金鐘植

(廣州市白云中學(xué) 510108)

1 引言

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(文中簡稱為“新課程標(biāo)準(zhǔn)”)頒布以來，歷經(jīng)各種培訓(xùn)和自我學(xué)習(xí)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中的“立德樹人”、“三會(huì)”、“四基”、“四能”和“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”方面都有一定的認(rèn)識和理解，但大部分老師僅限于理解新課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)中的頂層設(shè)計(jì)，并不清楚在日常教學(xué)實(shí)踐中的抓手是什么.新課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程目標(biāo)可以概括為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)四基與四能三會(huì)立德樹人.很多專家認(rèn)同的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的抓手！但這種說法還是過于抽象，在課堂中如何落實(shí)方面還需要更加具體的表述.雖然很多專家在新課程、新教材培訓(xùn)中也給出了一些案例，但在教學(xué)中的一些處理上還需更加具體化.因?yàn)樾抡n程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)的途徑是以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為主線，所以筆者認(rèn)為落實(shí)到位的關(guān)鍵還是要把“抓手”更加具體化，具體化的途徑就是注重提高數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)，再具體說就是注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué).

筆者從大學(xué)時(shí)期開始到現(xiàn)在歷經(jīng)三十多年，一直關(guān)注數(shù)學(xué)教育界對“數(shù)學(xué)通性通法”認(rèn)知和認(rèn)同的過程，也一直注重其教學(xué)和研究.但從各個(gè)角度去觀察和研究中發(fā)現(xiàn)，目前高中數(shù)學(xué)教育界對“數(shù)學(xué)通性通法”認(rèn)知水平還遠(yuǎn)沒有達(dá)到落實(shí)新課程理念的標(biāo)準(zhǔn).筆者的觀點(diǎn)也許是片面的，但如果在歷經(jīng)三十多年的教學(xué)中有意識地直接或間接地觀察全國各地對有關(guān)問題的研究成果、專家們講座中的觀點(diǎn)、聽一千多節(jié)數(shù)學(xué)課堂中的感悟及課后對學(xué)生的調(diào)研，綜合起來思考，還是具有普遍性的.近期筆者在很多場合或撰文中提到過部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對“數(shù)學(xué)通性通法”的錯(cuò)誤的認(rèn)識，即認(rèn)為注重“數(shù)學(xué)通性通法”是一種陳舊的教學(xué)觀點(diǎn).這種錯(cuò)誤的認(rèn)識來自他們對課程核心目標(biāo)的理解上存在缺陷.我們應(yīng)該清楚，新課程標(biāo)準(zhǔn)是從上世紀(jì)八十年代《全日制普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》到九十年代對大綱的重新修訂再到本世紀(jì)初的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的繼承和發(fā)展的結(jié)果.在歷經(jīng)四十年的繼承和發(fā)展過程中，高中數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)一直沒有改變！因?yàn)樵谶@種轉(zhuǎn)變過程中，始終把“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”為課程的核心目標(biāo).筆者在前三十年的一線教學(xué)中，一直堅(jiān)持研究一項(xiàng)校本教研課題“培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力之通性通法研究”.下面筆者從這項(xiàng)研究過程中的經(jīng)歷和思考，對“數(shù)學(xué)通性通法”的研究進(jìn)行綜述，在此基礎(chǔ)上再談?wù)勛⒅亍皵?shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義.

2 數(shù)學(xué)教育界對“數(shù)學(xué)通性通法”的研究綜述

改革開放以后，從上世紀(jì)八十年代到目前為止，歷經(jīng)四十年的時(shí)間，國內(nèi)數(shù)學(xué)教育界對“數(shù)學(xué)通性通法”的研究經(jīng)歷了四個(gè)階段：八十年代初步形成“認(rèn)識期”，九十年代進(jìn)入“爭論和認(rèn)同期”，零零年代進(jìn)入“微觀、中觀層面的研究期”及一零年代進(jìn)入“比較全面的研究期”.下面針對這四個(gè)時(shí)期的研究情況及四十年中發(fā)文數(shù)量分析，簡略地進(jìn)行研究綜述.

2.1 八十年代初步形成“認(rèn)識期”

八十年代數(shù)學(xué)教育界開始意識到數(shù)學(xué)教學(xué)中注重“數(shù)學(xué)通性通法”的重要性，追其根源是基于兩點(diǎn)：首先是隨著國內(nèi)數(shù)學(xué)教育理論的逐步完善，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力方面的理論成果不斷豐富，在此領(lǐng)域內(nèi)的研究中自然會(huì)提及“數(shù)學(xué)通性通法”.典型的實(shí)例就是當(dāng)時(shí)北京師范大學(xué)的曹才翰先生所指導(dǎo)的任子朝的碩士論文題目為“論數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)”，而且當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)教育的專家學(xué)者們都提倡“注重通性通法，淡化特技”；其次是部分一線教師在教學(xué)實(shí)踐中思考如何教學(xué)才能更加有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.其中典型的實(shí)例就是如下的截圖：

從中國知網(wǎng)中輸入“主題”為“通法”后搜索出來的八十年代七篇論文中四篇來自一線教師，兩篇來自教研員，一篇來自大學(xué)教師.

當(dāng)時(shí)因?yàn)閿?shù)學(xué)教育研究方面的歷史局限性，在有關(guān)的研究成果中更多的是以具體的解題例子來說明某類問題的解題通法為主，即微觀層面的局部研究為主.但即便是成果和認(rèn)識方面還僅僅是起步階段，有這種意識已經(jīng)對后期的發(fā)展起到了奠基性的作用.

2.2 九十年代進(jìn)入“爭論和認(rèn)同期”

九十年代，兩種中學(xué)數(shù)學(xué)教育類核心期刊《數(shù)學(xué)通報(bào)》和《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》刊登了4篇“通法”文章.1992年江西南昌的曾家鵬先生的文章“提倡運(yùn)用通法，建議淡化特技”(《數(shù)學(xué)通報(bào)》第八期)，當(dāng)時(shí)引起了中學(xué)數(shù)學(xué)教育界廣泛的認(rèn)同，但也引起了不少的爭論.爭論點(diǎn)主要在于“通法”的界定問題，而且這篇文章主要圍繞著個(gè)別例題的解法角度談自身的觀點(diǎn)而已，并沒有對“通法”屬性的研究成果.針對曾先生的觀點(diǎn)中存在的一些問題，1995年北京師范大學(xué)的王敬庚教授在《數(shù)學(xué)通報(bào)》第五期上發(fā)表了一篇題為“關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)通法的思考”的文章，文中第一次提到了通法的“相對性”.這種提法對當(dāng)時(shí)這個(gè)領(lǐng)域的研究起到了非常重要的作用，但問題是僅僅談了通法的局部屬性.1997年湖北武漢的甘大旺先生在《數(shù)學(xué)通報(bào)》第二期上發(fā)表一篇題為“通法與特技的相對性及啟示”的文章，文中更加系統(tǒng)地歸納和總結(jié)了通法與特技的相對性以及給我們的啟示，但美中不足的是對“通法的相對性”方面還是存在著缺陷.這三篇文章對筆者研究“數(shù)學(xué)通性通法”給予了很大的幫助，但同時(shí)使筆者認(rèn)識到，對這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的研究來說，研究“通法的屬性”非常重要.經(jīng)過不斷學(xué)習(xí)和研究，筆者在1998年《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》第十一期上發(fā)表一篇題為“通法特點(diǎn)的研究及啟示”的文章.文中歸納出通法的六個(gè)特點(diǎn)：概括性、隱蔽性、發(fā)展性、相對性、多樣性和層次性.其中的“相對性”中，除了“通法與特技的相對性”外，還提到了“通法的相對局限性”，即“由題目結(jié)構(gòu)的相對局限性導(dǎo)致通法的相對局限性、主體數(shù)學(xué)能力的相對局限性導(dǎo)致通法的相對局限性和知識的相對局限性導(dǎo)致了通法的相對局限性”.

這個(gè)時(shí)期，中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域已經(jīng)初步形成“中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)”學(xué)科，專家教授們基本認(rèn)同“數(shù)學(xué)通性通法”的重要性，并在一些文章和專著中發(fā)表有關(guān)論點(diǎn).針對《高考考試說明》，任子朝提到：高考堅(jiān)持考查基本數(shù)學(xué)方法，題目不追求特殊技巧，而是考查學(xué)生必須掌握的通性通法(1)任子朝. 貫徹《考試說明》要求,努力做到“兩個(gè)有利”——談1991年高考數(shù)學(xué)試題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1992(2)：21—24,29.曹才翰、章建躍合著的《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中，對數(shù)學(xué)思想和方法的四個(gè)層次中，把“通法”放在第二個(gè)層次上(2)曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，2006:187-188.

2.3 零零年代進(jìn)入“微觀、中觀層面的研究期”

因?yàn)橛辛饲岸甑难芯考皩?shí)踐基礎(chǔ)，進(jìn)入新世紀(jì)的前十年，廣大的一線教師在微觀和中觀層面上開始進(jìn)行實(shí)踐和研究，其研究成果是值得肯定的，因?yàn)樵诮虒W(xué)實(shí)踐中，太多的通性通法問題還是屬于碎片化的狀態(tài)，需要不斷完善、歸納和總結(jié).微觀層面的研究指的是在某類具體問題的解法中的通性通法，比如：數(shù)列求和法(公式法、分組求合法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法等).中觀層面涵蓋兩個(gè)方面：第一個(gè)方面是從思維層次的角度，比如：代入法、消元法、換元法、配方法、三角法、割補(bǔ)法、坐標(biāo)法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法等.第二個(gè)方面是從知識塊的角度，比如：數(shù)列求和的通法從中觀角度看，本質(zhì)就是“消項(xiàng)”.

零零年代是我們國家開始進(jìn)行新課改的十年，隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的課程改革，學(xué)科教育研究方面也進(jìn)入了新的時(shí)代，已經(jīng)形成了“中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)”學(xué)科.雖然“數(shù)學(xué)通性通法”的頂層設(shè)計(jì)進(jìn)一步完善，但在教學(xué)一線有一種現(xiàn)象是值得反思的，即過分強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)思想和方法”的教學(xué)，導(dǎo)致有些教師誤以為“數(shù)學(xué)思想和方法”統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)的一切，豈不知沒有“數(shù)學(xué)通性通法”的基礎(chǔ)，哪來的“數(shù)學(xué)思想和方法”？在當(dāng)時(shí)的一線教學(xué)中，甚至有些學(xué)校老師公開課的課題為“數(shù)學(xué)思想和方法”，而課后答辯中感受到這位老師連起碼的通法都沒有系統(tǒng)掌握，其實(shí)通法的宏觀層面就是數(shù)學(xué)思想和方法.針對這種情況，筆者于2001年(之前一直是自主研究)開始組建了所在學(xué)校數(shù)學(xué)教研組老師為主，社會(huì)上的部分老師為輔的一個(gè)校本教研課題研究團(tuán)隊(duì)，研究課題為“培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力之通性通法研究”.經(jīng)過幾年的教學(xué)實(shí)踐中的思考和研究，開始從微觀層面上取得成果之際，《高中數(shù)理化》雜志社于2006年聘筆者為特約編委，并在2007年雜志擴(kuò)版為高一版、高二版和高三版時(shí)，征求有關(guān)辦刊欄目，筆者建議增加“通法研究”欄目.2007年開始，我們這個(gè)研究團(tuán)隊(duì)給這個(gè)欄目貢獻(xiàn)十五篇論文，并受到社會(huì)各界的充分肯定.下面截圖是當(dāng)年高二版第五期上刊登的讀者與雜志社的來往書信(3)本刊編輯部.編讀往來[J].高中數(shù)理化(高二版)，2007(5)：2.：

一點(diǎn)建議

編輯老師，您好.讀完今年前4期的《高中數(shù)理化》，我和我的學(xué)生都深受教益.在此向?yàn)榇烁冻銎D辛努力的編輯老師們道一聲辛苦了．每次拿到雜志，我們首先看的是《題根研究》和《通法研究》2個(gè)欄目，這2個(gè)欄目的文章尤其精彩，對我們教和學(xué)有極大的幫助，省了很多無用功.只是每期只能看到一部分，讓我們等得好辛苦!建議能否把這2個(gè)欄目的文章匯集在一起，出一個(gè)單行本，讓我們一睹為快、一飽跟福呢？

——四川省南克市二中 劉偉民

有待我們共同努力

劉老師您好，感謝您對我刊的厚愛.《題根研究》和《通法研究》這2個(gè)欄目都是我刊2007年新開辟的欄目，帶有實(shí)驗(yàn)色彩.為了保證這些欄目的含金量和指導(dǎo)性，從2006年上半年起，我們組織了近百位特、高級教師進(jìn)行了相關(guān)課題研究.現(xiàn)在陸續(xù)刊發(fā)的一些文章就是課題研究中相對成熟一些的成果.這些研究的原創(chuàng)性和開拓性，使其成為一項(xiàng)大規(guī)模的工程，有待各位一線老師的參與和合作.希望您也能參與到我們的項(xiàng)目研究中，一同來完成這項(xiàng)把學(xué)生從題海中拯救出來的偉大使命!

——本刊編輯部

經(jīng)過一年“通法研究”欄目的運(yùn)行(稿件除了課題組的成果，也陸續(xù)發(fā)表了來自全國各地一線教師的優(yōu)秀成果)，使筆者深感到責(zé)任重大，同時(shí)也體會(huì)到廣大一線教師需要更加注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)，所以在雜志社的要求下，于2008年第二期的三個(gè)版中發(fā)表了一篇題為“談?wù)剬νǚǖ恼J(rèn)識和理解”的論文，此文轉(zhuǎn)載于人大報(bào)刊復(fù)印中心的刊物《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》的第八期上.筆者指導(dǎo)的東北師范大學(xué)的全日制研究生齊威娜于2008年完成碩士論文“對中學(xué)數(shù)學(xué)解題通法的研究”，課題組成員樸今子老師于2009年在東北師范大學(xué)李清老師的指導(dǎo)下完成在職碩士論文“高中數(shù)學(xué)通法的研究與啟示”.

2.4 一零年代進(jìn)入“比較全面的研究期”

經(jīng)歷前三十年，“數(shù)學(xué)通性通法”的研究開始進(jìn)入比較成熟的發(fā)展時(shí)期. 除了數(shù)量極大的微觀、中觀的研究成果，期間的成果主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先從宏觀的角度，對“數(shù)學(xué)通性通法”的概念進(jìn)行界定，其次是有一批的數(shù)學(xué)教育研究方向的碩士論文的主題為“數(shù)學(xué)通性通法研究”.

自2011年章建躍先生在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表題為“注重通性通法的教學(xué)是好的數(shù)學(xué)教學(xué)”，數(shù)學(xué)教育界開始研究“數(shù)學(xué)通性通法”的概念界定.這就是從“用什么”到“是什么”的轉(zhuǎn)變，也就是研究其本質(zhì)是什么.章老師認(rèn)為：“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”就是概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法(4)章建躍.注重通性通法才是好的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011(11)：50..有關(guān)概念界定方面比較優(yōu)秀的文章還有江蘇的王明山、邰日昶兩位老師于2015年7月在《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》發(fā)表的文章“高中數(shù)學(xué)通性通法界定探究”.這篇文章列舉了部分專家對這個(gè)概念內(nèi)涵的界定，并指出作者對其內(nèi)涵的界定為：師生熟知、核心可廣泛應(yīng)用、明確的知識結(jié)論稱通性；在知識結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定的時(shí)期內(nèi)，由通性自然得到的，能解決一類問題的普通方法稱通法.更通俗地說，通性指的是“究竟是什么”，而通法則是“通常如何做”(5)王明山，邰日昶. 高中數(shù)學(xué)通性通法界定探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015(7)：32-37,41..筆者認(rèn)為兩篇文章中提到的內(nèi)涵本質(zhì)上是相同的，但有時(shí)“通性通法”難以分割，所以在日常教學(xué)中是不是可以這樣理解：談到性質(zhì)的時(shí)候叫“通性”，談到思想和方法的時(shí)候就叫“通法”，但在解決問題的過程中應(yīng)該叫運(yùn)用“通性通法”解決問題.

進(jìn)入一零年代，以“數(shù)學(xué)通性通法”研究為主題的碩士研究生論文有17篇，其中出自蘇州大學(xué)的多達(dá)6篇.這些論文中，比較優(yōu)秀的是蘇州大學(xué)2016屆顧曉峰的碩士論文“專家型高中數(shù)學(xué)教師通性通法的教學(xué)研究”.這篇碩士論文最值得肯定的有兩個(gè)方面：首先是這位碩士生在選定課題以后,認(rèn)真閱讀了有關(guān)文獻(xiàn)并進(jìn)行了非常有邏輯性的文獻(xiàn)綜述，并提出自己的理解和看法，最大的亮點(diǎn)是對“數(shù)學(xué)通性通法”概念也給出自己理解下的界定：在解決一類具有相同性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題時(shí)所采用的具有某種規(guī)律性和普遍意義的常用解題模式和常用的數(shù)學(xué)解題方法.其次給出“通性通法教學(xué)”的理論框架(6)顧曉峰.專家型高中數(shù)學(xué)教師通性通法的教學(xué)研究[D].蘇州大學(xué)，2016(6).：

在這個(gè)階段，筆者依舊組織一個(gè)校本教研團(tuán)隊(duì)繼續(xù)深入研究“數(shù)學(xué)通性通法”，并取得如下的成果和重新的認(rèn)知：

從成果角度看，主要體現(xiàn)在研究和實(shí)踐成果.研究方面是從思維根源的角度剖析一些通法的運(yùn)用方式和從通法的多樣性的角度研究通法的優(yōu)化問題，共有10篇有關(guān)文章發(fā)表在《高中數(shù)理化》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》(高中版)等雜志上.在實(shí)踐方面，把過去對通法的研究成果與高三教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，使得在習(xí)題課教學(xué)有效性方面取得了明顯的改進(jìn)，特別是經(jīng)過五年的連續(xù)實(shí)踐，把所在學(xué)校的高考中的數(shù)學(xué)學(xué)科由比較弱勢學(xué)科轉(zhuǎn)化為強(qiáng)勢學(xué)科.

對“通性通法”的重新認(rèn)知主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先認(rèn)識到注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)與新課程標(biāo)準(zhǔn)中的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”、“四基”、“四能”、“三會(huì)”和“立德樹人”在教學(xué)中的落實(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，其次通過大量的調(diào)研和思考，認(rèn)識到注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)還需要很長的路要走.

2.5 按“發(fā)文數(shù)量”的研究綜述

以下截圖是1980年到2019年的四十年中，在中國知網(wǎng)中輸入“主題”為“通法”，并把研究層次定為“基礎(chǔ)教育與中等職業(yè)教育”(簡稱“中國知網(wǎng)檢索”)后搜索的發(fā)文數(shù)量分布圖：

其中八十年代發(fā)文數(shù)量為7篇，九十年代發(fā)文數(shù)量為25篇，零零年代發(fā)文數(shù)量為126篇，一零年代發(fā)文數(shù)量為640篇.其中，《數(shù)學(xué)通報(bào)》發(fā)文9篇，《中國數(shù)學(xué)教育》發(fā)文30篇，《數(shù)學(xué)通訊》發(fā)文20多篇，《高中數(shù)理化》發(fā)文50多篇.從中國知網(wǎng)檢索可查詢到，國內(nèi)各類數(shù)學(xué)教育類期刊和綜合性的基礎(chǔ)教育類期刊均有有關(guān)方面的研究成果發(fā)表.作者主要來自大學(xué)和教學(xué)研究機(jī)構(gòu)的專家學(xué)者、一線教師和數(shù)學(xué)教育方向的碩士研究生.從發(fā)文的數(shù)量和質(zhì)量上也不難看出在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)的認(rèn)知過程是：從前三十年的積累，到一零年代有質(zhì)的飛躍.

3 注重“數(shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義

在引言中已經(jīng)提到：落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的“抓手”就是注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué).下面根據(jù)筆者三十多年來的觀察、思考及研究體會(huì)，僅從四個(gè)教學(xué)案例分析談其現(xiàn)實(shí)意義.

案例1近期在廣州市高中數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中聽了一節(jié)課題為“平面與平面垂直的判定”的公開課，授課教師為廣州市第五中學(xué)的李大偉老師.這節(jié)課是典型的注重“數(shù)學(xué)通性通法”的優(yōu)秀課案例！廣州市教研院的曾辛金老師從新課程標(biāo)準(zhǔn)的落實(shí)角度進(jìn)行了點(diǎn)評，筆者再從注重“數(shù)學(xué)通性通法”的角度對一些教學(xué)片段進(jìn)行點(diǎn)評.從教學(xué)設(shè)計(jì)看，主要是以三個(gè)問題為主線，即“問題1：大家回顧一下直線與平面垂直、直線與直線垂直的定義過程”、“問題2：二面角的大小定量地反映了兩個(gè)平面相交的位置關(guān)系，如何度量二面角的大小呢？不妨回顧異面直線所成角和直線與平面所成角的定義”、“問題3：有方法判斷平面與平面是否垂直嗎？”，而每個(gè)問題都有若干個(gè)追問.從這三個(gè)提出的問題，不難看出李老師在教學(xué)中注重了類比、猜想、分析、綜合、化歸等數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程，從中抽象出新的概念、性質(zhì)和定理.其中最突出的就是通過新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系的客觀事實(shí)，通過問題導(dǎo)向來引導(dǎo)學(xué)生不斷思考和跟進(jìn)課堂教授的主線，這樣設(shè)計(jì)的價(jià)值有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等.從通性通法的角度看，李老師抓住了立體幾何位置關(guān)系中“空間問題平面化”和“平面問題空間化”及由“平行”與“垂直”類比的通性通法：

現(xiàn)實(shí)意義章建躍先生在近期的培訓(xùn)中，經(jīng)常提到要注意教材的兩條基本邏輯：一是教學(xué)內(nèi)容的邏輯，二是學(xué)生心理的邏輯，進(jìn)而在教學(xué)中要注意兩者有機(jī)結(jié)合的教學(xué)設(shè)計(jì)的基本套路，其中幾何教學(xué)的基本套路為：背景概念判定、性質(zhì)結(jié)構(gòu)(聯(lián)系)應(yīng)用.也提到“問題提出”的三個(gè)原則：反映教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)和問題的發(fā)展性.

這個(gè)案例中的教學(xué)設(shè)計(jì)確實(shí)落實(shí)了章建躍先生針對新課程與新教材培訓(xùn)中的基本理念，而這些理念中蘊(yùn)含著注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義.

案例2今年五月筆者曾在廣州市大同中學(xué)聽一節(jié)高三年級的專題課，課題為“數(shù)列求和”，授課教師為李彩蓮老師.這堂課的最大亮點(diǎn)是：從通法的多樣性出發(fā)，能把“數(shù)列求和”的四種方法概括為一種，即都可用“裂項(xiàng)法”.筆者與樸今子合作曾于2018年發(fā)表過一篇題為“從通法的多樣性談通法的優(yōu)化問題”的文章，文中的一個(gè)例子與李老師的想法不謀而合.但課后的交流中感覺到，李老師并沒有讀過那篇文章.在筆者聽過的幾十節(jié)數(shù)列求和問題的課中，能達(dá)到這個(gè)高度的僅此一節(jié).課堂中首先列舉了前三種方法可求和的數(shù)列的裂項(xiàng)形式，例如：2n-1=n2-(n-1)2;2n=2n+1-2n，這兩種裂項(xiàng)屬于等差和等比數(shù)列的裂項(xiàng)，再例如：數(shù)列{(2n-1)2n}求和問題可以用“錯(cuò)位相減法”，但也可以用“裂項(xiàng)法”，不同的是裂項(xiàng)的難度大一些，但分析的時(shí)候可以先猜想這個(gè)數(shù)列的裂項(xiàng)形式為：(2n-1)2n=[p(n+1)+q]2n+1-(pn+q)2n，再利用待定系數(shù)法可求出p=2,q=-5，代入即可化為裂項(xiàng)形式.也可以把求系數(shù)的過程作為分析思路的過程，在解答過程可以用構(gòu)造來替代，這樣過程顯得更為嚴(yán)謹(jǐn)：因?yàn)?/p>

(2n-1)2n=[(4n-6)-(2n-5)]2n

={2[2(n+1)-5]-(2n-5)}2n，

即(2n-1)2n=[2(n+1)-5]2n+1-(2n-5)2n，進(jìn)而達(dá)到裂項(xiàng)的形式.最后給出一個(gè)學(xué)生從未見過的數(shù)列的裂項(xiàng)問題：求數(shù)列{(-1)n(n2+n)}的前n項(xiàng)和Sn.啟發(fā)學(xué)生通過猜想和待定系數(shù)法得到裂項(xiàng)的形式，然后從演繹推理的角度去寫解答過程，關(guān)鍵在于構(gòu)造如下的恒等式：

所以裂項(xiàng)過程如下：因?yàn)?/p>

這節(jié)課是注重“數(shù)學(xué)通性通法”的一節(jié)精彩的復(fù)習(xí)課，整堂課都是圍繞著“數(shù)列求和”中的通性通法展開，更加難得的是能夠分析出四種通法的概括.從課堂中學(xué)生的反饋中不難看出，李老師在平常的教學(xué)中通過注重“數(shù)學(xué)通性通法”來落實(shí)“四基”，特別需要提出的是，如果學(xué)生沒有通過猜想和待定系數(shù)法構(gòu)造為裂項(xiàng)形式的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，那么別說學(xué)生能解決最后一道例題，可能老師直接分析思路也未必能聽得懂.

現(xiàn)實(shí)意義這個(gè)案例充分體現(xiàn)了注重“數(shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義.首先對通法的優(yōu)化體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算”，其次通過典型例題的通法訓(xùn)練落實(shí)了“四基”.在注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)經(jīng)歷“概括、推理、比較、分析、綜合、歸納”等思維活動(dòng)，所以在通法的得出和運(yùn)用中始終蘊(yùn)含著有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).

案例3“直線與平面平行的判定”的習(xí)題課是高中立體幾何中必須要安排的一節(jié)專題型的習(xí)題課，但在筆者聽過的將近五十節(jié)課中，從注重“數(shù)學(xué)通性通法”角度看，沒有一節(jié)課是達(dá)標(biāo)的.聽過的所有課中，在證明“平面α外的直線a與這個(gè)平面內(nèi)的直線b平行”時(shí)，對如何作出直線b，沒有給出明確的說法，而是不講根據(jù)地問“是不是該作中位線？”之類的問題.根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理不難發(fā)現(xiàn)，直線b應(yīng)該是直線a所在平面β與平面α的交線.所以從“數(shù)學(xué)通性通法”的角度去談“如何作出直線b”的分析過程是：經(jīng)過直線a的平面β中找出與平面α的兩個(gè)公共點(diǎn)，連結(jié)這兩個(gè)公共點(diǎn)就是作出了直線b.可以概括地說成“作交線b”，本質(zhì)上來說這種通性通法來自“直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理”的融合.例如：正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，AP=DQ．求證：PQ∥平面BCE．

分析：要證明PQ∥平面BCE，只需證明PQ平行于平面BCE內(nèi)的一條直線，由于PQ與AE所確定的平面APQ與平面BCE有公共點(diǎn)E，只需連結(jié)AQ并延長交BC于K，連結(jié)EK，則EK為“交線”，余下分析略.不難看出這種通性通法的運(yùn)用顯得思維過程自然.

現(xiàn)實(shí)意義如果不注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)，就很難讓學(xué)生通過理解知識的本質(zhì)去分析問題和解決問題，也就很難提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更談不上通過數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)“四基”和“四能”.通過這個(gè)案例也充分體現(xiàn)了實(shí)施新課程的過程中，對我們一線教師的專業(yè)功底是極大的考驗(yàn).教師本身對知識本質(zhì)的理解、知識之間的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識方面有缺陷，再加上不懂得注重“數(shù)學(xué)通性通法”的重要性，何談在教學(xué)中實(shí)施新的課程標(biāo)準(zhǔn)？解決這個(gè)問題的途徑主要還是靠教師自身的學(xué)習(xí)和思考以及所在學(xué)校加強(qiáng)校本教研.

現(xiàn)實(shí)意義在有關(guān)三角變換的習(xí)題課中經(jīng)常遇到以上所舉的反例中出現(xiàn)的狀況，根本原因在于老師們沒有從通性通法的角度分析三角公式的本質(zhì)，即針對公式?jīng)]有從“角的結(jié)構(gòu)”和“函數(shù)名的結(jié)構(gòu)”角度分析公式的“正用”和“逆用”.更致命的是大部分老師們并不清楚尋找解題思路的邏輯性，只是在講“這么這么做”，并不能講“因?yàn)槭裁础?，像這種沒有分析過程，直接演繹推理的解題教學(xué)是把學(xué)生推入“題?！鄙顪Y的根本原因.所以在落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，注重“數(shù)學(xué)通性通法”教學(xué)是提高課堂有效性的必然選擇.根據(jù)這個(gè)案例，從通性通法的角度如何進(jìn)行教學(xué)才能使我們的課堂更加有效呢？筆者認(rèn)為從“信息加工論”的角度進(jìn)行解題思維教學(xué)是最有效的教學(xué).其過程如下框圖：

這個(gè)案例的現(xiàn)實(shí)意義在于為了落實(shí)新的課程標(biāo)準(zhǔn)，通過注重“數(shù)學(xué)通性通法”的教學(xué)，提高素養(yǎng)、培養(yǎng)“四基”，在這個(gè)過程中需要的是適度地反復(fù)的思維過程，這種反復(fù)主要途徑之一就是我們平常的解題教學(xué)和課后布置的作業(yè).

以上是對“數(shù)學(xué)通性通法”研究的簡要綜述以及通過案例談到的注重“數(shù)學(xué)通性通法”的現(xiàn)實(shí)意義.概括地說，要使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)有利于培養(yǎng)新時(shí)代的接班人，在教學(xué)的具體領(lǐng)域內(nèi)還需要很多的事情去做，其中對“數(shù)學(xué)通性通法”的研究和實(shí)踐也同樣需要不斷完善和發(fā)展.