周洪娟 金濤 陳鋮

[摘 要]電磁場邊值問題的求解是電磁理論教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。課題組以簡單的靜態(tài)二維電場邊值問題為例，同時(shí)采用解析法和數(shù)值法求解，基于Matlab仿真平臺編程實(shí)現(xiàn)，從解析法和數(shù)值法的結(jié)論互相呼應(yīng)的角度來逐層次地設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生對電磁場邊值問題求解方法、抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)論以及唯一性定理產(chǎn)生感性認(rèn)識。

[關(guān)鍵詞]電磁場邊值問題;唯一性定理;解析法;數(shù)值法

[中圖分類號] O411.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）02-0004-04

“電磁場理論”或“電磁場與電磁波”是工科院校電子信息、無線電技術(shù)類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其涉及的矢量微積分公式繁多、概念抽象，需要學(xué)生具備較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)，學(xué)生普遍反映難度大。“電磁場理論”這門課的教學(xué)雖然要側(cè)重電磁場、電磁波的基礎(chǔ)理論，但也要注重與工程實(shí)踐的結(jié)合，為工科院校的學(xué)生在相關(guān)課程以及方向的學(xué)習(xí)研究提供較為直接的理論指導(dǎo)。這其中，電磁場邊值問題的求解就是聯(lián)系電磁場麥克斯韋方程等基礎(chǔ)理論與各種復(fù)雜工程實(shí)踐，如天線設(shè)計(jì)、電磁干擾與電磁兼容以及雷達(dá)散射截面積等相關(guān)應(yīng)用的橋梁[1-7]，但由于其涉及數(shù)理方程等復(fù)雜數(shù)學(xué)理論，使之成為本科教學(xué)中的難點(diǎn)。

電磁場邊值問題指的是滿足特定偏微分方程和邊值條件的數(shù)理方程，靜態(tài)電、磁場的邊值問題的求解是指滿足泊松方程或拉普拉斯方程和指定邊值條件的數(shù)理方程的求解。電磁場邊值問題的求解方法主要分為解析法和數(shù)值法兩大類。解析法是指能從電磁理論出發(fā)通過公式推導(dǎo)可直接得到所求解問題的精確表達(dá)式的方法，該類方法通常只適合一些邊界形狀簡單的特殊邊值問題的求解，如邊界形狀為規(guī)則的平面狀、球狀或圓柱狀。數(shù)值法是將求解區(qū)域劃分成離散的網(wǎng)格、待求解的連續(xù)變量離散成求解區(qū)域中一系列離散點(diǎn)處的求解的一系列方法，常見的有限差分法[8-10]、有限元法[11]和矩量法[11]。由于該類方法可靈活處理各種復(fù)雜的邊界問題，在實(shí)踐工程計(jì)算中被廣泛采用?，F(xiàn)階段本科教學(xué)中，一般只強(qiáng)調(diào)一些特殊邊值問題的解析求法，如分離變量法和鏡像法，而由于授課學(xué)時(shí)等的限制，對更通用的數(shù)值法講解不透，甚至一帶而過，這樣就難以達(dá)到服務(wù)于工程實(shí)踐的真實(shí)目的。

本文以二維靜電場邊值問題的求解為例，設(shè)計(jì)結(jié)合解析法和有限差分?jǐn)?shù)值法的自我驗(yàn)證式實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生對邊值問題求解方法和對邊值問題求解的唯一性定理的理解。

一、待求解的邊值問題及其解析解

待求解的二維靜電場邊值問題如式（1）所示，滿足第一類邊值條件，求解區(qū)域內(nèi)面電荷密度為ρ，x軸和y軸的長度分別為a和b，U0為一個(gè)常數(shù)，求解區(qū)域內(nèi)的電位滿足的偏微分方程和邊值條件寫成：

根據(jù)靜態(tài)電磁場問題的唯一性定理，只要求出的位函數(shù)滿足相應(yīng)的泊松方程或拉普拉斯方程，又滿足給定的邊界條件，則此位函數(shù)就是所求的唯一正確解。該邊值問題可以由疊加法分解成兩個(gè)邊值問題，如式（2）和（3）所示，則有φ=φ1+φ2。

對邊值問題（3），電位滿足泊松方程，可以采用級數(shù)展開法求解[12]?？紤]四個(gè)齊次邊界條件，令解為二重正弦級數(shù)，即

將式（5）帶入泊松方程，并由三角函數(shù)的正交性，可得系數(shù)表達(dá)式為：

至此，邊值問題（1）的解析表達(dá)式推導(dǎo)完畢。以上求解在唯一性定理的統(tǒng)一框架下，采用分離變量法、疊加法和級數(shù)展開法聯(lián)合求解，系數(shù)求解中需要用到三角函數(shù)的正交性原理，推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，公式繁多，導(dǎo)致學(xué)生的接受難度大，因此電磁場邊值問題的求解歷來是本科教學(xué)中的難點(diǎn)。

二、數(shù)值法原理

本次實(shí)驗(yàn)采用有限差分法求解，該方法代碼實(shí)現(xiàn)較為簡單，比較適合本科階段的學(xué)生自行編寫代碼實(shí)現(xiàn)，既可以體會數(shù)值計(jì)算方法的精要，在實(shí)現(xiàn)上又不占用太多的精力。另外，其求解聯(lián)立方程的不同解法也可以體現(xiàn)數(shù)值計(jì)算中保證計(jì)算精度的同時(shí)加快收斂速度的需求，讓學(xué)生對數(shù)值求解方法有一個(gè)比較全面的認(rèn)識。

首先將求解區(qū)域劃分成正方形網(wǎng)格，下標(biāo)i和j分別代表節(jié)點(diǎn)的x向和y向的序號，網(wǎng)格長度為h，則泊松方程的差分方程如式（7）所示[9]。

若求解區(qū)域劃分的節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，則得到N個(gè)聯(lián)立方程組，進(jìn)一步考慮已知邊界條件，主要的求解方法包括矩陣求逆、高斯消元和迭代法。迭代法是先對每個(gè)待求節(jié)點(diǎn)賦初值，按照一定順序和公式（7）逐步更新每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位，直至每個(gè)節(jié)點(diǎn)前后更新值誤差在給定的精度范圍內(nèi)。由于迭代法更適合求解大規(guī)模邊值問題，更具有通用性，同時(shí)實(shí)現(xiàn)簡單，因此本次實(shí)驗(yàn)采用迭代法求解。迭代法分簡單迭代法和超松弛迭代法兩種，簡單迭代法的更新公式如式（8）所示，即直接根據(jù)泊松方程的差分方程（7）用上一次迭代的值來更新本次迭代的值：

其中，上標(biāo)n和n+1代表迭代次數(shù)的序號。若更新順序?yàn)閺淖蟮接?、從下到上，由于簡單迭代法中每次更新時(shí)，左邊和下邊的節(jié)點(diǎn)已經(jīng)更新過，為提高收斂速度引入了超松弛迭代法。超松弛迭代法通過引入超松弛因子α（1<α<2），充分利用已經(jīng)得到的新值，在得到每點(diǎn)新值時(shí)立即把舊值沖掉，以提高迭代效率。設(shè)每次迭代時(shí)，節(jié)點(diǎn)更新順序?yàn)閺淖蟮接摇南露?，則更新公式如式（9）和（10）所示。

當(dāng)α=1時(shí)[φ（n+1）i，j=φ（n+1）i，j]，此時(shí)稱為松弛迭代。超松弛因子α的大小決定著收斂速度，迭代次數(shù)最小的超松弛因子稱為最優(yōu)超松弛因子。若計(jì)算區(qū)域?yàn)殚L方形，設(shè)劃分成正方形網(wǎng)格時(shí)兩邊的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為Nx和Ny，則最優(yōu)松弛因子αopt的經(jīng)驗(yàn)值如式（11）和（12）所示[12]。

三、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本次實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生自行編寫代碼來實(shí)現(xiàn)解析結(jié)論分析、數(shù)值法求解等。MATALB提供了一種高效的基于矩陣運(yùn)算的仿真環(huán)境，具有豐富的函數(shù)庫和畫圖功能，代碼編寫簡單，在理論研究中被廣泛采用。本次實(shí)驗(yàn)基于MATLAB平臺進(jìn)行有限差分代碼編寫及后期數(shù)據(jù)的畫圖分析，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)從學(xué)生可以自我驗(yàn)證計(jì)算結(jié)論的角度出發(fā)，實(shí)驗(yàn)過程及要求設(shè)計(jì)如下所示：

1.基于公式（4）（5）（6）分析基于疊加法、分離變量法和級數(shù)展開法的解析解;

2.利用簡單迭代有限差分法求解，采用不同的網(wǎng)格尺寸，數(shù)值解與解析法結(jié)論對比，分析求解結(jié)果的精確度;

3.利用超松弛迭代法求解，確定不同網(wǎng)格尺寸下收斂速度最快的最優(yōu)值松弛因子，并與公式（11）（12）經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行對比。

本次實(shí)驗(yàn)是以邊值問題（1）的求解為例展開的，可以根據(jù)實(shí)際問題需要調(diào)整待求解的邊值問題。通過調(diào)整網(wǎng)格尺寸，讓學(xué)生體會數(shù)值計(jì)算中網(wǎng)格離散度對計(jì)算結(jié)論的精確度的影響，以及對計(jì)算資源方面的要求;超松弛因子的求解又讓學(xué)生體會到數(shù)值計(jì)算中保證求解精度提高收斂速度方面的切實(shí)要求。同時(shí)，該實(shí)驗(yàn)無論從采用疊加法的解析求解過程，還是解析解與數(shù)值解呼應(yīng)的驗(yàn)證過程，都遵循著電磁場邊值問題求解的唯一性定理，即同一邊值問題可以采用不同的方法求解，但所得的解必須滿足指定的偏微分方程和邊值條件。唯一性定理在本科課堂教學(xué)中通常只是一掠而過，學(xué)生難以體會其在電磁場邊值問題求解中的重要地位，通過該實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生深刻理解唯一性定理的意義和重要性，真正起到了實(shí)驗(yàn)輔助教學(xué)的目的。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

設(shè)求解區(qū)域尺寸a=10 m，b=8 m，U0=100 V，電荷面密度ρ=10x（y-1）/ε0 pC/m2;數(shù)值計(jì)算中采用三種網(wǎng)格尺寸h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m，要求兩次迭代差值最大為10-10 V，以下為對應(yīng)的分析結(jié)論。圖1中的（a）（b）（c）（d）分別為解析法，網(wǎng)格尺寸h=1 m、h=0.5 m和h=0.1 m的有限差分法得到的整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)的電位分布彩圖，其中有限差分法采用簡單迭代法。圖2中的（a）和（b）分別為沿著y=1 m和y=5 m兩條線上三種網(wǎng)格尺寸下得到的數(shù)值解相對于解析解的相對誤差?？梢婋S著網(wǎng)格尺寸降低，數(shù)值解逐漸趨近于解析解，表明網(wǎng)格分得越細(xì)計(jì)算精確度越高，同時(shí)也證明了在嚴(yán)格一致的邊界條件和偏微分方程下，同一邊值問題多種解法的結(jié)論是趨于一致的，即解的唯一正確性。

圖1中的（b）（c）（d）的迭代次數(shù)分別為393、1508和32771，可見求解精度的提高是以計(jì)算時(shí)長為代價(jià)的，這對所有的數(shù)值計(jì)算方法都是不可回避的事實(shí)，因此需要在保證求解精度的同時(shí)盡量提高收斂速度，降級計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算效率。本實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步采用超松弛迭代法加速收斂速度，設(shè)要求的求解精度與簡單迭代法相同。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，超松弛迭代法在保證計(jì)算結(jié)論精確度的前提下，可以得到更快的收斂速度，且收斂速度與松弛因子有關(guān)。圖3中的（a）（b）（c）為三種網(wǎng)格尺寸h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m下不同松弛因子對應(yīng)的迭代次數(shù)，在具體實(shí)驗(yàn)中，首先采用0.1間隔來遍歷搜索，得到最小迭代次數(shù)分別為45、90和913，對應(yīng)的松弛因子分別為1.5、1.7和1.9。由式（11）（12）可得h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m三種網(wǎng)格尺寸下的最優(yōu)松弛因子經(jīng)驗(yàn)值分別為1.484、1.699和1.931，仿真結(jié)論與經(jīng)驗(yàn)值基本吻合。若要得到分辨率更高的αopt數(shù)值，可以進(jìn)一步在最小值附近進(jìn)行細(xì)搜索，如圖3中的（c）中所示，得到最優(yōu)松弛因子αopt=1.94，迭代次數(shù)為478。還有需要說明的是α=1.93時(shí)，迭代次數(shù)為482，兩者相差很小，說明經(jīng)驗(yàn)公式是非?？尚诺?。還有需要說明的是，在松弛因子αopt=1時(shí)，h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m三種網(wǎng)格尺寸下的迭代次數(shù)分別為16947、779和204，相對于簡單迭代法的收斂速度已經(jīng)有很大改進(jìn)。

最終簡單迭代法和最優(yōu)超松弛迭代的迭代次數(shù)對比如表1所示，其中的比值代表采用超松弛迭代法的最小迭代次數(shù)與簡單迭代法的迭代次數(shù)的比值?？梢姡ㄟ^調(diào)整超松弛因子，在保證計(jì)算精度的前提下，可以極大地提高計(jì)算效率，并且節(jié)點(diǎn)數(shù)越多改善效果越明顯，這對大型的邊值問題的數(shù)值求解具有非常重要的意義。

五、結(jié)束語

電磁場邊值問題的求解由于涉及的數(shù)學(xué)公式繁雜，方法多樣化，歷來是電磁場與電磁波本科教學(xué)中的難點(diǎn)。本文以一個(gè)二維靜電場邊值問題的求解為例，首先基于疊加法、分離變量法和級數(shù)展開法推導(dǎo)其解析解;然后進(jìn)一步采用有限差分法進(jìn)行數(shù)值求解，討論了離散網(wǎng)格大小對數(shù)值計(jì)算精度的影響，并采用超松弛迭代法，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)值算法中改善計(jì)算效率的問題。本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的每一步結(jié)論都有參考結(jié)論，學(xué)生可以自我驗(yàn)證;基于MATLAB的算法代碼比較簡單，學(xué)生通過自己動(dòng)手編寫代碼，加深了對算法的理解。該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)同時(shí)從解析法和數(shù)值法多個(gè)角度加深了學(xué)生對抽象的唯一性定理的理解及其在電磁場邊值問題求解中的重要地位，幫助學(xué)生理解電磁場的數(shù)值計(jì)算方法，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對電磁場理論中的基本方程、邊界條件及各類二階偏微分方程的活學(xué)活用。

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[責(zé)任編輯：鐘 嵐]