李亞珍 曲安京

(1. 西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院，西安 710127； 2.呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，呂梁 033000)

1 問題的提出

天球投影是將天球上的星宿通過一一對(duì)應(yīng)呈現(xiàn)于平面上，以星圖的形式表現(xiàn)出來，是中國古代天文學(xué)的重要組成部分。[1]中國古代的天球投影方式有兩種，一種是圓圖，一種是橫圖，其畫法早在漢朝時(shí)期就有了記載說明：

問典星待詔姚崇、井畢等十二人，皆曰“星圖有規(guī)法，日月實(shí)從黃道……”[2]

姚崇、井畢等人認(rèn)為星圖的制作是有一定的方法可遵循的。蘇頌(1020—1101)在《新儀像法要》卷中明確提出：

古圖有圓、(縱)[橫]二法。[3]

蘇頌確認(rèn)了中國古代星圖的畫法有兩種，圓法是用于作圓圖的，而橫法是用以作橫圖的，即圓圖畫法與橫圖畫法。蘇頌還提到：

渾象，人居天外，故俯視之；星圖，人在天里，故仰觀之。二者相庚，蓋俯仰之異也。[3]

文中渾象類似于現(xiàn)代的天球儀，在古代主要用于象征天球的運(yùn)動(dòng)，表演天象的變化。它與星圖所表示的內(nèi)容、意義及本質(zhì)是相同的，僅僅是俯視與仰視的關(guān)系。這也能夠說明，星圖是通過某種確切的幾何方式轉(zhuǎn)化而來的，和現(xiàn)代使用視圖的原理和概念一致[4]。

關(guān)于中國古代天球投影的研究，數(shù)量頗多，但迄今為止，似乎沒有人以實(shí)證的方式明確提出中國古代天球投影的方式是定量的，是按照某種確定的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將天球上任意一點(diǎn)與星圖平面上某點(diǎn)形成一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系而進(jìn)行操作的。

李約瑟最初在研究蘇頌星圖時(shí)與西方傳統(tǒng)星圖畫法類比，認(rèn)為橫圖很像麥卡托畫法，而圓圖為極投影。他甚至將更早些的敦煌星圖也稱為“‘麥卡托’投影星圖”。[5]這些觀點(diǎn)后來為國內(nèi)學(xué)者認(rèn)同并沿用。[6]直至近年，仍然有人認(rèn)為蘇州石刻天文圖基本類同于經(jīng)緯線制圖技術(shù)中的“方位投影”法[4]，足見其影響至深。

國內(nèi)學(xué)者對(duì)中國古代天球投影方法有很多論述[7- 25]，伊世同開始對(duì)李約瑟的觀點(diǎn)提出了異議。伊世同認(rèn)為圓圖的投影方法與觀測點(diǎn)的地理緯度存在一定的比例關(guān)系[26]；而胡維佳糾正了李約瑟對(duì)蘇頌星圖中橫圖是正圓柱投影法的結(jié)論，并認(rèn)為該星圖可能是用適當(dāng)?shù)耐槐壤邔⑿求w的去極度換算成“縱坐標(biāo)”繪制的[6]。他們的研究對(duì)于中國古代天球投影的認(rèn)識(shí)無疑是有建樹的，但依然未盡其意。國外的研究也有一些[27]。韓國學(xué)者對(duì)《新唐書·天文志》中一行(683—727)的畫圖方法作了比較詳細(xì)的解釋，較之前的研究有更大的進(jìn)展，但沒有涉及橫圖的討論，更沒有從坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的角度去分析問題的本質(zhì)，并未引起學(xué)界的重視[28]。

總之，關(guān)于中國古代的天球投影方法歷來受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，其爭議卻持續(xù)不斷。過去的講述都沒有明確指出中國古代的天球投影方法是否是定量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。那么，中國古代的天球投影到底是什么？中國古代星圖究竟如何制作？其畫法的實(shí)質(zhì)及意義是什么？下文將以《新唐書·天文志》中一行的圓圖畫法與清代黃鼎(生卒年不詳)《天文大成管窺輯要》中“朱氏畫方天文圖說”的橫圖畫法史料為研究對(duì)象，對(duì)這些問題做出解答。

2 一行關(guān)于圓圖的投影方法

唐代天文學(xué)家僧一行給出圓圖投影的理論方法，進(jìn)一步證實(shí)了前人在圓圖制作研究上的實(shí)踐成果，說明其理論的可靠性。

2.1 一行圓圖投影方法理論

《新唐書·天文志》中記載了僧一行在研究月亮運(yùn)動(dòng)時(shí)繪制星圖采用的方法：

繞北極常見者謂之上規(guī)，南極常隱者謂之下規(guī)，赤道橫絡(luò)者謂之中規(guī)。及一行考月行出入黃道，為圖三十六，究九道之增損，而蓋天之狀見矣。

削篾為度，徑一分，其厚半之，長與圖等，穴其正中，植針為樞，令可環(huán)運(yùn)。自中樞之外，均刻百四十七度。全度之末，旋為外規(guī)。規(guī)外太半度，再旋為重規(guī)。以均賦周天度分。又距極樞九十一度少半，旋為赤道帶天之纮。距極三十五度旋為內(nèi)規(guī)。

乃步冬至日躔所在，以正辰次之中，以立宿距。按渾儀所測，甘、石、巫咸眾星明者，皆以篾，橫考入宿距，縱考去極度，而后圖之。[29]

上述文獻(xiàn)首段給出了上規(guī)、下規(guī)及中規(guī)概念，它們呈現(xiàn)于星圖上時(shí)為三個(gè)同心圓，分別與天球的恒顯圈、恒隱圈及天赤道相對(duì)應(yīng)。中段則是畫星圖輪廓的具體過程，其步驟為：

(1)畫圖前的工作。將一與星圖平面長度相等、寬度為一分、厚度為半分的竹篾，用金屬針從正中間固定于星圖平面上，并保證它可以自如地旋轉(zhuǎn)。

(2)畫外規(guī)。從正中點(diǎn)開始，均勻地按147度進(jìn)行刻畫，旋轉(zhuǎn)一周便形成，與天球恒隱圈相對(duì)應(yīng)。

圖1 一行圓圖投影方法圖

(5)畫內(nèi)規(guī)。以35度為半徑畫圓并與上述兩圓形成同心圓，稱其為內(nèi)規(guī)，與天球恒隱圈相對(duì)應(yīng)，結(jié)果如圖1所示。

文獻(xiàn)的末段，首先需要計(jì)算太陽的冬至點(diǎn)日度，確保冬至點(diǎn)的位置準(zhǔn)確，進(jìn)而對(duì)二十八宿距星進(jìn)行精確標(biāo)識(shí)，然后用渾儀觀測甘、石、巫咸三家所記載的恒星位置，拿竹篾測算出其入宿度與去極度，將其一一刻畫于圖。其操作方式如圖2所示。

圖2 一行圓圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理圖

圖2左圖中，點(diǎn)O為天球中心，P為天球的北極，點(diǎn)W、E表示天赤道上的點(diǎn)，某宿B(與下面的星S相鄰)在經(jīng)度圈上的弧PABC上，令S(α，β)表示天球上的任意一點(diǎn)S的坐標(biāo)，過點(diǎn)S分別作經(jīng)度圈與緯度圈，前者與天赤道的交點(diǎn)為D，則入宿度α=SS0或DB，去極度β=PS。右圖中，從內(nèi)向外的三個(gè)實(shí)線同心圓分別是內(nèi)規(guī)、中規(guī)、外規(guī)，與恒顯圈、天赤道、恒隱圈對(duì)應(yīng)，其余點(diǎn)為左圖中各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(以左圖中點(diǎn)的名稱所表示)。由一行圓圖投影過程可知，點(diǎn)S(α，β)通過一定的轉(zhuǎn)換必有星圖上的一點(diǎn)與之唯一對(duì)應(yīng)。

以蘇州石刻天文圖的星圖為例，假使所載天文圖的刻畫是精確的，則可以在星圖上任意找一點(diǎn)S，與其中心連線的長度即為去極度，若再測定它在兩距星之間的距離，可確定入宿度。這樣，當(dāng)該點(diǎn)由入宿度和去極度確定之后，在天球上即可找到與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使其入宿度和去極度相等，進(jìn)而通過類似的方法把蘇州石刻天文圖所載內(nèi)容進(jìn)行復(fù)原。

2.2 一行畫法與前人對(duì)中國古代圓圖的實(shí)證研究

一行的投影方法是一種確切的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將天球上的點(diǎn)按照嚴(yán)格的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一一對(duì)應(yīng)于平面上圓圖中的點(diǎn)。事實(shí)上，前人在中國古代圓形星圖制作方法的測算研究中，有很多學(xué)者已經(jīng)假設(shè)是按照我們上面陳述的一行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行的。下面我們將考察一些在星圖研究中以采納一行的圓圖投影假設(shè)來進(jìn)行實(shí)證研究的結(jié)果，并用以大體上證明，我們從文本上得出的一行圓圖投影的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法在中國古代主要的星圖制作中確實(shí)得到了應(yīng)用。

郭盛熾在《唐宋時(shí)期星表精度初探》中從入宿度、去極度兩個(gè)基本參數(shù)著手，假設(shè)采納一行的投影方法，對(duì)唐《開元占經(jīng)》所引《石氏星經(jīng)》及北宋某些圓形星表中所列恒星的數(shù)據(jù)分析研究，認(rèn)為中國古代的星表工作在唐宋時(shí)期有了明顯的進(jìn)步。[18]蘇州石刻星圖是世界上著名的圓形星圖之一，杜升云的《蘇州石刻天文圖恒星位置的研究》也假設(shè)采納一行的投影方法對(duì)它進(jìn)行了深入的研究，從科學(xué)性的視角對(duì)星圖上大量恒星的位置進(jìn)行了定量分析，討論其精度的同時(shí)也與現(xiàn)代星圖上相應(yīng)的恒星做了比對(duì)。杜升云第一批證認(rèn)了266顆恒星的位置十分準(zhǔn)確，是基于元豐年間的觀測結(jié)果而繪制的科學(xué)星圖且誤差小、可靠性強(qiáng)，然后利用其精度理論公式又證認(rèn)了607顆星，另外還對(duì)60顆星的誤差分析列表說明其原因，因分布于天極和恒隱圈附近的恒星位置特殊，其余500多顆星沒有進(jìn)行證認(rèn)，但不可否認(rèn)蘇州石刻星圖具有實(shí)際觀測的依據(jù)、科學(xué)意義與科學(xué)價(jià)值。[30]該研究結(jié)果也得到了其他學(xué)者的充分肯定([8]，255- 261頁)。前人還對(duì)宋代皇祐星表與蘇州石刻天文圖等進(jìn)行審訂考校，整理得到360顆恒星的入宿度與去極度，深入對(duì)比分析認(rèn)為它是一部可靠的科學(xué)星表。[31]

潘鼐《中國恒星觀測史》中蘇州石刻星圖的研究，也是假設(shè)天文圖是按照一行圓圖投影坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法制作的，其對(duì)28宿距度進(jìn)行的測算結(jié)果如表1所示。

表1 《天文圖》上的二十八宿距度數(shù)值

續(xù)表1

從上述結(jié)果可見，前人對(duì)中國古代星圖畫法的實(shí)證研究與我們對(duì)一行圓圖投影方法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換文本分析是完全一致的。

3 朱氏關(guān)于橫圖的投影方法——朱氏畫方天文圖說

《天文大成管窺輯要》給出了橫圖投影的方法理論，進(jìn)一步證實(shí)前人在橫圖制作研究上的實(shí)踐，表明其理論的合理性。

3.1 《天文大成管窺輯要》中橫圖投影的方法理論

在清代黃鼎《天文大成管窺輯要》卷2中有“朱氏畫方天文圖說”：

天體渾元，度有經(jīng)緯。以當(dāng)天腹赤道，東西相去為經(jīng)；以距上下兩極，南北相去為緯。朱氏以經(jīng)緯度數(shù)，俱畫方格。

以北極出地三十六度，規(guī)而圓之，緯經(jīng)得七十二度，圖以紫薇垣星，是為北極紫薇上規(guī)圓圖；自上規(guī)之南，以抵下(視)[規(guī)]之北，上下相距緯度一百一十度奇，赤道居中，橫絡(luò)天腹，東西轉(zhuǎn)運(yùn)，周圍三百六十五度奇，圖以太微、天市、二十八宿眾官，及黃道出入天漢起沒，是乃中規(guī)垣宿圓圖；茲合上中二規(guī)圓圖為一，則垣宿咸備矣。

然南極入地亦三十六度，規(guī)圓緯經(jīng)得七十二度，是乃南極下規(guī)圓圖，在上中二規(guī)合體圓圖載不能及，而未盡渾元之象。故以中規(guī)圓圖，分以赤道之北而并上規(guī)，是為北圖；分赤道之南而并下規(guī)，是為南圖。以南北兩圖而合之，其一渾圓天體矣。

又以中規(guī)圓圖內(nèi)斂外廣，經(jīng)度不均，別做中規(guī)列宿橫圖，可以備考太陰、五星出入黃道、凌犯星宿之變。畫方數(shù)圖，曲盡天體，經(jīng)緯詳悉，而星咸中度，星家圖學(xué)最為精密，是作奇哉。但以平圓而圖立圓，其循弧宛轉(zhuǎn)之狀，有不能盡觀星者，當(dāng)以心悟而自得其妙云。[32]

上述文獻(xiàn)明確給出了橫圖投影的具體畫法，其步驟如下：

(1)畫方形網(wǎng)格。根據(jù)首段以東西橫向?yàn)榻?jīng)線作一組間距為1度的平行線；以南北縱向?yàn)榫暰€再作一組間距為1度的平行線，如圖3所示。

圖3 朱氏方圖投影方法圖

(3)南北圖劃分及合體。從渾象的實(shí)際情況而言，對(duì)于前述圓圖投影，由天赤道到下規(guī)部分的刻畫失真，應(yīng)該是經(jīng)度越來越窄而不是相反，因此，需要將作好的圓圖進(jìn)行重新劃分，中規(guī)赤道以北部分與上規(guī)合并，稱北圖；同樣地，先作下規(guī)圖(無任何星宿的空白區(qū)，與上規(guī)大小相等)，再按前述圓圖投影方法刻畫赤道以南部分的星宿情況，然后與下規(guī)部分合并，稱南圖；若以南北圖綜合于一起考慮，渾天的內(nèi)涵則可以全部體現(xiàn)出來。

(4)畫橫圖。文獻(xiàn)末段說明了橫圖投影的由來，也間接表示了橫圖投影相對(duì)圓圖投影的優(yōu)點(diǎn)。前述圓圖的中規(guī)部分(恒顯圈與恒隱圈之間的區(qū)域)在表示天球的整個(gè)面貌時(shí)“內(nèi)斂外廣，經(jīng)度不均”，因此，將該部分星圖的內(nèi)容以橫圖的形式來表現(xiàn)以減小失真，即文中“別做中規(guī)列宿橫圖”。而在進(jìn)行該步驟時(shí)，首先根據(jù)太陰、五星與黃道的位置關(guān)系及其對(duì)于凌犯星宿的變化來確定中規(guī)部分中星宿在橫圖面上的相對(duì)位置；然后將所作橫圖的底版平面細(xì)分成若干個(gè)方形圖，以方便將繁多的內(nèi)容，進(jìn)行下一步精細(xì)的刻畫；最后在這些方形圖上將已作圓圖上中規(guī)部分的內(nèi)容，按照其經(jīng)緯度再進(jìn)行刻畫而形成精確對(duì)應(yīng)，并進(jìn)一步調(diào)整使其成型，具體操作方式如圖4所示。

圖4 朱氏方圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理圖

如圖4中，點(diǎn)O為天球中心，P為天球的北極，點(diǎn)W、E表示天赤道上的點(diǎn)，點(diǎn)A所在的圓為恒顯圈，點(diǎn)C所在的圓為恒隱圈，如前述一行圓圖畫法假設(shè)，則點(diǎn)S的入宿度為α=SS0或DB，緯度β=SD或(90-PS)(與去極度PS互余)；右橫圖中，上、中、下三條實(shí)線分別是圓圖中的內(nèi)規(guī)、中規(guī)、外規(guī)，與恒顯圈、天赤道、恒隱圈所對(duì)應(yīng)，其余點(diǎn)為天球圖上各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(以天球圖中點(diǎn)的名稱來表示)。由朱氏橫圖投影過程說明，點(diǎn)S(α，β)通過一定的轉(zhuǎn)換必有星圖上的一點(diǎn)與之唯一對(duì)應(yīng)。

以《新儀像法要》渾象西南方中外宮星圖為例，如圖5，圖中輪廓分明的橫線條有上、下邊界線及其中線，通過對(duì)其與周邊之星宿相對(duì)位置的觀察，可以判斷，它們正好與北圖上規(guī)邊界、南圖下規(guī)邊界、赤道相吻合；縱線條總共16條，除去兩條邊界線之外，它們分別對(duì)應(yīng)從奎十六度到軫十七度之間的十四宿；將其與渾象東北方中外宮星圖所銜接考察，則與南、北圖的中規(guī)部分二十八宿刻畫完全相合；假使該天文圖的刻畫是精確的，那么，在圖中任意選取一點(diǎn)，測量其入宿度及去極度所余，則可通過上述坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方式將其復(fù)原到天球上。

圖5 《新儀像法要》渾象西南方中外宮星圖

3.2 朱氏橫圖投影畫法與前人對(duì)中國古代橫圖的實(shí)證研究

朱氏橫圖投影畫法也是一種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將天球上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)于平面上矩形網(wǎng)格中的點(diǎn)。事實(shí)上，前人在中國古代橫圖制作方法的測算研究中，有學(xué)者已經(jīng)假設(shè)是按照我們上述橫圖的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行的。以下，我們對(duì)一些在星圖研究中以采納朱氏橫圖投影假設(shè)來進(jìn)行實(shí)測研究的結(jié)果予以概述，從中可以看出，根據(jù)這些結(jié)果大體上可以證明我們從文本上得出的朱氏橫圖投影的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法在中國古代主要的星圖制作中確實(shí)得到了應(yīng)用。

潘鼐《中國恒星觀測史》匯集了前人對(duì)橫圖畫法的一些主要研究，其中以對(duì)上述提到的《新儀象法要》中蘇頌星圖的考證最為詳盡。在假設(shè)采納朱氏橫圖投影方法的前提下，通過對(duì)上規(guī)邊緣內(nèi)外皇祐年各星去極度值、元豐年恒顯圈上下各星赤緯值及下規(guī)邊緣上皇祐年各星去極度值的對(duì)比分析，明確了星圖上恒星位置的觀測地點(diǎn)開封的地理緯度即北極出地高度，亦對(duì)應(yīng)為恒顯圈(上規(guī))，從北極位置的核定斷定其制作年代為北宋元豐年間，證明了星圖是符合當(dāng)時(shí)天象準(zhǔn)確的；通過表63《新儀象法要》星圖上宿度的誤差值和表64《新儀象法要》星圖上去極度的校核對(duì)14顆星宿的記載情況的分析，表65《新儀象法要》星圖上二分二至點(diǎn)位置的校算及表66策星等五顆星四百年間的極距變化分析認(rèn)為，它是在傳統(tǒng)畫法基礎(chǔ)上另以觀測資料為依據(jù)而繪制的，是我國現(xiàn)存最早的完整的科學(xué)星圖，也是世界上最早的詳細(xì)的科學(xué)星圖。([8]，238- 253頁)

在胡維佳關(guān)于《新儀象法要》“東、北方中外宮星圖”的測算[6]研究中，也是按照假設(shè)天文圖是以朱氏橫圖投影方法制作的，對(duì)28宿中的14宿去極度值進(jìn)行了核校，結(jié)果如表2所示。

表2 《新儀象法要》“東、北中外宮星圖”星宿去極度值校驗(yàn)

從表2中可以得知所測值的絕對(duì)平均誤差為2.9毫米，其精確性相對(duì)來說是很高的，相較于表1中圓圖的結(jié)果，表2誤差稍大，導(dǎo)致這個(gè)結(jié)果產(chǎn)生的原因可能是《新儀象法要》中的天文圖相較蘇州石刻星圖石碑，尺寸小很多而誤差容易放大。胡維佳通過研究認(rèn)為，蘇頌橫圖是采用直角坐標(biāo)標(biāo)繪法，按去極度和入宿度標(biāo)繪在直角坐標(biāo)框架中，該研究與朱氏橫圖投影理論非常吻合。

前人對(duì)橫圖的研究還涉及敦煌星圖等，本文不再贅述。從上述結(jié)果可見，前人對(duì)中國古代星圖畫法的實(shí)證研究與我們對(duì)朱氏橫圖投影方法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換文本分析結(jié)果是完全一致的。

4 結(jié) 論

前人在中國古代星圖畫法的研究中，多數(shù)學(xué)者都主張圓圖畫法是一種以北天極為中心的線性投影方法，橫圖畫法也是一種線性投影方法。本文通過對(duì)一行及朱氏原始文本的詳細(xì)釋讀證實(shí)，無論是圓圖還是橫圖畫法，都是一種線性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，從而將前人的實(shí)證研究假設(shè)與歷史文獻(xiàn)互為印證。

一行圓圖投影方法是將天球上的點(diǎn)按照嚴(yán)格的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一一對(duì)應(yīng)于平面上圓圖中的點(diǎn)；而朱氏橫圖投影則是按照另一種嚴(yán)格的坐標(biāo)變換，將天球上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)于平面上矩形網(wǎng)格中的點(diǎn)。

中國古代的天球投影過程，是一種確切的坐標(biāo)變換，其投影方法是有據(jù)可依的、定量的。利用這種坐標(biāo)變換，可以將現(xiàn)存中國古星圖中的星座確切地回推到天球上。關(guān)于中國古代天球投影方法的證認(rèn)，我們的文本分析與前人的實(shí)測研究相結(jié)合可以確認(rèn)，中國古代傳統(tǒng)的圓圖與橫圖的主要制作方法是一種線性投影方法。