更好的跟蹤性能。 文獻(xiàn)［2］設(shè)計(jì)了一種帶干擾觀測器的反步控制器對存在未知外界干擾的軌跡跟蹤問題進(jìn)行研究，在解決傳統(tǒng)反步策略微分爆炸問題的同時(shí)增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗干擾能力，加快了誤差收斂速度。 文獻(xiàn)［3］等提出一種模糊自適應(yīng)軌跡跟蹤控制策略，采用模糊系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)模型未知干擾的自適應(yīng)逼近，并采用Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果表明該控制方法起到了較好的抗干擾作用。 Sonnenburg 等［4］分別設(shè)計(jì)比例積分級聯(lián)控制器和非線性反步控制器使船舶收斂于一條參考軌跡，并通過仿真測試表明在跟蹤速度及艏向角變化較大時(shí)的軌跡， 采用反步控制能更有效地對軌跡進(jìn)行跟蹤。Aguiar 等［5］針對船舶存在較大建模參數(shù)不確定的情況設(shè)計(jì)了一種能夠在二維及三維空間中自適應(yīng)切換的非線性軌跡跟蹤控制器，將自適應(yīng)控制與基于Lyapunov 非線性控制相結(jié)合設(shè)計(jì)控制律，使位置誤差收斂至零附近，從而漸近跟蹤上任意一條經(jīng)過時(shí)間參數(shù)化的光滑有界曲線。 Ismial 等［6］針對傳統(tǒng)滑模控制會(huì)產(chǎn)生抖振問題， 提出了一種新的魯棒動(dòng)態(tài)區(qū)域自適應(yīng)滑模控制方法，可以有效減小外部干擾和抖振的影響。 此外， 仿真結(jié)果表明該控制策略優(yōu)于自適應(yīng)滑?？刂撇呗约澳：刂撇呗?。

綜合考慮上述方法，從控制器穩(wěn)定性及實(shí)用性等角度出發(fā)， 同時(shí)考慮船舶航行中的避障需求，引入人工勢場法實(shí)現(xiàn)船舶自主避障?；贚yapunov 穩(wěn)定性理論鎮(zhèn)定縱向速度與艏向角誤差，以分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 最后通過仿真計(jì)算驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制策略的有效性。

1 船舶運(yùn)動(dòng)模型

考慮欠驅(qū)動(dòng)船舶的運(yùn)動(dòng)特性，根據(jù)文獻(xiàn)［7］建立如下運(yùn)動(dòng)模型：

式中：η=［x，y，ψ］T為位姿向量，主要包括縱向位置，橫向位置及艏向角；v=［u，v，r］T為縱向速度、橫向速度及艏向角速度構(gòu)成的速度向量；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣R（ψ）、慣性矩陣M（v）、水動(dòng)力阻尼矩陣D（v）、科式向心力矩陣C（v）分別為

以某散貨船為研究對象展開研究，主要模型參數(shù)如表1 所示。

表1 某散貨船模型參數(shù)

欠驅(qū)動(dòng)船舶以螺旋槳及方向舵為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，為實(shí)現(xiàn)縱向、橫向及艏向三個(gè)自由度方向上的控制，可將式（1）簡化為

軌跡跟蹤示意圖如圖1 所示，選取期望軌跡為ηr=［xr（t），yr（t）］T，假設(shè)該期望軌跡光滑有界，船舶在運(yùn)動(dòng)中控制輸入有界，且船舶沿著期望軌跡作無差運(yùn)動(dòng)，則船體坐標(biāo)系原點(diǎn)與當(dāng)前軌跡P 重合，因此船舶運(yùn)動(dòng)速度與P 點(diǎn)速度相等［8］，其大地坐標(biāo)系下位置坐標(biāo)P 為P=［xr（t），yr（t）］T，當(dāng)前軌跡點(diǎn)P 的速度大小為，側(cè)滑角β=atan2（v˙，u˙），選擇參考偏航角ψr=atan2（y˙r，x˙r），其中atan2（x，y）為能夠確定角度所在象限的反正切函數(shù)。

圖1 水平面軌跡跟蹤示意圖

考慮參考軌跡上任意一點(diǎn)與船舶當(dāng)前位置，定義慣性坐標(biāo)系下的軌跡跟蹤位置及角度誤差為

為便于控制器設(shè)計(jì)，根據(jù)幾何變換，定義體坐標(biāo)系下的位姿誤差為

2 控制策略

2.1 控制目標(biāo)

對于水平面軌跡跟蹤問題，設(shè)計(jì)魯棒性強(qiáng)的控制律使軌跡跟蹤誤差收斂于零附近任意小的鄰域內(nèi)，如公式（5）所示，以保證船舶能跟蹤上期望的軌跡點(diǎn)并沿參考軌跡運(yùn)動(dòng)。

建立如圖2 所示軌跡跟蹤控制框架，基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面方法設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器，使被控船舶位姿信息與虛擬位姿狀態(tài)量趨于一致。

圖2 軌跡跟蹤控制框架

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

對于船舶軌跡跟蹤問題，一般通過引入系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)誤差空間，將軌跡跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為誤差鎮(zhèn)定問題。 對式（4）進(jìn)行簡化可得船舶誤差模型為

對上式求導(dǎo)可得：

由于船舶橫向速度較小， 假設(shè)其可以忽略，即定義船舶橫向參考速度vr=0，因此船舶縱向參考速度。

首先定義第一個(gè)Lyapunov 函數(shù)為

式中：k1＞0。

對式（8）求導(dǎo)可得：

以縱向速度u 及艏向角速度r 為虛擬控制輸入，則可選擇期望縱向速度ud及艏向角速度rd為：

2.3 避障設(shè)計(jì)

針對船舶航行環(huán)境中存在的障礙物情況，采用人工勢場法使船舶在運(yùn)動(dòng)過程中有效避障。 為方便避障控制器的設(shè)計(jì)， 假設(shè)船舶的航行安全半徑r 及通信半徑Ri，滿足Ri?ri。

基于控制目標(biāo)（5），使船舶在跟蹤參數(shù)軌跡的同時(shí)避免障礙物碰撞問題，即

采用人工勢場法對船舶參考路徑進(jìn)行調(diào)整，生成無碰撞的參考路徑以實(shí)現(xiàn)障礙物避讓。 采用如下人工勢函數(shù)：

式中：Ri為障礙物外圍可探測區(qū)域半徑 （即船舶進(jìn)入該區(qū)域范圍內(nèi)即可探測到障礙物的存在）；ri為障礙物半徑；為船舶船到障礙物的距離；（xpi，ypi）為障礙物的位置。

對船舶收受到的斥力Γi在縱向及橫向上求導(dǎo)可得：

定義虛擬力向量為

式中：kpi＞0。

定義體坐標(biāo)系下的避障調(diào)整量為

式中：kbu＞0，kbr＞0。

調(diào)整期望速度及期望角速度，得到船舶的期望速度為

2.4 動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

2.4.1 鎮(zhèn)定縱向速度誤差

由式（2）可知縱向速度模型為

定義縱向速度誤差為

設(shè)計(jì)積分滑模面

式中：k1＞0。

對式（20）求導(dǎo)得

為使S˙1=0，選取等效控制律為

在滑?？刂浦?，為了消除抖振，采用如下飽和函數(shù)代替符號函數(shù)

式中：d1＞0。

那么，則縱向速度控制律為

定義Lyapunov 函數(shù)為

對式（25）兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得

根據(jù)式（23）飽和函數(shù)特性可取ε1為

式中：λ1＞0。

那么，式（26）有V˙1≤-λ1｜S1｜。 由此可知，在滑模控制律的作用下，滿足從任意位置狀態(tài)點(diǎn)的滑模到達(dá)條件， 即穩(wěn)定于S1=0 處， 速度誤差ue也穩(wěn)定于零，縱向速度誤差鎮(zhèn)定。

2.4.2 鎮(zhèn)定艏向角誤差

根據(jù)式（2）可知，艏向角運(yùn)動(dòng)模型為

定義橫向速度誤差為

求導(dǎo)可得

設(shè)計(jì)如下滑模面

式中：k2＞0。 定義虛擬控制量，對上式兩邊求導(dǎo)可得

選取如式（23）所示趨近律，則艏向角控制律為

選取Lyapunov 函數(shù)

對上式求導(dǎo)可得

根據(jù)式（23）飽和函數(shù)特性可取ε2為

式中：λ2＞0。

那么，式（36）有V˙2≤-λ2｜S2｜。 由此可知，在滑模控制律的作用下，滿足從任意位置狀態(tài)點(diǎn)的滑模到達(dá)條件，即穩(wěn)定于S2=0 處，艏向角誤差ψe也穩(wěn)定于零，艏向角誤差鎮(zhèn)定。

3 軌跡跟蹤仿真結(jié)果

為驗(yàn)證軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)的有效性，以某散貨船為對象進(jìn)行仿真計(jì)算。

3.1 直線軌跡跟蹤仿真

圖3 直線軌跡跟蹤避障仿真曲線

圖4 縱向速度及艏向角速度響應(yīng)曲線

圖5 縱向誤差及橫向誤差響應(yīng)曲線

3.2 正弦軌跡跟蹤仿真

設(shè)定船舶軌跡跟蹤期望軌跡為xr=4.8t，yr=480 sin（0.01t），仿真結(jié)果如圖6～圖8 所示。 圖6 給出了考慮避障的正弦軌跡跟蹤仿真效果圖，結(jié)果顯示在不同曲率下，船舶能快速跟蹤上期望軌跡并有效避讓障礙物。 圖7 展示了某船縱向速度及艏向角速度曲線， 可以看出速度在障礙物處發(fā)生突變，并在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行調(diào)整。 圖8 給出了誤差響應(yīng)曲線，誤差在避障后能較快趨于零附近，表示該控制策略有較好的跟蹤性能。

圖6 正弦軌跡跟蹤避障仿真曲線

圖7 縱向速度及艏向角速度響應(yīng)曲線

圖8 縱向誤差及橫向誤差響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

針對某散貨船軌跡跟蹤問題，建立船舶運(yùn)動(dòng)模型，采用積分滑模非線性控制理論來克服傳統(tǒng)滑模引起的抖振問題， 進(jìn)行船舶軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)，并結(jié)合勢函數(shù)對跟蹤軌跡進(jìn)行調(diào)整，從而能有效避讓障礙物。 仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)控制器有較好的控制性能及較強(qiáng)的自適應(yīng)性和魯棒性。