邢成云 劉曉玫

(1.山東省濱州市北鎮(zhèn)中學實驗初中部 256609 ；2.首都師范大學教師教育學院 100037)

“用教材教而不是教教材”早已成為我們的口頭禪，但現實的踐行并不樂觀，固守教材的從教者不乏其人，這種“不敢越雷池一步”的教學情結仍然難以獲解.尤其是對章起始課的教學關注不夠，把它混同于一般的新授課，章起始課應有的先行組織者的作用發(fā)揮乏力，缺少對整章的統(tǒng)籌安排，使得節(jié)與節(jié)、課與課之間出現斷裂，整體意識淡薄，不利于數學核心素養(yǎng)的落實.為此，筆者帶領市名師工作室成員對章起始課進行探索，已初見成效，本文即開發(fā)的一個案例.

1 基于課標，整體規(guī)劃

1.1 課標對“整式的加減”這部分內容的確定

1.借助現實情境了解代數式，進一步理解用字母表示數的意義；

2.能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示；

3.會求代數式的值：能根據特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算；

4.理解整式的概念；掌握合并同類項和去括號法則，能進行簡單的整式加法和減法運算.[1]

其中的1，2，3條是代數式的長程目標，貫穿于整個代數式學習的始終，需要在后續(xù)整式的乘除、分式、根式等學習過程中進一步發(fā)展落實，當下“整式的加減”一章將初步將其落實.

1.2 章引言、章頭圖的解讀

章引言是全章起始的序曲，是全章內容的引導性材料，其主要教學功能體現在幫助學生了解本章學習的內容、地位和作用，喚醒并激勵學生學習的興趣和激情，培養(yǎng)學生應用數學知識解決問題的意識，有助于發(fā)展學生的核心素養(yǎng).章引言教學應然要有“轉軸撥弦三兩聲，未成曲調先有情”的效果.

本章的章引言以一個三小問的路程問題為主體，分別為整式的概念、合并同類項、去括號等的引入鋪墊，整體揭示出本章學習的核心內容“整式的加減運算”；章頭圖是一張奔馳在青藏鐵路上的列車的照片，是章引言問題的背景配圖，配圖上有一個線段圖，以此可對章引言問題作出直觀分析，另有與引言問題匹配的三個代數式，對它們的化簡運算構成本章的研究主題.如此的圖文并茂，對接了數學與現實生活，為數學抽象、構建數學模型提供了優(yōu)質的素材(實際背景)，讓學生感受到本章學習的必要性(實際的需要、數學的內需)，聯手勾勒出了整章的學習脈絡.

1.3 教材內容分析

教材分2大節(jié)：第一節(jié)整式；第二節(jié)整式的加減.本章是在學生學習了有理數、小學學過的用字母表示數和代數式等知識的基礎上安排的.它屬于《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)中的“數與代數”部分，其主要內容包括整式、單項式、多項式；合并同類項；去括號；整式的加減運算等.這些內容既是對有理數的概括與抽象，它借力類比的思想方法，從數到式，從特殊到一般，彰顯“數式通性”和式的一般性，體現數式之間的內在關聯和數學內在的統(tǒng)一性，又是后繼學習整式的乘除、分式和根式的運算、方程、函數等知識的基礎，還是學習物理、化學等鄰近學科及其他科學技術不可缺少的工具.

除了正文內容，還有3個活動，它們直接對接整式的應用，是通過現實情境歷練學生思維的優(yōu)質素材.

注重了數學應用意識的形成和培養(yǎng)，將教學目標的實現有機地融入到精心設計的情境中、過程中和應用中.體現了《標準》中的“課程目標”和價值追求.

就整式的加減的本質而言，就是對整式施行兩種重要的恒等變形：一是合并同類項；二是去括號.整式的恒等變形是數學中符號運算的基礎，是解方程的工具，在后繼將要學習的代數知識幾乎均與本章有關聯.另外，本章也是培養(yǎng)和發(fā)展學生符號意識的重要素材.

基于課標的界定，通觀現行的人教版教材，對本章作出如下整體規(guī)劃：

第1課時：利用同構性，類比嘗試形成本章的結構系統(tǒng)(充分利用章引言與章頭圖以及其它相關情境抽象出的模型，把本章的知識脈絡揭示出來，形成研究路徑，其中包括整式的概念、單項式、多項式及相關概念等具體知識).

第2課時：創(chuàng)設問題情境，把帶括號的代數式嵌入，以此整體導入去括號、合并(同類項)等變形，揭示出本章的核心問題——整式的加減運算，加減運算的本質：去括號、合并同類項.

第3課時：分兩個層級進一步熟悉整式的運算(一個層次是單項式、多項式的加減運算；第二層級是把化簡與求值結合起來，打通與第一章之間的聯系).

第4課時：活動課(教材P72的三個活動)，把數學模型、數學抽象等核心素養(yǎng)元素融入具有趣味性和探索性的挑戰(zhàn)問題中，進一步熟練整式的加減運算，體會式優(yōu)越于數的一般性.

第5課時：小結與復習(整體統(tǒng)攝復習課).

第1課時即為本節(jié)，是本章基于整體的起始課.若從“數與式”大系統(tǒng)視角來看，整式一章的起始課可以看成“數與式”領域的沿途起始課，它是(有理)數的生長、發(fā)展，具有數與式的同構性，可類比有理數遞次展開，把“式”同化到“數”的結構中去.而如果把本章內容置于“式”的體系之中，本節(jié)課則屬于代數式大單元“開山辟路”的“領域起始課”.本節(jié)課的“雙重角色”體現出它的兩個重要任務，一是類比數認識式；二是完成對式的整體架構，從而為以后所有“式”的教學開山問路，埋下伏筆.

2 基于同構，整體授受

2.1 教學目標

1.回顧有理數的章結構圖式，類比構筑(代數)式的整體結構圖式，初步感知“數式通性”；

2.在具體的情境中能分析其中的數量關系，列出一些代數式，通過字母表示數，理解字母表示數的意義，體會具體和抽象的內在聯系和數式的內在統(tǒng)一性；

3.在列式的基礎上，通過分類了解有理式、整式、分式、單項式、多項式及相關概念，以及它們之間的區(qū)別與聯系，感知分類意識.

2.2 教學重難點

1.類比建構式的整體結構圖式和整式、單項式、多項式的概念及聯系的認識是重點；

2.對列出式子的分類是教學的難點.

2.3 教學過程設計

2.3.1 從數到式，初成圖式

問題1：我們剛剛完成了第一章“有理數”這一百花園的游覽，大家都收獲滿滿，請同學們回顧一下，欣賞了哪些景點？是按照怎樣的脈線進行的？請同學們把自己課前梳理的結構展示出來，小組代表展示.

預設：通過小組代表交流，達成共識，形成有理數一章的結構.

問題2：其中的運算離不開運算律，那有理數的運算律有哪些？

加法的交換律、結合律，乘法的交換律、結合律以及分配律，分別對應著

a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，

ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ac+bc.

經過教研室討論，設定教學要求1～5的權重值和實驗教學環(huán)節(jié)分值，直接計算出各個指標點相應的評價分數，具體如表1所示。按照工程教學認證中課程與畢業(yè)要求達成度的計算方法，得到最終的課程質量評價的量化指標(K)，如公式1所示。如果K值大于0.7，則認為學生達到了課程的基本要求。

追問：為什么用字母來表示運算律？比如用2+3=3+2表示交換律不可以嗎？

預設：不可以.

追問：為什么？

因為2和3只是兩個具體的數，不具有一般性，而a、b是字母，具有一般性的特點.

追問：請大家觀察這兩個式子所表示的意義有什么不同？

預設：第二個式子是第一個式子的特殊情況.

再看一個例子：

小剛今年7歲，小強5歲，如果小剛9歲了，那么小強幾歲？到小剛18歲時，小強多少歲？由此可以發(fā)現只要知道小剛的年齡，就可以知道小強的年齡，那這二人的年齡有怎樣的關系？

追問：如果讓同學們用小剛的年齡去表示小強的年齡，該怎么辦？

預設：遇到阻力，估計有的學生會說，小剛的不知道多大，怎么知道小強的，此時可追問，當不知道的時候，我們以前怎么做過？

生：假設是多少.

師：對，我們可以作假設，一般作假設用什么表示？

預設：用1、x等.

師：對本題而言，用什么更合適.

預設：字母x，1是具體的，在假設工程問題的整體工作量時一般用“1”.

師：說得好，那若用字母x表示小剛的歲數，那么小強的歲數該如何表示?

預設：x-2.

設計意圖為了讓類比更有力量，課前安排了對有理數結構的梳理，一開課通過小組交流，成共識而沉淀下來備用，培根固原，才會有更好地生長；然后通過數學本身以及生活中常見的例子，激活或喚醒學生思維，從兩個角度讓學生感知數的局限性和字母出場的必要性、體會用字母表示數的一般性，使學生理解認識事物的過程是由特殊(具體)到一般(抽象)，又由一般(抽象)到特殊(具體)，在不斷往復中得到提高，培養(yǎng)學生初步的辨證唯物主義觀點.通過數與式之間的聯系，體現數學知識間具體與抽象的內在聯系和數學的內部一致性.

師：我們發(fā)現用字母表示數更具有一般性.從這章開始，我們將進入一個嶄新的式子的世界. (教師板書：式，并用“字母表示數”連綴(在結構圖上縱寫，如下框圖))

師：既然字母可以表示數，說明它們具有相通性，那根據“有理數”的學習內容及思路，請同學們大膽猜測、構想一下“式”的學習內容及思路怎樣？

預設框圖：

設計意圖基于數與式的同構性，引導學生大膽構想，勾勒出有理式的整體結構，從相克相生的視角來看，有理式的架構就是有理數的自然生長，隨著學習的深入，不斷地伸展枝杈，直至成長為枝繁葉茂的數式系統(tǒng)大樹.如此，讓教學變成生長系統(tǒng).其中，整數到分數的箭頭體現它們的對立統(tǒng)一性，即整數相除得分數，單項式的加減產生多項式，整式到分式的箭頭是類比產生的.

2.3.2 字母代數，語句(文字)成式

師：請同學們嘗試列式表達以下的數量關系：

問題3：(1)香蕉原價是每千克m元，半價出售，現價是多少？

(2)一個長方體包裝盒的長和寬都是acm，高bcm，用式子表示它的體積；

(3)n的立方的相反數如何表示？

(4)七年級四班有學生n人，其中男生有m人，那么女生的人數？

(6)育才中學原有a臺電腦，暑假新購進b臺電腦，同時淘汰c臺舊電腦，該中學現有電腦的臺數?

(7)李子每千克x元，橘子每千克y元，香梨每千克z元，買2千克李子，5千克橘子，1千克香梨需要的錢數？

(8)如圖1，某建筑物的窗戶，上半部為半圓形，下半部為矩形，如圖所示.已知矩形的長、寬分別為a、b，這扇窗戶的透光面積是________.

圖1

(9)圖2是一所住宅的建筑平面圖(圖中長度單位：m)，用式子表示這所住宅的建筑面積________.

圖2

(10)從小敏家到學校的路程是3千米，小敏騎電動車的速度是a千米/時，小敏騎電動車從家到學校需要的時間？

問題1結束之后，提出問題：回看我們解決以上問題的過程，同學們認為在列式表示數量關系時，書寫應該注意什么？

生回答，教師根據學生回答情況進行總結.

設計意圖由實際問題或數學問題的文字語言轉譯成符號語言，這本身就是數學的抽象.給出10個小問題情境，在獲得10個代數式，為下一環(huán)節(jié)的分類有意識地提供素材的同時，喚醒學生小學對它的一些粗淺認識，并順勢指導學生書寫代數式的規(guī)范性和注意事項：第1個問題，規(guī)范數與字母相乘時用“·”或省略乘號的格式；第2個問題，規(guī)范有多個相同因數相乘時，寫成乘方的形式；第3個問題，規(guī)范當1或-1與字母相乘時，其中的因數1省略不寫；第5個問題，規(guī)范當帶分數與字母相乘時，帶分數必須化成假分數；第6、7、8三個問題，規(guī)范和差結果的代數式若有單位，要加括號括起代數式等.同時，讓學生體會字母與數一樣，同樣可以參與運算.

以此滲透同一個式子可以表示不同的含義，從而反襯字母表示數的一般性.

學生在小學已經學習過含字母式子的書寫，設置類似問題既有喚醒之意，又有深化之引，當然在此設置更關鍵的是以此作素材的進一步學習.

2.3.3 嘗試分類，同構生長

單項式的概念在整式的學習中起著至關重要的作用，為了引導學生進行學習，創(chuàng)設下面的問題情境：

要求：同學們先獨立思考，完成以后再小組交流.

追問1：第二類的5個式子又有什么共同特征呢？起個什么名字合適呢？

預設：由于是幾個單項式的和、差，即含有多個單項式，故名多項式.

追問2：那個另類的式子，怎樣命名合適？

預設：最后一個外觀上像分數，而又不是分數，是一個式子，故名分式(學生未必獲得).

有了分式的出現，至此，就可以告訴學生，單項式、多項式統(tǒng)稱為整式.讓開始同構猜想的架構落到了實處(骨架上長出了血肉).

解剖整式——根據定義，單項式中的數字因數叫單項式的系數，字母因數的個數叫單項式的次數；多項式有幾個單項式組成就叫幾項式，取其中每個單項式次數的最高次確定為多項式的次數，不含字母的項叫常數項.在此返扣四個單項式熟悉單項式的系數與次數概念；用“x2+2x+18”熟悉多項式的有關概念.

2.3.4 梯度進階，再度生長

問題5：青藏鐵路線上，在格爾木到拉薩之間有一段很長的凍土地段，列車在凍土地段、非凍土地段的行駛速度分別是100 km/h和120 km/h.請根據這些數據回答下列問題：

(1)列車在凍土地段行駛時，2 h行駛的路程是多少？3 h呢？th呢？

(2)在西寧到拉薩路段，列車通過非凍土地段所需時間是通過凍土地段所需時間的2.1倍，如果通過凍土地段需要th，能用含t的式子表示這段鐵路的全長嗎?

(3)在格爾木到拉薩路段，列車通過凍土地段比通過非凍土地段多用0.5 h，如果通過凍土地段需要uh，則這段鐵路的全長可以怎樣表示?凍土地段與非凍土地段相差多少千米?

預設：(1)200，300，100t；

(2)100t+120×2.1t；

(3)100u+120(u-0.5)，

100u-120(u-0.5).

思考1：面對(2)中的多項式100t+120×2.1t，同學們有沒有化簡的想法？怎樣化簡？

由此，引出同類項、合并同類項.

思考2：(3)中的兩個式子與前面所列的式子又有什么不同?

預設：與(2)相比多了括號，要能和“100t+120×2.1t”一樣進行化簡應該需要去括號，由此導引出去括號的變形，至此，本章的核心知識——“整式運算的本質”就現形了.

問題6：筆記本的單價是x元，中性筆的單價是y元，小紅買了3本筆記本，2支中性筆；小亮買了4本筆記本，3支中性筆.用式子表示她們一共花了多少錢？(要求：用兩種不同思路)

預設方法一：兩人各自花錢的和(3x+2y)+(4x+3y)；

預設方法二：整體看作筆記本錢和中性筆錢數的和(3x+4x)+(2y+3y),借助生活經驗即得7x+5y.

教學說明若只出現一種方法，可進行引導，讓兩種思路盡現，以備比較之用.形式不同，結果應該一樣，即(3x+2y)+(4x+3y)應該等于7x+5y，這就隱含著一個問題：去掉括號，再化簡，以此呼應一下問題5，共同把去括號、合并同類項揭示出來，再次指向整式的運算本質.

師：根據前面剛剛獲得的單項式、多項式及相關概念的認識，依次回答問題5、問題6中出現的300，100t；7x+5y分別屬于哪一類式？是單項式的追問系數、次數，是多項式的追問項數、次數.

過程略.

設計意圖回歸章前語中的問題，及問題6(教材68頁中的例7)，通過列式再次感知用字母表示數，讓學生體會式子可以簡明的表示實際問題中的數量關系，它比只有具體數字表示的算式更有一般性，通過辨識式的類型和追問進一步鞏固有理式的相關概念.式子中的字母表示數，同數的地位一樣，所以式子同樣可以進行運算，數的運算是式子運算的特殊情形，這樣問題5與6的聯手共同烘托出了去括號以及同一類型合并的變形，為本章后繼加減運算交了底，至此，一章的學習脈絡就清晰了，結構愈加豐滿了.

2.3.5 返扣結構，明確主旨

問題7：同學們，我們一起回顧一下這節(jié)課是怎樣學習的？

預設：類比數的學習思路展開的學習.

問題8：在學習單項式、多項式等概念時，我們是如何進行的？

根據實際問題列式(抽象)，然后對式分類獲得的.

師：同學們說得很好，我們不但構想出了式的學習脈絡，獲得了本章要學習的核心知識及內在聯系(重色在結構圖中呈現或用多媒體技術閃爍本章要學習的部分)，還嘗試使用了數學上的類比、分類、抽象、一般與特殊等思想方法，值得慶賀.

設計意圖旨在讓學生總結這節(jié)課所表達的數學思想并“顯化”，并且讓學生清晰“代數式”這一章基本框架和學習要求，類比學習數的基本經驗，避免學習的盲目性，增強學生學習的主動性，使學生對學習進程心中有數，從而學會學習、學會研究，最終達到數學育人的目的.

3 反思評價

3.1 基于同構，類比貫通

奧蘇貝爾根據新、舊知識的上、下位關系將學生的新知識學習分為上位學習、下位學習和并列結合學習.本節(jié)課整式的學習就是基于“有理數”的上位學習，是從數到式的關聯，并且這種關聯性是同構的，故在梳理有理數學習的基礎上，基于小學就會的“用字母表示數”，利用數與式的同構性“類比”展開對這一章的學習.當然，本節(jié)的學習是在其上的提升與發(fā)展.類比這種“策略性知識”知識的應用在本節(jié)課共有三處：第一處是借助有理數的學習內容得出整式的學習內容；第二處是借助有理數定義得出有理式的定義；第三處是借助數的產生過程得出式的產生過程，這其中也蘊含了由有理數的運算得出單項式的運算，單項式的加減運算產生多項式，單項式(多項式)的除法運算可產生分式等.這些學習經驗的積累都是以后學習中的“精髓”，如果學生領悟了這些數學的“真諦”，后繼的學習就會變得順乎其然.

3.2 重組教材，循脈生長

在初中學段“數與代數”領域中，數及其運算、字母(式)及其運算都是數學的核心內容.整體來看，這可以看成一個大單元，當然，也可以分開來看成兩個中單元，它們自始至終貫穿于整個初中的數學課程.基于此，本節(jié)課整體立意，進行知識重組.本來，單項式與多項式在教材中是兩塊獨立的教學內容片斷，但它們之間有著緊密的關系.在對它們進行整體化的教學處理中，獲取整式的知識架構，這有利于學生對單項式與多項式對立統(tǒng)一的理解和相關概念的識別.這樣，作為章起始課在落實“四基”教學目標的同時，也關注了本章知識體系的建構，感受單項式、多項式等章的概念和合并同類項的方法等，對本章內容有一個大致的了解，讓學生對學習進程心中有數，幫助學生建立有意義學習的心向，為接下來這一章“精致”的學習埋下一顆種子，最后達到讓學生感受到“數與式”運算一致性的目的.這種整體建構的教學，不僅使學生獲得了數學知識，還積累了數學基本活動經驗，使得整個教學過程彰顯出以“運算方法”為紐帶的生長態(tài)勢，如此一來，還為后程“分式”(除法)和“根式”(開方)的學習做了鋪墊，埋下伏筆，從而建立代數式整體觀念的一貫性，荷起章起始課開山問路、高遠立意的責任擔當.