黃建亮 王 騰 陳樹輝

(中山大學應用力學與工程系,廣州 510275)

引言

在工程中存在著很多可以用自激振動和參數(shù)激振聯(lián)合作用的van der Pol-Mathieu 方程來描述的振動,例如,含有萬向接頭的轉子系統(tǒng)的橫向振動[1],卡盤作業(yè)過程中的參數(shù)激振[2],含有自振和參數(shù)激振的齒輪裝置系統(tǒng)的振動[3],塵埃等離子體中的顆粒電荷的動力學行為[4],高層建筑結構在風荷載下的振動[5-6]等,都是可用van der Pol-Mathieu 方程來描述振動的典型例子.van der Pol-Mathieu 方程同時含有自激振動和參數(shù)激振,蘊含著豐富的動力學行為,多年來一直是眾多學者關注點之一.

Tondl[7]首先分析了van der Pol-Mathieu 方程中自激振動和參數(shù)激振的相互作用,并在共振區(qū)域發(fā)現(xiàn)了周期響應.Kotera 和Yano[8]用兩個頻率的和分析了van der Pol-Mathieu 方程在參數(shù)共振區(qū)域的近似一階和二階的周期解.陳予恕和徐鑒[9]研究了van der Pol-Duffing-Mathieu 型系統(tǒng)主參數(shù)共振分岔解,得到該非線性參數(shù)激勵系統(tǒng)依賴于物理參數(shù)變化的振動模式.Szabelski 和Warminski[10]分析了自激振動和參數(shù)激勵對van der Pol-Mathieu 方程的影響,并且研究了附加外激勵在同步區(qū)域內動力學行為的影響.Warminski 等[3]對含有自激振動和參數(shù)激勵的兩自由度系統(tǒng)進行分析,并得到了不同類型的響應,包含有周期響應,準周期運動響應和混沌.彭獻和陳自力[11]引入?yún)?shù)變換,將強非線性系統(tǒng)轉化為弱非線性系統(tǒng),利用攝動思想分析得到了van der Pol-Mathieu方程的1/2 亞諧共振周期解.Belhaq 和Fahsi[12]和Pandey 等[13]分析了van der Pol-Mathieu-Duffing 系統(tǒng)的響應,得到該類系統(tǒng)可含有1:1 鎖頻,2:1 次諧波鎖頻和準周期運動響應.張琪昌等[14]利用改進的類Pad′e 方法計算了van der Pol-Duffing 方程的同異宿軌道.Warminski[15]研究了含有van der Pol 和Rayleigh函數(shù)在兩個不同自激振動模型下具有時滯狀態(tài)的自激振動,參數(shù)激振和強迫振動作用下的相互作用.許多學者也對各類含有參數(shù)激振的非線性系統(tǒng)進行研究[16-19],得到了不同的非線性振動特性和運動分岔.

早期對于van der Pol-Mathieu 方程的眾多研究主要集中在含有一個基頻的周期響應及其穩(wěn)定性分析.可以利用不同的攝動方法求得這類方程的近似解析解[20].然而,對于van der Pol-Mathieu 方程來說,因有自激振動與參數(shù)激勵振動的相互耦合作用,使得系統(tǒng)不僅有周期響應,而且還有準周期運動響應,甚至產生混沌,近年來受到眾多學者的關注.Belhaq 和Houssni[21]為了構造準周期運動的近似解,提出了雙攝動的思想,其方法包含了兩個步驟:第一步利用廣義的平均法將準周期系統(tǒng)變?yōu)橹芷跍p化系統(tǒng);第二步是用多尺度法對周期減化系統(tǒng)構造出近似的準周期運動解.他們利用雙攝動方法得到了同時含有二次和三次非線性項的參數(shù)激勵和外激勵的單自由度系統(tǒng)的準周期解.該雙攝動方法的本質就是對周期減化系統(tǒng)在平衡點附近的周期解進行非線性近似,該方法可進一步推廣到各類非線性系統(tǒng)的準周期運動分析中[5-6,12,22].Fan 等[23]也利用了雙攝動方法分析了van der Pol-Mathieu 方程在有外激勵和無外激勵兩種情況下的周期解和準周期運動近似解的包絡線.然而,雙攝動方法只能得到準周期運動包絡線的最大和最小幅值,無法得到系統(tǒng)準周期運動的具體響應情況,更無法得到系統(tǒng)準周期運動的各個響應頻率.Warminski 等[3]和Warminski[15]利用多尺度法分別分析了含有自激勵和參數(shù)激勵的兩個自由度時滯系統(tǒng),并利用數(shù)值法得到了兩個時滯系統(tǒng)的準周期運動響應和混沌.Veerman 和Verhulst[24]利用平均法分析了van der Pol-Mathieu 方程,并得到了由1 階和1/ε 階基礎周期構造而成的準周期運動響應,其中ε 是小量.上述的各種攝動法只能得到van der Pol-Mathieu 方程準周期運動近似解,有些方法得到的結果只能描述準周期運動的最大和最小振幅,特別是在鄰近分岔點處用攝動法得到的準周期運動解與數(shù)值解相差甚大,據(jù)作者所知,迄今為止尚未有有效的攝動法能精確地計算并得到此類van der Pol-Mathieu 方程的精確準周期運動解.

本文針對含有外激勵的van der Pol-Mathieu 方程進行研究,主要是發(fā)現(xiàn)了單自由度的van der Pol-Mathieu 方程準周期運動的頻譜含有均勻邊頻帶的新特性。此新特性與之前研究分析的多自由度非線性系統(tǒng)中內共振引起的準周期運動的頻譜特性[25-27]相類似,即都含有均勻的邊頻帶,不同之處在于多自由度非線性系統(tǒng)中的準周期運動是由于不同振動模態(tài)之間在內共振條件下相互作用產生的,而單自由度的van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動是由于自激振動與參數(shù)激振耦合產生的,僅是van der Pol 方程中的自激振動或僅是Mathieu 方程中的參數(shù)激振并不能產生準周期運動.根據(jù)此準周期運動頻譜含有均勻邊頻帶的特性,它包含了兩個基頻,一個是已知激勵頻率ω;另一個是事先未知的頻率ωd,即為邊頻帶中相鄰兩個頻率之間的距離,那么準周期運動中所有的頻率成份都可表示為這兩個基頻的線性組合.因此,本文利用傳統(tǒng)的增量諧波平衡法(IHB 法)分析單自由度含有外激勵的van der Pol-Mathieu 方程的周期響應,并推廣兩時間尺度的IHB 法,其中一個時間尺度是快時間尺度τ1=ωt;另外一個是慢時間尺度τ2=ωdt(ω ?ωd),應用于分析此van der Pol-Mathieu方程的準周期運動響應.

1 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期解及其穩(wěn)定性

對于含有外激勵van der Pol-Mathieu 方程,有3種激勵共同作用,即自激勵,參數(shù)激勵和外激勵,可描述為下列的微分方程

其中,x是因變量,t是時間,k1,k2和k3是常數(shù),是線性固有頻率,ω 是激勵頻率,f是外激勵幅度.方程(1)包含了自激勵,即van der Pol 項?(k1?k2x2)dx/dt;參數(shù)激勵,即Mathieu 項k3cos(2ωt)x和簡諧外激勵fcos ωt.對于此方程,首先利用傳統(tǒng)的IHB 法確定其周期解,然后利用Floquet 理論,并結合精細的Hsu 法判斷其周期解的穩(wěn)定性及分岔,最后得到了Saddlenode 和Hopf 這兩種分岔類型.

1.1 傳統(tǒng)的IHB 法

對于含外激勵的van der Pol-Mathieu 方程,可以利用傳統(tǒng)的IHB 法來確定其周期解.引入一個新的時間變量

方程(1)可變?yōu)?/p>

其中,′表示對時間τ 的導數(shù).

傳統(tǒng)的IHB 法包含兩個過程,增量過程和諧波平衡過程.增量過程即Newton-Raphson 迭代過程,是對微分方程(3)進行線性化.設x0,ω0,f0是方程(3)的解,則其鄰近點可表示為

式中,?x,?ω,?f為增量,將式(4)代入方程(3),并略去高階小量后可得到以?x,?ω,?f為未知量的增量方程

為不平衡力.如果x0,ω0,f0是方程(3)的準確解,那么R=0.

傳統(tǒng) IHB 法的第二個過程是諧波平衡過程(Galerkin 過程).因方程(1)是自激勵和參數(shù)激勵的系統(tǒng),包含了奇次非線性項,所以對于其周期解,可設

這里,ak和bk是傅里葉系數(shù),nc和ns分別是cosine和sine 諧波項的項數(shù)

對式(7)和式(8)進行微分,得

將式(7),式(8),式(12)和式(13)代入方程(5),并利用Galerkin 過程平衡諧波項,得

積分上式并整理歸并為以?A,?ω 和?f為未知量的代數(shù)方程組

這里,上標T表示為矩陣的轉置,KA是n×n的矩陣,和Rω是n×1 的矩陣,n=nc+ns.本文只考慮在某一固定外激勵幅值下的頻率響應曲線,那么f取固定值,?f=0,于是方程(15)成為

用傳統(tǒng)的IHB 法求解時,可事先給定一個初值,然后利用增量過程和諧波平衡過程追蹤出所有的解.在求解過程中,可采用振幅增量,頻率增量或弧長增量,具體可參見Cheung 等[28],陳樹輝[29]的研究結果.

1.2 周期解的穩(wěn)定性與分岔

利用傳統(tǒng)的IHB 法確定含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期解后,需要分析其穩(wěn)定性.設x0為已求得的解,給x0一個小的擾動?x

將式(21)代入方程(1),略去高階小量,并注意x0滿足方程(1),可得

方程(22)稱為擾動方程,即從已知的平衡位置擾動而得的方程.方程(22)的穩(wěn)定性特征可以用Floquet理論來分析.將方程(22)重新寫為狀態(tài)方程

由于x0是τ 的周期為T=2π 的函數(shù),所以Q21和Q22也是周期為T=2π 的函數(shù).

對于方程(23),存在著一組基礎解系

這一基礎解系可用矩陣來表示

可以看到,Y滿足矩陣方程

由于Q(τ+T)=Q(τ),Y(τ+T)也是基礎矩陣解,因此,它可表示為

式中,P為非奇異常數(shù)矩陣,稱為轉移矩陣.根據(jù)Floquet 理論,方程(23)的穩(wěn)定性準則與矩陣P的特征值λi有關.如果轉移矩陣P的所有特征值的模都小于1,則方程(23)的運動是有界的,因而此周期解是穩(wěn)定的;如果轉移矩陣P中至少有一個特征值的模大于1,則方程(23)的運動是無界的,此周期解也就不穩(wěn)定.

采用數(shù)值方法求解方程(30)的基礎解系,其中有效地計算轉移矩陣P是穩(wěn)定性分析的關鍵.Hsu[30-31]和Hsu 和Cheng[32]提出一個近似求解轉移矩陣P的有效方法,其主要思想是把一個周期等分為若干時間間段,在每一時間段上進行積分.Friedmann 等[33]給出了該方法的具體推導表達式.Huang等[34]在此基礎上,結合了精細積分算法[35],提出了精細的Hsu 法,有效地減小了計算轉移矩陣P的舍入誤差.

1.3 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程周期解的響應特性

在用傳統(tǒng)的IHB 求解過程中,取諧波項項數(shù)nc=ns=3,式(7)可寫為

圖1 所示為當k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01 時van der Pol-Mathieu 方程周期響應的頻率響應曲線ω-A1,高階的諧波項較小而沒有在此顯示,圖1(b)是圖1(a)中標示區(qū)域的放大圖,其中實線表示穩(wěn)定的周期解,虛線表示不穩(wěn)定的周期解,實圓點表示Saddle-node 分岔,實三角形點表示Hopf 分岔.圖1 中4 個臨近分岔點的響應點的Floquet 乘子如表1 所示.從表1 可以看出,在復平面上其中的一個Floquet 乘子從+1 方向穿出單位圓,導致了Saddlenode 分岔(S1和S2),從而出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象;而一對共軛的Floquet 乘子穿出單位圓,導致了Hopf 分岔(H1和H2),從而出現(xiàn)了準周期運動.

圖1 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程周期響應的頻率響應曲線,ω-A1其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01,(b)為(a)中標示區(qū)域的放大圖Fig.1 Frequency response curve ω-A1of periodic response of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01,(b)is an enlarged view of a zone highlighted in(a)

在含有外激勵van der Pol-Mathieu 方程中,由于非線性的影響,周期解的頻率響應曲線出現(xiàn)了多值性,從而出現(xiàn)了一些重要而且有趣的動力學現(xiàn)象,如圖1 所示的跳躍現(xiàn)象.假設外激勵幅值f不變而頻率ω 慢慢地變化,先考察向右掃頻的過程,周期解從分岔點H1出發(fā),當頻率ω 逐漸增大時,振幅A1開始變大,在ω=1.0 附近達到最大值,過了最大值后振幅A1變小到達分岔點S1,如果ω 繼續(xù)增大,則振幅A1突然從點S1跳躍到點P1(如圖1(a)所示),然后沿曲線逐漸變小,最后到達點H2.反之,考察向左掃頻的過程,周期解從分岔點H2出發(fā),當頻率ω 逐漸減小時,振幅A1開始變大,在ω=1.0 附近也達到最大值,過了最大值后振幅A1變小到達分岔點S2,如果ω 繼續(xù)減小,則振幅A1突然從點S2跳躍到點P2(如圖1(b)所示),然后沿曲線逐漸變小,最后到達點H1.

表1 頻率ω 在4 個分岔點S1,S2,H1和H2臨近點響應的Floquet 乘子λ1和λ2,其中=√Table 1 Floquet multipliers λ1and λ2for the frequency ω near the four bifurcation points S1,S2,H1,and H2,where=√

表1 頻率ω 在4 個分岔點S1,S2,H1和H2臨近點響應的Floquet 乘子λ1和λ2,其中=√Table 1 Floquet multipliers λ1and λ2for the frequency ω near the four bifurcation points S1,S2,H1,and H2,where=√

圖2 ω=1.0 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程含有3 個周期解,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01:(a)第一個穩(wěn)定周期解的時間歷程圖;(b)第二個穩(wěn)定周期解的時間歷程圖;(c)3 個不同周期解的相圖;(d)兩個穩(wěn)定周期解的頻譜圖Fig.2 Three different periodic solutions of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation for ω=1.0 with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01:(a)Time history of the first stable periodic response;(b)time history of the second stable periodic response;(c)phase plane portraits of the three solutions;(d)Fourier spectra of the two stable periodic response

在圖1 中從點S1到S2的區(qū)域,存在著兩個穩(wěn)定的周期解和一個不穩(wěn)定的周期解.圖2 所示為頻率ω=1.0 時van der Pol-Mathieu 方程含有3 個不同解的周期響應,其中圖2(a)和圖2(b)是兩個穩(wěn)定周期解的時間歷程圖,其中實線表示用Runge-Kutta(RK)數(shù)值法求得的解,圓圈表示用傳統(tǒng)的IHB 法得到的結果,可以看出,兩個方法得到的結果非常吻合;圖2(c)所示為3 個解的相圖,可以看出3 條都是封閉的曲線,進一步表明系統(tǒng)的響應為周期響應;圖2(d)所示為兩個穩(wěn)定周期解的頻譜圖,可以看出|A1| ?|A2| ?|A3|,系統(tǒng)的響應主要以第一階響應為主,其頻率是參數(shù)激勵頻率2ω 的一半,與外激勵頻率一樣,因此系統(tǒng)的響應為自激振動,1:2 參數(shù)激振和外激勵的聯(lián)合作用.

2 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動

對于含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期響應,其頻率成份之間是可約的,例如在本文中,系統(tǒng)的頻率成份為ω,3ω 和5ω.在上節(jié)分析得知,系統(tǒng)的周期解經Hopf 分岔后會產生準周期運動.對準周期運動來說,其頻率成份至少含有兩個或以上的不可約頻率.事實上,本文首次發(fā)現(xiàn)了van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動的新特性,即其頻率成份是由落在ω,3ω 和5ω 附近的邊頻帶組成,并且這些邊頻帶里的頻率是等相距的,即為均勻的邊頻帶.此準周期運動的新特性,正是由于van der Pol-Mathieu 方程中的自激振動和參數(shù)激振相互作用產生的.如若只考察van der Pol 方程中的自激振動或只考察Mathieu 方程的參數(shù)激振,并不會產生準周期運動.根據(jù)此準周期運動的新特性,其頻譜中含有兩個基頻,一個是已知的頻率ω,另一個可把它看作是均勻邊頻帶里相鄰頻率的距離ωd,且ωd事先是未知的,此時準周期運動中所有的頻率都可由這兩個基頻線性組合而成.根據(jù)此特性,發(fā)展了傳統(tǒng)的IHB 法,引入兩個時間尺度,使之適用于精確求解含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動,并且可以得到此準周期運動所有的頻率成份.

2.1 兩時間尺度的IHB 法

相較于傳統(tǒng)的IHB 法,兩時間尺度的IHB 法在求解含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動過程中有3 點改進之處,具體推導如下.

(1)第一點改進是引入兩個時間變量代替式(2)中針對于周期解的一個時間變量τ=ωt,如下那么x(t)是τ1和τ2的函數(shù),即x(t)=x(ωt,ωdt)=x(τ1,τ2).記

同樣,利用增量過程,對于第一步的兩時間尺度IHB法,設x0,ω0,ωd0,f0是方程(36)的解,則其鄰近點可表示為

將式(37)代入方程(36),并忽略高階小量,得到以?x,?ω,?ωd,?f為未知量的增量方程

(2)第二點改進是將x0展開為含有兩個時間變量τ1和τ2的二重傅里葉級數(shù)形式

式中,Nm是傅里葉級數(shù)中保留到最高階諧波項的項數(shù),和是諧波項系數(shù).在含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動中,發(fā)現(xiàn)了其頻譜的邊頻帶是集中在頻率ω 及其奇數(shù)倍頻上,即ω,3ω,5ω,···,而且邊頻帶內相鄰頻率之間的距離是相等的,也就是說,所有含外激勵van der Pol-Mathieu方程的準周期運動的頻率成份可表示為ω,ω±ωd,ω±2ωd,···,ω ±m(xù)1ωd,3ω,3ω ± ωd,3ω ± 2ωd,···,3ω ±m(xù)2ωd,···,(2nc?1)ω,(2nc?1)ω ± ωd,(2nc?1)ω ±2ωd,···,(2nc?1)ω±m(xù)ncωd,其中2m1+1,2m2+1,···,2mnc+1 是對應于ω,3ω,···,(2nc?1)ω 邊頻帶中諧波項的項數(shù).那么式(41)可表示為

2.2 準周期運動的頻率響應曲線

圖3 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程周期響應的頻率響應曲線ω-A1和準周期運動(QP)的頻率響應曲線ω-1,?1,ω-1,0和ω-1,1,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01,(b)為(a)中標示區(qū)域的放大圖Fig.3 Frequency response curves ω-A1of periodic response and ω-1,?1,ω-1,0,and ω-1,1of quasi-periodic(QP)motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01,(b)is an enlarged view of a zone highlighted in(a)

2.3 不同頻率ω 點的準周期運動

為了考察含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動特性,在圖3 中選取3 個不同頻率ω 點來分析,第一個點是ω=0.987 35,即在左側曲線上臨近于分岔點H1;第二個點是ω=0.985,即在左側比第一個點較遠離分岔點H1;第三個點是ω=1.02,即在右側曲線上的一點.圖4 至圖6 所示分別為在圖3 中上述3 個點的時間歷程圖,頻譜圖和龐加萊截面圖.表2 所示為利用兩時間尺度IHB 法求出在圖3 中3 個點ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和從表2 可以看出,在系統(tǒng)的準周期運動中,當頻率ω越遠離Hopf 分岔點時,均勻邊頻帶的頻率間的間距ωd越大.

圖4(a)所示為在分岔點H1附近頻率ω=0.987 35 時分別用四階的RK 數(shù)值法和用含有350個諧波項的兩時間尺度IHB 法計算得到的含外激勵van der Pol-Mathieu 方程準周期(QP)運動的時間歷程圖,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01.可以看出,準周期運動具有‘拍’ 現(xiàn)象,且有明顯的包絡線.圖4(b)是圖4(a)中標示區(qū)域的放大圖,可以看出不管是在振幅較大的區(qū)域,還是在如圖4(a)中振幅較小的區(qū)域,兩時間尺度IHB 法得到的結果與RK 法得到的結果完全一致.圖4(c)和圖4(d)是頻率ω=0.987 35 點上的準周期運動的頻譜圖,其中圖4(d)是在頻率ω 附近的頻譜放大圖.從圖4(c)可以看出,頻率成份主要集中在ω,3ω 和5ω 附近,且集中在ω 的幅值遠大于其他幅值;在圖4(d)上標示出在靠近ω 的5 個頻率及其幅值,可以得到相鄰頻率間的間距為ωd=8.846 28×10?4,最大的幅值在頻率為ω+ωd=0.988 24 上.

圖4 在分岔點H1附近頻率ω=0.987 35 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.4 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=0.987 35 near the bifurcation point H1

圖4 在分岔點H1附近頻率ω=0.987 35 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01(續(xù))Fig.4 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=0.987 35 near the bifurcation point H1(continued)

圖5 頻率ω=0.985 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.5 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the parametric excitation freqeuncy ω=0.985

圖6 頻率ω=1.020 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.6 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=1.020

表2 利用兩時間尺度IHB 法求出在圖3 中三個點ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和1,?1,1,0,1,1Table 2 A prior unknown ωdand three amplitudes 1,?1,1,0,and1,1in frequency response curves of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation that are calculated by the IHB method with two time-scales at the three points ω=0.987 35,0.985,1.02 in Fig.3

表2 利用兩時間尺度IHB 法求出在圖3 中三個點ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和1,?1,1,0,1,1Table 2 A prior unknown ωdand three amplitudes 1,?1,1,0,and1,1in frequency response curves of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation that are calculated by the IHB method with two time-scales at the three points ω=0.987 35,0.985,1.02 in Fig.3

圖4(e)是取不同的諧波項的兩時間尺度IHB 法和采用RK 法得到的頻率ω=0.987 35 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程準周期運動的龐加萊截面圖.圖中所示為RK 法得到的和取不同諧波項的兩時間IHB 法得到的龐加萊截面圖,可以看出隨著m1越大,其結果是收斂的,且越接近于RK 法的結果;當取到m1=70,m2=15,m3=1 時(即諧波總項數(shù)?n=350),兩時間尺度IHB 法得到的結果與RK 法得到的結果相吻合,這也說明了含外激勵van der Pol-Mathieu 方程在頻率ω=0.987 35 點上的準周期運動至少含有175 個頻率.表3 所示為用RK 法和取不同諧波項項數(shù)的兩時間尺度IHB 法得到在ω=0.987 35 處的Amax和Amin的對比,其中Amax和Amin分別是準周期運動包絡線幅值的最大值和最小值.從表3 可以看出,隨著諧波項項數(shù)的增加,兩時間尺度IHB 的結果越接近于RK 法的結果,進一步說明了在某些頻率點上,兩時間尺度IHB 法需要取足夠的諧波項項數(shù),才能得到精確的結果.

表3 用RK 法和取不同諧波項項數(shù)的兩時間尺度IHB 法得到在ω=0.987 35 處的Amax和Amin的對比,其中Amax和Amin分別是準周期運動包絡線幅值的最大值和最小值Table 3 Comparison of Amaxand Aminfrom the RK method and the IHB method with two time-scales with different harmonic terms at the point ω=0.987 35,where Amaxand Aminare the maximal and minimal value of envelops of the quasi-periodic motions,respectively

圖5 和圖6 分別是在另外兩個點ω=0.985和ω=1.02 上的準周期運動響應情況,得到與點ω=0.987 35 上相似的準周期運動特征,其中利用兩時間尺度IHB 法得到的結果所用到的諧波項項數(shù)為=70(m1=10,m2=5,m3=1).圖5(a)和圖6(a)的左部分是在[0,2000]緊縮時間尺度上的時間歷程圖,具有明顯的包絡線,右部分是在[2960,3000]擴張時間尺度上的時間歷程圖,從圖中可以看出兩時間尺度IHB 法得到的結果與RK 法得到的結果完全一致.

觀測在不同頻率ω 點的準周期運動,可以得到一些有趣的動力學現(xiàn)象.比較3 個點準周期運動的時間歷程圖4(a),圖5(a)和圖6(a)可以得知,準周期運動的包絡線似乎都有‘周期’,且其‘周期’長度恰似為2πω/ωd,即分別為7012.78,758.17 和414.27,說明越接近分岔點的準周期運動的包絡線的‘周期’長度越長;比較3 個點準周期運動的頻譜圖4(c),圖5(b)和圖6(b)可以得知,越遠離分岔點的準周期運動的邊頻帶的帶寬越寬且其頻率分布越稀疏,此原因是由于邊頻帶相鄰頻率間的間距變大;比較3 個點準周期運動的龐加萊截面圖4(e),圖5(d)和圖6(d)可以得知,利用兩時間尺度IHB 法需要不同的諧波項項數(shù)以滿足計算的精度,如在頻率ω=0.987 35 點上需要350 個諧波項,而在其他兩個點上只需70 個諧波項,表明了在不同點上的準周期運動含有不同的頻率數(shù).

3 結論

本文基于含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的非線性系統(tǒng),針對系統(tǒng)在自激勵,參數(shù)激勵和外激勵3種激勵共同作用下,利用傳統(tǒng)的IHB 法和兩時間尺度IHB 法分別分析了系統(tǒng)的周期響應和準周期運動響應,得到的結果與數(shù)值RK 法得到的結果完全吻合,并得到以下結論.

(1)在含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期響應中含有兩種類型的分岔,Saddle-node 分岔和Hopf 分岔.Saddle-node 分岔會導致跳躍現(xiàn)象,即系統(tǒng)響應從一個穩(wěn)態(tài)的周期響應跳躍到另一個穩(wěn)態(tài)的周期響應;Hopf 分岔會導致準周期運動,即系統(tǒng)響應從周期響應變化到準周期運動響應.另外,在兩個周期解的Saddle-node 分岔點區(qū)域間含有兩個穩(wěn)定的周期解.

(2)含外激勵van der Pol-Mathieu 方程中,由于自激振動和參數(shù)激振聯(lián)合作用下,會產生準周期運動響應,并發(fā)現(xiàn)其新特性.在準周期運動的頻譜中，頻率ω,3ω,5ω 附近含有邊頻帶,且邊頻帶是均勻的，即邊頻帶中相鄰頻率的間距ωd是一樣的；在準周期運動的時間歷程圖中，準周期的包絡線也有‘周期’,其‘周期’為2πω/ωd.

(3)在不同點上的準周期運動響應有不同的動力學特征.越靠近Hopf 分岔點的準周期運動響應,其邊頻帶的帶寬越小,且其頻率分布越密集,同時其包絡線的‘周期’越長.另外,在不同點上的準周期運動響應所含的頻率數(shù)目也不同.

此外,針對準周期運動響應含有大量的頻率成份,如何有效提高兩時間尺度IHB 法的計算效率將是進一步的研究工作.