岳杰順 權(quán)曉波 葉舒然 王靜竹 王一偉,2)

?(中國科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點實驗室，北京 100190)

?(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

引言

航行體出水過程中的出筒、水下航行階段，常常伴隨著自然空泡和通氣空泡的產(chǎn)生、斷裂、潰滅、壓力脈動等現(xiàn)象[1].形成復(fù)雜的汽液固耦合效應(yīng)，對航行體載荷和運動的預(yù)測造成困難[2].劇烈的壓力脈動也很給航行體水下發(fā)射的穩(wěn)定性及機動性帶來了極大的挑戰(zhàn).因此對空泡的演化和壓力特征進行預(yù)測研究，對航行體的結(jié)構(gòu)強度設(shè)計以及安全發(fā)射有著非常重要的意義.氣泡的膨脹、收縮以及脈動等動力學(xué)行為很大程度上取決于發(fā)射條件[3].實際工程需求中，在給定基本幾何構(gòu)型和水深、壓差等初始條件下,需要能夠迅速獲得航行體的尾部壓力脈動響應(yīng)，進而獲得彈道曲線[4].傳統(tǒng)的方法著重對整體過程進行實驗觀測或數(shù)值模擬[5-8]，效率比較低，只適用于特定工況或機理研究，很難滿足工程中的彈道優(yōu)化問題.

一些簡化的計算方法，例如勢流理論將回轉(zhuǎn)體流場速度勢看作一個隨回轉(zhuǎn)體運動的點源和位于空泡軸線處的線源的疊加，從而建立空泡波動預(yù)測的理論模型[9].攝動理論是在彈道擾動很小的情況下，用線性化函數(shù)逼近非線性函數(shù)，進行彈道的修正[10].這類簡化方法能夠在一定程度上提高空泡和彈道預(yù)測的效率，但是這類方法適用的情況有限.

近年來，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，機器學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法在參數(shù)預(yù)測，流體模擬和特征提取等領(lǐng)域中逐漸廣泛應(yīng)用.給定若干種構(gòu)型或發(fā)射條件進行CFD 模擬，利用這些結(jié)果對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練，在優(yōu)化過程中利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代CFD 分析,可以迅速給出彈道或優(yōu)化設(shè)計.魏倩等[11]提出了一種基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的中制導(dǎo)改進算法，預(yù)先離線訓(xùn)練、學(xué)習(xí)，大大縮短了計算時間.邵雷等[12]利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性函數(shù)的逼近特性，通過彈道數(shù)據(jù)庫訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)中制導(dǎo)彈道在線生成.吳朝峰等[13]提出了基于遺傳算法優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，直接對外彈道落點進行了預(yù)測.張秦浩等[14]使用Q-learning 強化學(xué)習(xí)預(yù)測彈道，提高了制導(dǎo)精度.

宮兆新等[15]模擬了水下發(fā)射過程，表明通氣空泡和燃?xì)馕才莸男螤钜约皬楏w運動軌跡會受到發(fā)射參數(shù)的影響.因此對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多參數(shù)識別和多目標(biāo)優(yōu)化的能力提出了較高的要求.深度學(xué)習(xí)模型由于所需的輸入數(shù)據(jù)集少，訓(xùn)練效率更高，預(yù)測能力更好等特點，被廣泛運用到流體力學(xué)以及其他各類物理過程的建模和預(yù)測中[16].Tang 等[17]建立了基于殘差U-Net 和卷積長期短期記憶(LSTM)遞歸網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)代理模型，并將其用于預(yù)測地質(zhì)模型中的動態(tài)地下流動.Jagtap[18]采用物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進行回歸預(yù)測方程的解，獲得了線性和非線性偏微分方程的解的曲線.陳家揚等[19]利用深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)高效的特點實現(xiàn)了短期風(fēng)功率預(yù)測,為調(diào)峰容量提供依據(jù).李江等[20]提出一種將深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于彈道目標(biāo)微動分類的方法，實現(xiàn)目標(biāo)預(yù)測.Wang 等[21]利用長短期記憶網(wǎng)絡(luò)從歷史軌跡中預(yù)測出民航客機未來的移動趨勢.這些例子充分說明可以基于數(shù)值模擬的結(jié)果，利用深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的泛化性構(gòu)建模型，具有預(yù)測航行體的水動力和彈道曲線的潛力.

此外，水下發(fā)射涵蓋的出筒、水下航行中的空泡斷裂、潰滅現(xiàn)象，造成壓力非線性的劇烈脈動.對于這種整體趨勢疊加強噪聲的數(shù)據(jù)，需要使用一些新的技術(shù)，例如多尺度、多分辨率網(wǎng)絡(luò)，使網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)發(fā)射全過程的預(yù)測.同時要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滿足一定的物理約束，而不是簡單的完全基于數(shù)據(jù).目前有一些將這些新技術(shù)運用到其他領(lǐng)域的例子，Wang 等[22]利用代理模型進行多尺度建模，應(yīng)用于材料力學(xué)中的動態(tài)變形，大大降低了計算成本和誤差.Wang 等[23]結(jié)合了深度學(xué)習(xí)技術(shù)和局部多尺度模型簡化方，法來預(yù)測多孔介質(zhì)的流動動力學(xué).Yang 等[24]提出了一種基于高斯過程回歸的多保真度方法，將物理系統(tǒng)的直接觀測視為高保真數(shù)據(jù)，而隨機輸出被視為低保真數(shù)據(jù)，重構(gòu)了穩(wěn)態(tài)傳熱問題的溫度場.Meng 等[25]將數(shù)據(jù)分解成線性和非線性部分建立模型，學(xué)習(xí)低和高保真度數(shù)據(jù)之間的復(fù)雜非線性相關(guān)性.這種多尺度預(yù)測的概念類似CFD 中廣泛采用的大渦模擬模型[26]，對于大尺度的渦使用高分辨率的直接模擬，小尺度的渦使用模型來封閉.多尺度方法在具有強噪聲數(shù)據(jù)分析中也已經(jīng)被廣泛使用，例如醫(yī)學(xué)信號分析[27]，水輪機振動非線性信號分析[28].

本工作通過發(fā)射過程的數(shù)值模擬、氣泡演化的理論分析和深度學(xué)習(xí)的智能方法研究了空泡與航行體相互作用的問題，在模擬數(shù)據(jù)和理論公式的基礎(chǔ)上，提出了一種具有物理意義的多尺度深度學(xué)習(xí)模型.該網(wǎng)絡(luò)模型以一維卷積網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，構(gòu)建了一種編碼-解碼型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過不同的采樣頻率將原始數(shù)據(jù)劃分為大尺度和小尺度，進而訓(xùn)練低保真度和高保真度的網(wǎng)絡(luò).從而實現(xiàn)對不同物理過程的響應(yīng)和捕捉.并通過測試和驗證說明給定不同發(fā)射條件下，該深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)模型能夠?qū)崿F(xiàn)航行體受力特征的快速預(yù)測，從而為運動和彈道的預(yù)測提供依據(jù).

1 輸入數(shù)據(jù)的生成及航行條件的參數(shù)化方法

1.1 數(shù)值計算方法

本文采用的人工智能的深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，需要采用數(shù)值模擬方法建立大量的輸入數(shù)據(jù)進行網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練.采用商業(yè)CFD 軟件Fluent 對發(fā)射過程進行動態(tài)數(shù)值模擬，將獲得的尾部峰值壓力曲線作為輸入數(shù)據(jù)和預(yù)測目標(biāo).此外，需要將發(fā)射條件轉(zhuǎn)化為相同維度的時序數(shù)據(jù)張量才能用于網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練.流場分析中不需過多考慮三維外形的流場細(xì)節(jié)，但是需要實現(xiàn)出筒過程的氣泡膨脹、收縮和斷裂等關(guān)鍵過程.

將計算的航行體模型簡化為圓柱回轉(zhuǎn)體構(gòu)型，并將復(fù)雜的三維發(fā)射過程簡化為二維軸對稱問題.此外，由于僅研究尾部的壓力脈動，僅模擬尾部的通氣空泡，忽略肩部的附著空泡.采用動網(wǎng)格的動態(tài)層狀網(wǎng)格技術(shù)實現(xiàn)出筒過程和航行過程的剛體運動的過程，整個流場的網(wǎng)格均是四邊形單元.建立三個區(qū)域的網(wǎng)格，一個是周圍的靜止區(qū)域，另兩個分別是中間上下兩部分的變形區(qū)域，之間以interface 連接，如圖1.多相流物理模型采用VOF 模型，湍流模型采用k-ε RNG 模型，物理時間步長取dt=0.5 ms.

圖1 計算區(qū)域劃分Fig.1 Computational domain

由于發(fā)射參數(shù)對航行體水下運動的影響較大，所以需要綜合考慮發(fā)射速度、發(fā)射水深和出筒壓差對空泡的影響.背景壓力隨水深變化，給定發(fā)射筒內(nèi)初始靜溫出筒壓差范圍.出筒初始速度范圍考慮到計算效率的限制，所取工況數(shù)量有限，但應(yīng)該盡可能均勻的涵蓋目標(biāo)范圍內(nèi)的情況，使預(yù)測工況作為內(nèi)插而不是外插條件，這樣更有利于獲得可靠的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具體的工況設(shè)置見3.1 節(jié).運動加速度考慮了3 種情況，即零加速度、固定減速、隨速度變化減速.形成了共計108 組樣本的輸入數(shù)據(jù).

1.2 Rayleigh-Plesset 氣泡方程式的氣泡演化的理論關(guān)系

現(xiàn)有的機器學(xué)習(xí)大多直接用作黑盒工具，對數(shù)據(jù)直接進行操作.為了使該深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程具有一定的物理性和泛化性，需要發(fā)展基于空泡演化的物理知識發(fā)現(xiàn)與特征提取.可以將氣泡演化的機理看作是物理過程未受干擾的線性過程[29]，這一部分作為輸入引入網(wǎng)絡(luò)；而航行體和壁面的影響可以看作是非線性因素，這部分不通過理論模型處理，而只通過數(shù)據(jù)和網(wǎng)絡(luò)預(yù)測.因此對單氣泡演化機理進行探索，將獲得的氣泡內(nèi)壓變化曲線，作為輸入數(shù)據(jù)，提供監(jiān)督.

本文通過描述液體中球形空泡半徑隨時間變化規(guī)律的Rayleigh-Plesset 方程，獲得氣泡內(nèi)壓

其中，R為氣泡半徑，ρl為液相密度，νl為液相的運動黏性系數(shù)，σ 為相間表面張力系數(shù)，pB為泡內(nèi)壓力，p∞為背景壓力.pB初始值與筒內(nèi)初始壓力相同，使用通過四階龍格庫塔方程求解R-P 氣泡方程式，得到該時間步的氣泡半徑R，令==0，可以得到該瞬時的泡內(nèi)壓力，再將結(jié)果代入下一時間步的迭代.最終得到氣泡半徑和泡內(nèi)壓隨時間變化的關(guān)系[30].

1.3 輸入數(shù)據(jù)

圖2 是數(shù)值計算的氣體體積分?jǐn)?shù).航行體出筒后在筒口形成一個逐漸膨脹的球狀氣泡.隨著航行體的運動彈尾氣泡被拉斷，斷裂后從中心形成一個回射流，將尾空泡鏟離壁面，尾流中的旋渦造成氣泡劇烈膨脹和收縮，使這個階段的壓力呈現(xiàn)脈動規(guī)律.證明結(jié)果符合文獻中非定?？栈鞯牧鲃咏Y(jié)構(gòu)和機理[31].

圖2 數(shù)值計算的氣體體積分?jǐn)?shù)Fig.2 Simulated vapor volume fraction

獲得基本流場后,對于不同的發(fā)射速度、深度和加速度條件需要將其轉(zhuǎn)化成適用于網(wǎng)絡(luò)輸入的參數(shù)化表達(dá).例如速度隨時間變化的曲線、深度(轉(zhuǎn)化成背景壓力)隨時間變化的曲線.深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行數(shù)據(jù)訓(xùn)練前訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本需要進行歸一化或無量綱化處理，其目的是取消各維數(shù)據(jù)間數(shù)量級差別，避免因為輸入輸出數(shù)據(jù)數(shù)量級差別過大而造成網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差較大.考慮到數(shù)據(jù)的物理性質(zhì)，本文采用無量綱參數(shù)對原始數(shù)據(jù)進行無量綱化，速度和壓力的無量綱參數(shù)分別取U∞和.對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)進行無量綱處理獲得的曲線如圖3.可以看出各通道的數(shù)據(jù)達(dá)到了近似的量級.

圖3 無量綱化后的輸入數(shù)據(jù)Fig.3 Dimensionless input data

2 網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 一維卷積網(wǎng)絡(luò)模型

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)憑借其局部連接、權(quán)值共享、下采樣等特性可以保留重要的參數(shù)，來達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果.二維卷積被廣泛用于處理圖像和機器視覺，而一維卷積通常用在處理文本中[32].處理文本的時候，通常卷積操作的卷積核kernel 的大小與文本中每個字符向量的長度相同.對于本文的數(shù)據(jù)，可以看成是一系列字符拼湊成的曲線，因此選擇通過一維卷積網(wǎng)絡(luò)來進行數(shù)據(jù)的預(yù)測.實際的網(wǎng)絡(luò)模型搭建中，在基于Keras 庫的TensorFlow 框架中通過Convolution1D 函數(shù)實現(xiàn).

分別對上述初始條件的發(fā)射問題進行了批量的數(shù)值模擬.目標(biāo)輸入共計108 組數(shù)據(jù).從其中隨機取10%即11 組數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)樣本，其余97 組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本.以速度曲線、背景壓力曲線以及理論公式的結(jié)果曲線構(gòu)建108×400×3 的數(shù)組(網(wǎng)絡(luò)的通道數(shù)channel=3，總時間t=0.8 s，取值間隔dt=0.002 s)，作為輸入數(shù)據(jù)的x；以底部峰值壓力曲線構(gòu)建108×400×1 的數(shù)組，作為輸入數(shù)據(jù)的y.建立映射f(x)=y，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練尋找映射關(guān)系.深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測流程圖如圖4.輸入的數(shù)據(jù)分別為：底部壓力pbtm、運動速度U、理論結(jié)果prp、背景壓力pbg.建立映射pbtm=f(U,prp,pbg).進行網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，導(dǎo)入新的一組進行預(yù)測，就可以得到新的.其中出筒壓差通過理論結(jié)果prp的初值體現(xiàn).

2.2 編碼--解碼網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

圖4 預(yù)測流程圖Fig.4 Prediction flow chart

本文的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)包含多層一維卷積，構(gòu)成一種編碼器--解碼器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[33].編碼器的任務(wù)是在給定輸入數(shù)據(jù)后，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)得到輸入數(shù)據(jù)的特征譜；而解碼器則在編碼器提供特征譜后，逐步實現(xiàn)每段數(shù)據(jù)的類別標(biāo)注，也就是分割.可以解決卷積--全連接結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的存儲開銷很大、計算效率低下、感受野太小的問題，提高預(yù)測精度.

本文采用的網(wǎng)絡(luò)如圖5，類似現(xiàn)在圖像分割采用的比較多的Segnet 和U-net，對輸入層使用三層一維卷積+池化進行編碼，再使用三層一維卷積+上采樣進行解碼.在典型的編碼器--解碼器結(jié)構(gòu)例如FCN、U-net 等網(wǎng)絡(luò)中，都使用到了上采樣技術(shù).該網(wǎng)絡(luò)可以接受任意尺寸的輸入數(shù)據(jù)，采用反卷積層和上采樣,使它恢復(fù)到輸入數(shù)據(jù)相同的尺寸.在卷積層之后設(shè)置池化層和上采樣層，能夠減小參數(shù)的數(shù)量和計算量，在一定程度上也控制過擬合.為了讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)復(fù)雜的非線性曲線，將非線性激活函數(shù)ReLU 應(yīng)用于某些層.采用Adam 優(yōu)化器訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，并采用反向傳播算法更新神經(jīng)元.

圖5 本文的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.5 The network structure

2.3 多尺度網(wǎng)絡(luò)

從模擬結(jié)果可以看出，尾空泡在壓差的作用下初始呈現(xiàn)出光滑膨脹的特點，底部壓力逐漸降低，比較類似氣泡方程式的規(guī)律.出筒后運行到一定時刻，尾部的低壓區(qū)導(dǎo)致空泡拉斷.斷裂后附著在尾部的空泡開始出現(xiàn)回射流和氣泡劇烈震蕩等現(xiàn)象，產(chǎn)生壓力脈動.該脈動的頻率相對氣泡膨脹和收縮的頻率非常高，在一定程度上給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測帶來了困難.因為網(wǎng)絡(luò)需要既能分辨氣泡膨脹和收縮的光滑性規(guī)律，即具有大尺度分辨率；又要能分辨脈動的頻率、幅值以及出現(xiàn)的位置等規(guī)律，即具有小尺度分辨率.因此，本文提出一種多尺度網(wǎng)絡(luò)模型，分別預(yù)測兩種特征，首先需要對原始數(shù)據(jù)進行一定的分解處理.

為了使輸入數(shù)據(jù)滿足多尺度的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，需要對數(shù)據(jù)進行前處理，將曲線拆分為大尺度的宏觀變化率和小尺度的瞬時脈動率.而且，基于實際經(jīng)驗，彈道的位移是對壓力脈動產(chǎn)生加速度的二次積分，對瞬時突變的壓力脈動效應(yīng)并不太敏感，所以可以將壓力脈動進行一定程度的簡化，這一點支撐了該方法的合理性.

在MATLAB 中對原始數(shù)據(jù)進行移動平均低通濾波，濾波窗口寬度N默認(rèn)為5.對于本文數(shù)據(jù)中濾波器使用的原則是：盡可能使過濾后的曲線光滑，但保證不抹去基本物理規(guī)律.圖6 對比了不同窗口大小的過濾結(jié)果.通過FFT 運算將信號轉(zhuǎn)換到頻域.通過頻域的振幅譜可以看出，通過低通濾波器，高采樣頻率的振幅被截斷，壓力曲線的震蕩和毛刺被過濾掉，留下光滑低頻部分.默認(rèn)的窗口大小的過濾結(jié)果并不令人滿意，通過嘗試多種N的取值(5，10，15，20，限于篇幅并沒有完全展示)，取N=20 過濾后的壓力曲線比較滿足本文濾波器的原則，利于網(wǎng)絡(luò)預(yù)測.最終選擇的窗口大小為N=20.

曲線中可以看出，空泡斷裂前的光滑區(qū)域和斷裂后的高頻震蕩區(qū)域有很大的區(qū)別，如果使用一套網(wǎng)絡(luò)或一種超參數(shù)設(shè)置會很難捕捉到兩部分的特征.一種解決辦法是，將前半部分和后半部分?jǐn)嚅_，分別采用兩種網(wǎng)絡(luò).但是，這會導(dǎo)致壓力突變位置的尋找成為一個新的難題，而且兩段數(shù)據(jù)如何銜接也是一個挑戰(zhàn).為了便于網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測，該壓力曲線可以認(rèn)為是一系列線性波的疊加，滿足信號的疊加原理.那么某處的振幅可以表達(dá)成幾個單獨波產(chǎn)生的振幅之和.因此本文創(chuàng)新的提出了一種多尺度網(wǎng)絡(luò)，對于全過程分別構(gòu)建基準(zhǔn)壓力曲線和脈動壓力曲線預(yù)測網(wǎng)絡(luò)，兩種網(wǎng)絡(luò)采用不同的尺度的分辨率，再將兩個網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果疊加起來，得出最后的壓力曲線.具體做法如下.

圖6 不同窗口大小的過濾結(jié)果對比Fig.6 Filtered results of different window sizes

之前已經(jīng)將底部壓力曲線進行了過濾，獲得了光滑部分的數(shù)據(jù)，將原始數(shù)據(jù)減去過濾數(shù)據(jù)則可以獲得脈動部分的數(shù)據(jù).通過這個過程完成了特征的分解.對這組數(shù)據(jù)分別構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)1 和網(wǎng)絡(luò)2.如圖7 所示.

為了防止過擬合，同時提高網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練效率，輸入數(shù)據(jù)后進一步對數(shù)據(jù)進行處理，對每組數(shù)據(jù)每M個點取一個樣本點，網(wǎng)絡(luò)1 擬合比較光滑的數(shù)據(jù)，因此M值取較大；網(wǎng)絡(luò)2 的數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)更多，取M值較小.網(wǎng)絡(luò)算法示意和參數(shù)設(shè)置如表1.

圖7 數(shù)據(jù)的分解Fig.7 Decomposition of data

表1 網(wǎng)絡(luò)算法示意Table 1 Network algorithm framework

需要強調(diào)的是，網(wǎng)絡(luò)2 的輸入需要加入另一條曲線——底部壓力，這樣能使網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確識別壓力突越位置，提高網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的能力.完成預(yù)測后通過插值，將網(wǎng)絡(luò)2 的結(jié)果附加在網(wǎng)絡(luò)1 的結(jié)果之上.實際操作中，當(dāng)無量綱脈動幅值超過0.005 時，則添加脈動量.

3 結(jié)果與討論

3.1 數(shù)值模擬結(jié)果

圖8～圖10 分別是不同初始速度、出筒壓力和深度的數(shù)值模擬壓力曲線.可以看出，發(fā)射初始階段壓力變化比較光滑，隨著氣泡膨脹，壓力開始下降.到一定程度后，空泡開始收縮，壓力上升.收縮到一定程度空泡的形態(tài)無法維持，產(chǎn)生斷裂.斷裂后產(chǎn)生劇烈的壓力震蕩，振蕩的頻率非常高，隨著時間發(fā)展，壓力脈動逐漸衰減，幅值逐漸降低.

不同的發(fā)射條件對底部壓力曲線的影響比較大，具體有以下規(guī)律.在不同初始速度下，光滑階段空泡膨脹速率不同，空泡斷裂時間不同，斷裂后峰值壓力不同.不同出筒壓差下，初始壓力不同，空泡斷裂時間不同，斷裂后震蕩幅值不同.不同筒口深度下，光滑階段空泡膨脹速率不同，空泡斷裂時間不同，斷裂時的壓力值不同.這些規(guī)律與文獻[8]中的結(jié)果類似，證明了本文數(shù)值模擬結(jié)果的可靠性.

圖8 不同初始速度的數(shù)值模擬壓力曲線Fig.8 Simulated pressure curve at different U0

3.2 單尺度網(wǎng)絡(luò)

圖11 顯示了單尺度網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的隨機測試結(jié)果，圖中的模擬結(jié)果顯示采用網(wǎng)絡(luò)1 的分辨率(即向量維度為80).可以看出，光滑階段的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果比較接近，可以大致預(yù)測出不同發(fā)射條件下的變化規(guī)律，也能大致分辨出壓力突變的位置.但是無論如何調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，也無法分辨出壓力脈動的特征.此外，由于網(wǎng)絡(luò)壓力脈動效應(yīng)的擬合，又會使得光滑曲線階段產(chǎn)生鋸齒狀的微小波動，產(chǎn)生過擬合，使預(yù)測精度降低.說明單個網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力受限于同一尺度的分辨率，很難同時對兩種分辨率的數(shù)據(jù)同時處理.說明了本文提出的多尺度網(wǎng)絡(luò)的必要性.

圖11 單尺度網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的壓力曲線結(jié)果Fig.11 Test results for single-scale network

3.3 多尺度網(wǎng)絡(luò)

圖12 是采用多尺度網(wǎng)絡(luò)模型后，網(wǎng)絡(luò)1 的隨機測試結(jié)果，可以看出，網(wǎng)絡(luò)1 對光滑曲線的預(yù)測有很好的效果，能夠預(yù)測不同發(fā)射條件帶來的影響規(guī)律，而且對壓力突變的位置和突變后曲線的整體走勢都能進行很好的預(yù)測.

圖12 網(wǎng)絡(luò)1 的隨機測試結(jié)果Fig.12 Random test results for network 1

圖13 是網(wǎng)絡(luò)2 對震蕩的隨機測試結(jié)果，可以看出，網(wǎng)絡(luò)2 對震蕩的頻率和幅值都能獲得很好的預(yù)測結(jié)果，而且可以獲得小幅度震蕩的內(nèi)在規(guī)律.

圖13 網(wǎng)絡(luò)2 的隨機測試結(jié)果Fig.13 Random test results for network 2

圖14～圖16 是網(wǎng)絡(luò)1 和網(wǎng)絡(luò)2 的結(jié)果疊加的最終預(yù)測結(jié)果，可以看出，對于任何發(fā)射條件，不同初始速度、出筒壓差、深度，疊加后的多尺度網(wǎng)絡(luò)(ML-multi)都能獲得很好的預(yù)測結(jié)果.無論是光滑曲線、壓力突變的位置、震蕩的頻率和幅值都和數(shù)值模擬的結(jié)果吻合很好.網(wǎng)絡(luò)2 對整體的預(yù)測結(jié)果有大幅度的提升，使得整個深度學(xué)習(xí)模型能夠預(yù)測壓力震蕩頻率和幅值的能力.此外，整體曲線的走勢和突變位置取決于大尺度網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力，而脈動的頻率和幅值取決于小尺度網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力.圖15(b)結(jié)果中，深度學(xué)習(xí)未能預(yù)測出第一個峰值，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)該處的震蕩頻率較高，在網(wǎng)絡(luò)輸入數(shù)據(jù)處理階段，該峰值被過濾掉.因此在數(shù)據(jù)處理時，可以根據(jù)實際情況調(diào)整過濾窗口的大小，或者利用幅值判斷該處分量是否應(yīng)該被過濾，獲得更精確的預(yù)測.后期可以分別對兩個網(wǎng)絡(luò)進行進一步優(yōu)化，繼續(xù)提高預(yù)測的精度.

不同初始速度的預(yù)測結(jié)果如圖14 所示.

圖14 不同初始速度的預(yù)測結(jié)果Fig.14 Prediction results at different U0

不同出筒壓差的預(yù)測結(jié)果如圖15 所示.

圖15 不同出筒壓差的預(yù)測結(jié)果Fig.15 Prediction results at different dp

圖15 不同出筒壓差的預(yù)測結(jié)果(續(xù))Fig.15 Prediction results at different dp(continued)

不同深度的預(yù)測結(jié)果如圖16 所示.

圖16 不同深度的預(yù)測結(jié)果Fig.16 Prediction results at different depths

圖17 測試集與CFD 結(jié)果的平均絕對誤差Fig.17 MAE of test set

圖18 測試集與CFD 結(jié)果的均方根誤差Fig.18 RMSE of test set

圖17 和圖18 分別給出了一個測試集(11 組測試樣本)與CFD 結(jié)果的平均絕對誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE)，對單尺度網(wǎng)絡(luò)和多尺度網(wǎng)絡(luò)進行了對比.平均絕對誤差相當(dāng)于L1范數(shù)，均方根誤差相當(dāng)于L2范數(shù).可以看出，本文提出的多尺度網(wǎng)絡(luò)在平均絕對誤差上和單尺度網(wǎng)絡(luò)比較接近，并在一些樣本中獲得了誤差較小的結(jié)果，說明了基礎(chǔ)光滑曲線預(yù)測的合理性，也證明壓力脈動的添加并不會降低整體的預(yù)測精度.多尺度網(wǎng)絡(luò)在誤差上和單尺度網(wǎng)絡(luò)相比提升并不太明顯，說明本文提出的網(wǎng)絡(luò)模型通過引入物理約束，已經(jīng)能夠滿足大尺度情況下的壓力預(yù)測.而小尺度網(wǎng)絡(luò)在此基礎(chǔ)上發(fā)揮了錦上添花的作用，為壓力預(yù)測曲線添加了脈動效果.均方根誤差上，多尺度網(wǎng)絡(luò)在大部分樣本中也比單尺度網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果好，說明這種網(wǎng)絡(luò)模型對數(shù)據(jù)所有區(qū)域的預(yù)測水平都相當(dāng)，優(yōu)化了脈動部分的預(yù)測.

圖19 給出了某一個預(yù)測樣本的頻譜對比.可以看出，單尺度網(wǎng)絡(luò)過濾掉了高頻脈動的振幅譜，因此無法體現(xiàn)壓力脈動的細(xì)節(jié).而多尺度網(wǎng)絡(luò)可以預(yù)測出高頻振蕩的趨勢，而且在中頻區(qū)域的振幅與原始數(shù)據(jù)比較接近.證明了本文提出的多尺度網(wǎng)絡(luò)具有對壓力脈動預(yù)測的能力.

圖19 某一個預(yù)測樣本的頻譜對比Fig.19 Spectral comparison of a prediction sample

3 結(jié)論

本文通過對航行體發(fā)射和水下航行的動態(tài)數(shù)值求解的和空泡演化理論機理的研究，建立了深度學(xué)習(xí)預(yù)測模型的輸入數(shù)據(jù)庫，提出了一種多尺度深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并對其進行了訓(xùn)練和驗證.

數(shù)值模擬結(jié)果顯示，底部壓力曲線的計算符合物理規(guī)律.初始階段壓力變化比較光滑，隨著氣泡膨脹，壓力開始下降.到一定程度后，空泡開始收縮，壓力上升.收縮到一定程度空泡的形態(tài)無法維持，產(chǎn)生斷裂.斷裂后產(chǎn)生劇烈的壓力震蕩，振蕩的頻率非常高，隨著時間發(fā)展，壓力脈動逐漸衰減，幅值逐漸降低.發(fā)射條件對空泡的發(fā)展和底部壓力影響比較大.會導(dǎo)致不同的空泡膨脹速率、空泡斷裂時間、斷裂后震蕩幅值等.

單尺度網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的壓力曲線結(jié)果，可以大致預(yù)測出不同發(fā)射條件下的規(guī)律，也能大致分辨出壓力突變的位置.但是無論如何調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，也無法分辨出壓力脈動的特征.突顯出了本文提出的多尺度網(wǎng)絡(luò)的必要性.

本文提出的具有物理意義的多尺度網(wǎng)絡(luò)在數(shù)據(jù)較少的情況下，對于多種常見的發(fā)射初始條件，網(wǎng)絡(luò)都能獲得很好的預(yù)測結(jié)果.無論是光滑曲線的走勢、壓力突變的位置、震蕩的頻率和幅值都和數(shù)值模擬的結(jié)果吻合很好，從而實現(xiàn)對不同物理過程的響應(yīng)和捕捉.今后的研究中可以分別對兩個網(wǎng)絡(luò)進行進一步優(yōu)化，繼續(xù)提高預(yù)測的精度.此外，擬將外延參數(shù)的預(yù)測作為進一步的研究方向，提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力.