李士榮

(江蘇省吳江中等專業(yè)學(xué)校 215200)

直線與圓錐曲線類題型，是一種兼具對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)考察和能力檢測(cè)的題型.當(dāng)此類題型出現(xiàn)在選擇、填空及解答題型中時(shí)，往往是出于學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的考察，只要學(xué)生們按部就班、仔細(xì)研判，通常不難得到正確答案.而當(dāng)此類題型出現(xiàn)在解答題中，往往會(huì)與圓錐曲線的軌跡、位置、弦長(zhǎng)、最值等相關(guān)聯(lián)，需要學(xué)生能夠融合函數(shù)、方程、幾何等知識(shí)點(diǎn)，并對(duì)數(shù)形結(jié)合、空間想象及復(fù)雜類計(jì)算等能力實(shí)施考察.

一、直線與圓錐曲線的基礎(chǔ)性質(zhì)類題型

對(duì)于直線與圓錐曲線基礎(chǔ)性質(zhì)類問(wèn)題，其往往是考察一個(gè)圓錐曲線與一條或多條直線之間的組合關(guān)系，又或者是與其它平面圖形相聯(lián)系，對(duì)學(xué)生關(guān)于圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)的掌握進(jìn)行全面考察.結(jié)合長(zhǎng)期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)此類基礎(chǔ)類題型，可以通過(guò)采用待定系數(shù)法的方式，從而實(shí)現(xiàn)快速求解.

圖1

例1 已知雙曲線的兩個(gè)定點(diǎn)分別為A、B，且點(diǎn)M為雙曲線上的任意一點(diǎn)，其中點(diǎn)A、B、M組成的△ABM為等腰三角形，其鈍角為120°，求雙曲線的離心率.

分析結(jié)合題中已知條件可知，欲求解本題，等腰三角形是最重要的條件.不妨使用待定系數(shù)法，假設(shè)雙曲線方程，利用等腰性質(zhì)實(shí)現(xiàn)求解.

二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系類題型

求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，待定系數(shù)法往往是最直接的方法，通過(guò)假設(shè)直線方程為Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0)，利用待定系數(shù)的方法，將其代入圓錐曲線的表達(dá)式，此時(shí)，利用消元法消去其中一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外一個(gè)未知數(shù)的方程，再分類討論a≠0及a=0的情況下，便可實(shí)現(xiàn)判斷.

分析針對(duì)此題，可以利用待定系數(shù)法假設(shè)直線l的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組消元求解，并結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解直線方程.

三、直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)類問(wèn)題

分析本題雖說(shuō)包含直線、雙曲線和拋物線，并存在交點(diǎn)、中點(diǎn)等，但若是利用點(diǎn)差法，假設(shè)處各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，并結(jié)合已知條件，便可實(shí)現(xiàn)順利求解.

四、直線與圓錐曲線的最值類問(wèn)題

圓錐曲線最值問(wèn)題的題型眾多，但最終的求解方法無(wú)異于兩類.一是幾何求解方法，即是利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)及定理等實(shí)施求解；二是利用代數(shù)的方法進(jìn)行求解，即是將最值求解的幾何量或表達(dá)式轉(zhuǎn)化成函數(shù)或不等式的形式進(jìn)行求解.

分析針對(duì)該四邊形面積的最值求解，其最大值較為明顯，即是當(dāng)其中一條直線經(jīng)過(guò)通徑時(shí)，故本題的難點(diǎn)就在于判斷何時(shí)四邊形面積取得最小值.其核心方法就是建立關(guān)于面積變量的目標(biāo)函數(shù).

總之，對(duì)于直線與圓錐曲線的試題類型眾多，解題方法也是千變?nèi)f化.但無(wú)論如何，其基本考點(diǎn)無(wú)非是對(duì)圓錐曲線的概念、性質(zhì)、交點(diǎn)及軌跡等，有效求解方法無(wú)非是待定系數(shù)、點(diǎn)差法等.相對(duì)重點(diǎn)題型的一對(duì)一訓(xùn)練，更重要的還是從題干入手，結(jié)合各題的已知條件及類型，找出針對(duì)性的求解方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)癥下藥，從而快捷高效求解.