王曉斐

(中國科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所，北京 100190)

在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)的發(fā)展與其主要應(yīng)用領(lǐng)域，包括力學(xué)和天文學(xué)是不可分的。[1]純粹數(shù)學(xué)開始獲得其獨(dú)立性并與其應(yīng)用領(lǐng)域分開發(fā)生在19世紀(jì)的德國，并伴隨著數(shù)學(xué)家的職業(yè)化和數(shù)學(xué)學(xué)科的建制化。①從19世紀(jì)下半葉開始，柏林成為重要的數(shù)學(xué)中心，出現(xiàn)了魏爾斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815—1897)、庫默爾(Ernst Eduard Kummer，1810—1893)、克羅內(nèi)克(Leopold Kronecker，1823—1891)等重要數(shù)學(xué)家。對(duì)與應(yīng)用無關(guān)的純粹數(shù)學(xué)的強(qiáng)調(diào)和興趣是這一時(shí)期柏林?jǐn)?shù)學(xué)家工作的特點(diǎn)。[2- 3]但這些趨勢(shì)或特征在1794年巴黎綜合理工學(xué)院(école Polytechnique)建立之后已開始顯現(xiàn)。該校分析課(cours d’analyse)的設(shè)立是歐洲的高等教育機(jī)構(gòu)第一次開設(shè)數(shù)學(xué)分析課程②根據(jù)白魯諾(Bruno Belhoste)的考察，在大革命前，盡管已有多部有關(guān)分析學(xué)的書出版，也有個(gè)別教師教授過微積分的內(nèi)容，但少有教育機(jī)構(gòu)正式系統(tǒng)地開設(shè)此課程。[4]，因而可以看作是高等數(shù)學(xué)機(jī)構(gòu)化和學(xué)科化的一個(gè)開端。這為19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了重要?jiǎng)恿?。正如?shù)學(xué)史家羅威(David E. Rowe)所指出的：“在數(shù)學(xué)還沒有在歐洲的大學(xué)里享有特殊位置的時(shí)候，巴黎綜合理工學(xué)院伴隨著培養(yǎng)工程師課程的開設(shè)涌現(xiàn)了一群一流的數(shù)學(xué)家”。([2]，9頁) 先后擔(dān)任普魯士和巴黎皇家科學(xué)院院士的拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange，1736—1813)成為該校的第一位分析課教師，為分析學(xué)與其應(yīng)用領(lǐng)域的分離和嚴(yán)格化奠定了思想基礎(chǔ)，推進(jìn)了該學(xué)科的確立和發(fā)展。在拉格朗日和同校教師蒙日(Gaspard Monge，1746—1818)的影響下，該校選拔和培養(yǎng)了一批數(shù)學(xué)人才，他們繼而成為該校或其他機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)教師并致力于數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育。他們與其后繼者構(gòu)成了19世紀(jì)以教學(xué)和研究為職業(yè)的法國數(shù)學(xué)家群體，從而開啟了數(shù)學(xué)家職業(yè)化的一頁。(1)根據(jù)克羅斯蘭德(Maurice Crosland)的主張，法國大革命之后不同科學(xué)機(jī)構(gòu)包括教育機(jī)構(gòu)的建立使得科學(xué)成為一個(gè)“專業(yè)”，科學(xué)家因而開始職業(yè)化。新建立的教育機(jī)構(gòu)(包括高中l(wèi)ycées以及高等科學(xué)教育機(jī)構(gòu)facultés des sciences)開始開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等課程，因此提供了這些專業(yè)的教師職位。[5]弗郎克勒(Eugene Frankel)的文章以畢奧(Jean-Baptiste Biot，1774—1862)為例，展示了從巴黎綜合理工學(xué)院走出的畢業(yè)生進(jìn)入高等或中等教育機(jī)構(gòu)成為數(shù)學(xué)教師并進(jìn)行數(shù)學(xué)研究以及撰寫數(shù)學(xué)著作或教科書的職業(yè)生涯。弗郎克勒同樣也提到不可缺少的背景是法國大革命后對(duì)科學(xué)的需求急劇增長，從而帶來科學(xué)職位的增多。[6]19世紀(jì)德國的教育改革受到巴黎綜合理工學(xué)院的啟發(fā)和影響，使得數(shù)學(xué)在德國大學(xué)形成建制化。(2)巴黎綜合理工學(xué)院在建立之后就成為歐洲院校的典范，歐洲各國的貴族或官員階層很多對(duì)巴黎綜合理工學(xué)院的建制和課程發(fā)生興趣，也常有外國學(xué)生申請(qǐng)進(jìn)入該學(xué)院學(xué)習(xí)。[7]19世紀(jì)德國的教育改革者以及柏林大學(xué)(現(xiàn)柏林洪堡大學(xué))的建立者洪堡(William von Humboldt，1767—1835)的弟弟——博物學(xué)家亞歷山大·馮·洪堡(Alexander von Humboldt，1769—1859)與他的同胞克萊爾(Augustus Leopold Crelle，1780—1855)曾以巴黎綜合理工學(xué)院為榜樣嘗試建立一個(gè)綜合理工學(xué)校或機(jī)構(gòu)以促進(jìn)數(shù)學(xué)和化學(xué)的教學(xué)，為推進(jìn)德國的數(shù)學(xué)學(xué)科的建制化和發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。[8- 9]

現(xiàn)有關(guān)于巴黎綜合理工學(xué)院的分析課的研究重在強(qiáng)調(diào)柯西(Auguste Louis Cauchy，1789—1857)在該校教授的分析課，而較少關(guān)注該校早期課程的內(nèi)容以及課程之間的關(guān)聯(lián)。而有關(guān)以拉格朗日的分析課為基礎(chǔ)出版的數(shù)學(xué)著作的研究，則多聚焦于他的分析代數(shù)化思想，而較少關(guān)注其在分析的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一化上的工作。本文通過分析相關(guān)歷史與境和原始文獻(xiàn)，將從三個(gè)方面指出拉格朗日的分析課的關(guān)鍵思想及其方法論，說明他如何將分析與幾何學(xué)和力學(xué)分開，對(duì)分析進(jìn)行嚴(yán)格化和推進(jìn)純粹數(shù)學(xué)的理論；此外，本文將對(duì)巴黎綜合理工學(xué)院人才選拔和培養(yǎng)的方式進(jìn)行探討，并闡明該校如何在拉格朗日和蒙日的影響下營造了開展數(shù)學(xué)研究的氛圍，從而造就了眾多19世紀(jì)重要的法國數(shù)學(xué)家，對(duì)推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展做出貢獻(xiàn)。

1 巴黎綜合理工學(xué)院的建立及其制度

18世紀(jì)末，在法國大革命的背景下，法國的教育及科學(xué)改革同時(shí)進(jìn)行。繼舊制度下的軍事和工程?？圃盒?，如梅濟(jì)耶爾皇家工程學(xué)校(école royale du génie de Mézière)和皇家橋梁和道路學(xué)院(école royale des ponts et chaussées)(3)前者建立于1748年，后者建于1747年。這兩所學(xué)校在大革命后均被恢復(fù)，后者今天仍然是法國“大學(xué)?！斌w系中的成員。有關(guān)舊制度下這兩所學(xué)校的工程師教育可參考文獻(xiàn)[10]。紛紛關(guān)閉或停課之后，巴黎綜合理工學(xué)院于1794年建立，其目標(biāo)是擔(dān)負(fù)起所有這些?？圃盒?yīng)發(fā)揮的作用。([7]，26- 27頁) 作為大革命時(shí)期公共安全委員會(huì)(Comité de salut public)的科學(xué)顧問之一，蒙日支持和創(chuàng)建了巴黎綜合理工學(xué)院。(4)在創(chuàng)建之初，該校的名字為中央公共工程學(xué)院(école centrale des travaux publics)，后改名為綜合理工學(xué)院。中文文獻(xiàn)中對(duì)巴黎綜合理工學(xué)院建立早期的制度的專門研究有：姚大志的《理念、制度和爭(zhēng)論——巴黎綜合理工學(xué)院的建立及早期發(fā)展》(《工程研究》，2017年第9卷第6期，第644- 655頁)，姚大志、孫承晟著《科技革命與法國現(xiàn)代化》(山東教育出版社，2017年)。盡管該校的重要任務(wù)是培養(yǎng)國家需要的軍事和建設(shè)方面的工程師，但在蒙日的設(shè)計(jì)中，該校同時(shí)要促進(jìn)科學(xué)和技藝的發(fā)展，為其他院校樹立榜樣并引導(dǎo)最優(yōu)秀的學(xué)生以學(xué)術(shù)為業(yè)。《綜合理工學(xué)院院刊》(Journaldel’écolePolytechnique，以下簡稱《院刊》)的創(chuàng)刊號(hào)說明了第一批學(xué)生的招收、培養(yǎng)目標(biāo)和課程要求：

elle (l’école) doit contenir environ quatre cents élèves， ayant déj， dans un examen， fait preuve d’intelligence et de connaissances acquises sur les élémens[éléments] d’arithmétique， d’algèbre et de géométrie; qu’enfin ces élèves étant destinésremplir un jour， soit des fonctions d’ingénieurs de différens [différents] genres， soit des professions particulières qui exigent des hommes éclairés dans les sciences ou les arts， on leur apprend les parties de mathématiques et de physique qui sont effectivement la base des connaissances nécessairesl’exercice de ces divers états.[11]

(學(xué)校)招收大約四百名學(xué)生，他們通過考試已經(jīng)證明了自己的智力和在算術(shù)、代數(shù)以及幾何方面的基礎(chǔ)知識(shí)；這些學(xué)生將成為服務(wù)于不同部門的工程師，或者從事于需要科學(xué)和技藝的知識(shí)的領(lǐng)域，在這里他們將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理，(這兩門課程)對(duì)從事多種行業(yè)都是必備的基礎(chǔ)知識(shí)。

《院刊》創(chuàng)辦的動(dòng)機(jī)之一便是提供發(fā)表學(xué)院的管理和教學(xué)內(nèi)容的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)術(shù)的方向，從而推廣科學(xué)和技藝的有用知識(shí)并激發(fā)新的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。([11]，i頁) 該院刊以及后來由阿歇特(John Nicolas Pierre Hachette，1769—1834)(5)阿歇特長期作為蒙日的學(xué)生和助手，在蒙日之后為射影幾何的發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。創(chuàng)辦的專門發(fā)表畢業(yè)生或在校生的研究成果的《綜合理工學(xué)院通訊》(Correspondencessurl’écolepolytechnique，以下簡稱《通訊》)為營造綜合理工學(xué)院內(nèi)的學(xué)術(shù)研究氛圍起到了重要作用。本文將在第三部分詳細(xì)論述這些刊物如何推進(jìn)了學(xué)院內(nèi)外的數(shù)學(xué)研究。

因此我們看到，巴黎綜合理工學(xué)院建立之初的設(shè)想并不僅僅是培養(yǎng)專業(yè)方向的工程師，同時(shí)也致力于促進(jìn)理論研究和推動(dòng)科學(xué)發(fā)展。正如數(shù)學(xué)史家董卜爾(Jean Dhombres)所指出的，早期該校的創(chuàng)建人蒙日及拉普拉斯(Pierre-Simon de Laplace，1749—1827)認(rèn)為該校應(yīng)秉持“在教學(xué)中采用最一般性的以及最具理論性的方法，以及最具確定性的和最新的方法，以增強(qiáng)應(yīng)用的范圍和可能性，課程大綱中會(huì)包含一些應(yīng)用的內(nèi)容并進(jìn)行實(shí)踐?！盵12]這說明這些19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到并強(qiáng)調(diào)理論是應(yīng)用的基礎(chǔ)，理論的掌握能夠更廣泛地發(fā)揮實(shí)際應(yīng)用的能力。

這一點(diǎn)與歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)及拉格朗日要將分析學(xué)(6)巴黎綜合理工學(xué)院的分析課的主要內(nèi)容是微積分及其在幾何和力學(xué)上的應(yīng)用。由于本文聚焦巴黎綜合理工學(xué)院的分析課，在文中提及的分析(學(xué))特別指的是這一部分內(nèi)容。分析的涵義歷經(jīng)演變。在古希臘，分析和綜合是幾何證明中的兩個(gè)不同部分。帕普斯(Pappus of Alexandria，約290—350)給出了不同類型分析方法和綜合方法的定義。一般來說，分析是一種將所面對(duì)的問題的解假設(shè)為已知并由其逐步推導(dǎo)直至到達(dá)一個(gè)已知正確或矛盾的結(jié)論的方法，而綜合則是這一過程的逆向過程。分析被看作是發(fā)現(xiàn)的方法，而綜合是證明的方法。17世紀(jì)以后，分析與代數(shù)解方程法相結(jié)合，幾何分析被逐漸取代。18世紀(jì)開始，“代數(shù)分析”(algebraic analysis)成為一個(gè)分支，以有限量為對(duì)象。涉及無窮小量運(yùn)算的微積分則被稱為無窮分析。([4]，232頁；[13])理論及其應(yīng)用領(lǐng)域分開是有共性的。拉格朗日的目標(biāo)甚至比蒙日更加趨向理論化和一般化，這從他們雙方對(duì)待幾何學(xué)的不同態(tài)度即可看出。對(duì)蒙日而言，分析學(xué)與幾何學(xué)應(yīng)當(dāng)緊密聯(lián)系，因?yàn)樗鼈冎g是相互依賴的關(guān)系，后者可為前者提供視覺上的支持。而在拉格朗日看來，分析學(xué)應(yīng)當(dāng)與幾何學(xué)以及力學(xué)分開，因?yàn)楹髢烧咴诒举|(zhì)上與前者是不相同的。([4]，237—238頁) 換言之，拉格朗日的目的是使分析學(xué)成為自洽的獨(dú)立學(xué)科，而不再依附于幾何學(xué)、力學(xué)和其他應(yīng)用領(lǐng)域。這構(gòu)成了推動(dòng)19世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的一股重要力量。

我將在下文中對(duì)拉格朗日的課程以及他在分析學(xué)理論及微積分基礎(chǔ)上所做的努力進(jìn)行闡釋，并說明拉格朗日如何影響了綜合理工范圍內(nèi)的純粹數(shù)學(xué)研究。在最后本文將說明和強(qiáng)調(diào)該校的組長及助教制度培養(yǎng)出了學(xué)生中科學(xué)研究的先鋒，繼而形成了19世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)人才群體，開啟了數(shù)學(xué)家職業(yè)化的一頁。

2 拉格朗日分析課的核心思想

拉格朗日的課程開始于1795年5月，其課程的內(nèi)容由算術(shù)和代數(shù)基礎(chǔ)展開，然后到達(dá)微積分理論及其對(duì)幾何問題和力學(xué)的應(yīng)用。(7)普額尼(Gaspard de Prony，1755—1839)對(duì)拉格朗日在巴黎綜合理工學(xué)院的課程的記錄描述了后者的課程內(nèi)容。[14]在巴黎綜合理工學(xué)院建立之初，由蒙日設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)分析課程包含三個(gè)部分，學(xué)生在第一年學(xué)習(xí)“分析學(xué)的一般理論并將其應(yīng)用于畫法幾何”，第二年學(xué)習(xí)分析“對(duì)力學(xué)和固體的平衡及運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用”，第三年則致力于“分析對(duì)流體的平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用”，(8)參見《中央公共工程學(xué)院采用的教學(xué)規(guī)劃》(Les Développemens sur l’enseignement adopté pour l’école centrale des travaux publics)。([15]，247- 250頁)但拉格朗日的課程則更多聚焦于微積分原理及其方法。

2.1 拉格朗日的微分原理

微積分應(yīng)建立在何種方法之上是拉格朗日的分析課要關(guān)注的主要問題。在1795年至1799年教授的課程基礎(chǔ)上，拉格朗日分別于1797年和1801年發(fā)表了兩部分析學(xué)的重要著作，即《解析函數(shù)論》(Théoriedesfonctionsanalytiques)和《函數(shù)計(jì)算講義》(Le?onssurlecaluldesfonctions)。(9)有關(guān)拉格朗日的微積分思想和方法的論述，本文將主要參考這兩部著作的第一版，僅在論述中涉及不同版本的差別時(shí)另做說明。前者由兩個(gè)部分構(gòu)成，第一部分是微分的一般性理論，第二部分是微分理論對(duì)幾何學(xué)和力學(xué)的應(yīng)用。這一劃分反映出拉格朗日要將分析學(xué)與幾何、力學(xué)等學(xué)科分開的想法。在此，拉格朗日將分析學(xué)看作為獨(dú)立的、可應(yīng)用于幾何學(xué)和力學(xué)的分支。拉格朗日要使分析獨(dú)立于幾何、物理等學(xué)科，就要避免在分析學(xué)的方法和原理中引入幾何、物理的概念或方法。第二部著作是對(duì)微分理論的進(jìn)一步發(fā)展，但不包含應(yīng)用部分。這兩本著作都不包含積分的內(nèi)容，因?yàn)樵诶窭嗜湛磥?，積分是微分的反向過程，它們建立在同樣的方法和原理之上。(10)拉格朗日稱微分為函數(shù)的“正向分析”(direct analysis)，積分為函數(shù)的“反向分析”(inverse analysis)。[16]

《解析函數(shù)論》封面上寫著：“(本書)包含微分的原理，避免了所有對(duì)無窮小量、正在消失的量，極限以及流數(shù)的使用，并歸于有限量的代數(shù)分析”。(11)原文為：contenant les principes du calcul différentiel, dégagé de toute considération d’infiniment petits ou d’évanouissans, de limites ou de fluxions, et réduits l’analyse algébrique des quantités finies。([16]，封面)這表明了拉格朗日的三重意圖。首先，拉格朗日要強(qiáng)調(diào)和重申微積分的原理，即正視和解決關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題。其次，拉格朗日要拋棄其前人賦予微積分的概念或采用的方法。最后，拉格朗日意圖將微積分與代數(shù)統(tǒng)一起來。筆者將在下文對(duì)這三個(gè)方面進(jìn)一步論述，說明拉格朗日分析課的突破性和思想貢獻(xiàn)。

18世紀(jì)的歐洲，微積分在力學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用取得的成果，激發(fā)數(shù)學(xué)家不斷推進(jìn)這些應(yīng)用方向的發(fā)展。當(dāng)然，對(duì)具體物理問題的研究引發(fā)了新的數(shù)學(xué)研究內(nèi)容和研究方法，如流體力學(xué)和彈性理論等，在本質(zhì)上推進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。但個(gè)別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這些所有成果都建立在尚不穩(wěn)固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上。事實(shí)上，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家們幾乎從未中斷過質(zhì)疑作為微積分基礎(chǔ)的無窮小概念，但在其應(yīng)用性能夠保證結(jié)果正確的前提下，大多數(shù)數(shù)學(xué)家并未為此感到煩擾。直至1755年，歐拉將微積分理論作為單獨(dú)的整體進(jìn)行發(fā)表，即著名的《微積分基礎(chǔ)》(InstitutionesCalculidifferentialis)(12)該書由John Blanton翻譯為英文。[17]，這一學(xué)科開始代數(shù)化，并逐步與幾何、力學(xué)及其他應(yīng)用領(lǐng)域分離。之后的數(shù)學(xué)家，特別是拉格朗日不斷跟進(jìn)這一做法。早在1772年拉格朗日在一篇關(guān)于微分算子的論文[18](13)考普曼(Elaine Koppelman)研究了拉格朗日1772年論文對(duì)算子演算方法的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)以及對(duì)英國代數(shù)學(xué)派的影響。[19]中涉及了微積分基本方法，但之后很長時(shí)間沒有回到這一問題上，直至1795年開始在巴黎綜合理工學(xué)院教授分析課程。這一教學(xué)活動(dòng)為拉格朗日提供了思考和改進(jìn)微積分原理及理論基礎(chǔ)的機(jī)會(huì)。[20]

拉格朗日的主張是將微積分建立在級(jí)數(shù)的一般展開式上。從17世紀(jì)中期開始，一些與幾何相關(guān)的數(shù)量如正弦、切線及對(duì)數(shù)等被發(fā)現(xiàn)可以展開為冪級(jí)數(shù)。這使得這些量或數(shù)學(xué)概念可以脫離幾何，完全由代數(shù)符號(hào)表示并進(jìn)行運(yùn)算。對(duì)牛頓(Isaac Newton，1643—1727)以后、柯西以前的數(shù)學(xué)家來說，無窮冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與有限代數(shù)表達(dá)式的運(yùn)算是沒有區(qū)別的。[21]歐拉將級(jí)數(shù)展開變成一個(gè)研究函數(shù)特性的重要方法，特別是對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等超越函數(shù)。到18世紀(jì)末，盡管已經(jīng)出現(xiàn)一些對(duì)級(jí)數(shù)收斂性的考察，但基本都是針對(duì)特殊數(shù)值的級(jí)數(shù)，而所有函數(shù)都可以一般性地展開為一個(gè)無窮冪級(jí)數(shù)為18世紀(jì)數(shù)學(xué)家普遍接受。(14)在不同時(shí)期函數(shù)的概念、范圍以及對(duì)它的認(rèn)識(shí)有所不同。歐拉以及拉格朗日等18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí)的函數(shù)通過他們對(duì)函數(shù)的定義即可發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是一個(gè)由變量和常量通過代數(shù)運(yùn)算或者與超越函數(shù)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算而得到的單一表達(dá)式，或是由多個(gè)不同的表達(dá)式組合而成。而無論是一般的代數(shù)函數(shù)或是對(duì)數(shù)、指數(shù)等超越函數(shù)，對(duì)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家都是已知可展開為冪級(jí)數(shù)的，因而這保證了任意(當(dāng)時(shí)已知的)函數(shù)都可以一般地展開為一個(gè)冪級(jí)數(shù)。歐拉和拉格朗日本人也都說明已有的函數(shù)的展開式將證實(shí)這一點(diǎn)。[22]對(duì)18世紀(jì)的無窮級(jí)數(shù)及函數(shù)的認(rèn)識(shí)，參見文獻(xiàn)[23，24]。拉格朗日的方法正是基于這些對(duì)函數(shù)及級(jí)數(shù)展開式關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

在其《解析函數(shù)論》中，拉格朗日證明對(duì)任意一個(gè)函數(shù)f(x)，x為變量，i為變量x的增量，則函數(shù)f(x+i)可以寫成以下的形式：

(1)

在這一形式中，f(x)被拉格朗日稱為原函數(shù)(primitive function)，而f′(x)，f″(x)，f?(x)等被稱為導(dǎo)函數(shù)(derived functions)。([16]，14- 15頁) 之前的數(shù)學(xué)史家如波約(Carl B. Boyer)、弗瑞澤(Craig Fraser)均將此展開式看作泰勒展開式，因而認(rèn)為拉格朗日的方法是建立在泰勒定理上。([23]，319頁；[25- 27]) 但事實(shí)上，這一形式是由一個(gè)更一般的冪級(jí)數(shù)展開式推導(dǎo)而來。(15)拉格朗日給出的f(x+i)的更一般的形式為f(x)+pi+qi2+ri3+si3+etc.，這是拉格朗日方法的出發(fā)點(diǎn)，即沒有任何預(yù)設(shè)的最一般的函數(shù)展開式。([16]，2頁)從拉格朗日推導(dǎo)給出上式的過程看，拉格朗日的方法并未預(yù)設(shè)泰勒展開式。其次，拉格朗日在其方法中避免引入任何無窮小、極限、流數(shù)等概念或方法，而是從最一般的運(yùn)算概念出發(fā)，這與建立在變量變化速率和流數(shù)方法上的泰勒展開式有本質(zhì)不同。因而從這一歷史視角出發(fā)，本文認(rèn)為將此式直接看作是泰勒展開式不符合拉格朗日的思想。(16)文獻(xiàn)[28]也指出拉格朗日的證明并不需要無窮分析的知識(shí)作為前提。盡管只要引入無窮小量，此式很容易化作泰勒展開式，對(duì)此拉格朗日在其1772年的論文中給出過一個(gè)證明。拉格朗日這樣做是為了說明他的導(dǎo)函數(shù)方法與無窮小方法是等價(jià)的。但如我們已經(jīng)提到的，拒絕在其分析方法中使用算術(shù)和代數(shù)運(yùn)算以外的概念，是拉格朗日的基本思想。如果將他的展開式看作為泰勒展開式，無疑會(huì)疏漏他對(duì)分析學(xué)的這一哲學(xué)性思考。

此外，拉格朗日從一般展開式出發(fā)到上式的推導(dǎo)過程顯示出相鄰的導(dǎo)函數(shù)之間存在一致的關(guān)聯(lián)，即fn(x)是fn-1(x+i)的一般展開式中i的一次冪的系數(shù)(n=1，2，3…，假設(shè)將原函數(shù)標(biāo)記為f0(x)。而且所有的fn(x+i)(n=0，1，2，3…)展開的方法是一致的。(17)此處所用符號(hào)并非拉格朗日所用，但不違背拉格朗日的思想。本文采用的這些符號(hào)是為說明展開式中前后項(xiàng)之間的關(guān)系。如此，對(duì)任一函數(shù)的變量給予一個(gè)增量，將該函數(shù)展開為關(guān)于這一增量的冪級(jí)數(shù)，只要找到展開式中該增量一次冪的系數(shù)便找到了原函數(shù)的一次導(dǎo)函數(shù)。二次以及更高次的導(dǎo)函數(shù)皆可以此算法找到。換句話說，只要找到原函數(shù)展開式的前兩項(xiàng)即可找到該函數(shù)的所有導(dǎo)函數(shù)。這一導(dǎo)函數(shù)統(tǒng)一的算法無疑簡化了拉格朗日的微積分方法。

在1772年的論文中，拉格朗日便聲明函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式理論包含了微分的真正原理。([18]，446- 447頁) 在《解析函數(shù)論》中，拉格朗日首先對(duì)這一展開式給出了一個(gè)證明，他證明在該式中i的所有冪次都是正整數(shù)。([16]，7- 8頁) 以現(xiàn)代視角看，這一證明是不嚴(yán)格的。但這樣看顯然是年代誤植(anachronic)和當(dāng)下主義(presentistic)的。此種視角以當(dāng)下為準(zhǔn)，將歷史闡釋為一系列通向現(xiàn)代的進(jìn)步的過程，而忽視了相應(yīng)歷史時(shí)代的社會(huì)和思想背景。此外，本文意欲說明拉格朗日強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)的一般冪級(jí)數(shù)展開式，即變量x和i必須是不定的，當(dāng)它們?nèi)√厥庵禃r(shí)對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)則可能出現(xiàn)無法收斂或者冪次不為整數(shù)的情況，對(duì)此拉格朗日是忽略的，因?yàn)樗哪繕?biāo)是通過函數(shù)的一般展開式獲得各項(xiàng)冪次的系數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)。而展開式本身是作為達(dá)到這一目的的一個(gè)手段。在1801年《函數(shù)計(jì)算講義》發(fā)表時(shí)，拉格朗日更清晰地指出了導(dǎo)函數(shù)與展開式的關(guān)系：

Le développement des fonctions， envisagé d’une mainière générale， donne naissance aux fonctions dérivées de différens ordres; et l’algorithme de ces fonctions une fois trouvé， on peut les considerer en elles-mêmes et indépendamment des series d’où elles résultent.[29]

函數(shù)的一般展開式可以給出該函數(shù)的所有導(dǎo)函數(shù)；而一旦明確導(dǎo)函數(shù)之間的算法，它們便可以獨(dú)立于展開式成為研究的對(duì)象。如此，對(duì)一個(gè)原函數(shù)，通過簡單的和一致的方法我們將獲得它的所有導(dǎo)函數(shù)。

由此可以說明在拉格朗日的方法中展開式的作用在于：通過一般展開式(1)，拉格朗日定義了任意函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，f″(x)，f?(x)，etc.，即原函數(shù)變量為x+i時(shí)展開式中i的各冪次的系數(shù)(忽略其中的常數(shù))。而導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算則依靠它們之間存在的一致算法關(guān)系。本文將給出一個(gè)簡單的例子，更進(jìn)一步說明拉格朗日獲得導(dǎo)函數(shù)的方法。在求冪函數(shù)xm(m不為零)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)，拉格朗日首先對(duì)原函數(shù)的變量增加一個(gè)任意小的變量i，從而原函數(shù)變?yōu)?x+i)m，應(yīng)用一般的算術(shù)方法將該式展開，其前兩項(xiàng)應(yīng)為xm+mxm-1i。因而原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)則為mxm-1。這里很容易找出導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的算法關(guān)系。如此，拉格朗日直接給出原函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為m(m-1)xm-2。以此類推得到xm其他高階導(dǎo)函數(shù)。([16]，15頁)(18)拉格朗日在《函數(shù)計(jì)算講義》一書中采用了一個(gè)更一般和嚴(yán)格的方法獲得xm的展開式，即不預(yù)設(shè)m為有理數(shù)。([29]，25- 30頁)

由此可以看到，在計(jì)算導(dǎo)函數(shù)時(shí)，拉格朗日并不依賴原函數(shù)的一般展開式。正是由于這一原因，本文提出展開式是拉格朗日對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行定義時(shí)采用的工具，而不是其方法的核心。這也說明拉格朗日的方法并非建立在泰勒公式的基礎(chǔ)上。

2.2 拉格朗日的分析學(xué)嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)方法統(tǒng)一化

如前文所述，在拉格朗日的方法中，只要找到函數(shù)展開式的前兩項(xiàng)而無需給出更多或所有項(xiàng)即可找到其一次導(dǎo)函數(shù)，重復(fù)這一過程可找到更高次的導(dǎo)函數(shù)。另外值得強(qiáng)調(diào)的是，拉格朗日是當(dāng)時(shí)為數(shù)不多的試圖對(duì)任意函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)家，在他看來如此才能保證把分析學(xué)建立在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。([16]，7頁)(19)拉格朗日本人認(rèn)為在他之前沒有數(shù)學(xué)家對(duì)展開式的形式給出過證明。對(duì)拉格朗日這一證明的討論，參見文獻(xiàn)[26]，41- 42頁。在18世紀(jì)，多數(shù)數(shù)學(xué)家很少關(guān)注分析的基礎(chǔ)的問題。自1738年貝克萊(George Berkeley，1685—1753)主教發(fā)表著名的《分析學(xué)家：給一個(gè)無宗教信仰的數(shù)學(xué)家的一封信》(TheAnalyst)[30]對(duì)微積分的基礎(chǔ)概念攻擊以來，一些數(shù)學(xué)家試圖彌補(bǔ)微積分所缺失的嚴(yán)格性。拉格朗日是其中之一，他不但對(duì)貝克萊提出的質(zhì)疑抱著嚴(yán)肅的態(tài)度且持續(xù)對(duì)微積分原理和本質(zhì)進(jìn)行思考(20)拉格朗日1754年寫給歐拉的一封信說明他至少此時(shí)已開始思考和關(guān)注微積分基本原理。([25]，252頁)。歷史學(xué)家格萊畢娜(Judith V. Grabiner)在她的著作《柯西嚴(yán)格分析的起源》(TheOriginsofCauchy’sRigorousCalculus)中分析指出拉格朗日主持了普魯士科學(xué)院1786年的有獎(jiǎng)問題(prize problem)，他希望數(shù)學(xué)家能夠?qū)o窮分析的原理給出嚴(yán)格的解釋。[31]對(duì)這一問題的重視反映出拉格朗日從此時(shí)開始嚴(yán)格化分析學(xué)的愿望。

《解析函數(shù)論》是拉格朗日本人對(duì)此做出的回答，也是對(duì)貝克萊所提問題的一個(gè)回應(yīng)。拉格朗日與貝克萊所持的對(duì)無窮小量、流數(shù)和極限的質(zhì)疑和意見基本一致。在《解析函數(shù)論》及《函數(shù)計(jì)算講義》的前言中，拉格朗日對(duì)前人采用的微積分概念逐一分析，說明這些概念或相應(yīng)方法的無法證明之處或不嚴(yán)格和晦澀之處，并拒絕在其分析著作中采用這些概念或方法。這說明拉格朗日在認(rèn)識(shí)和理解這些前人方法時(shí)帶有一定的認(rèn)識(shí)論價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)。通過深入分析拉格朗日對(duì)微積分不同方法的描述和他對(duì)這些概念的評(píng)判，筆者在《古希臘文本與分析的嚴(yán)格化》一文中揭示出拉格朗日在其分析學(xué)著作中追求的四項(xiàng)認(rèn)識(shí)論價(jià)值，即一般性、簡單性、嚴(yán)格性和清晰性(21)該文用英文發(fā)表，題目為“Greek Texts and the Rigorization of Analysis: An Inquiry into Lagrange’s Work on the History of Mathematics”(《古希臘文本與分析的嚴(yán)格化：對(duì)拉格朗日的數(shù)學(xué)史工作的研究》)。[32]。拉格朗日以這些價(jià)值作為標(biāo)準(zhǔn)，尋找并確立微積分的基礎(chǔ)方法。這是他嚴(yán)格化分析學(xué)的一個(gè)層面。另一個(gè)層面是他宣稱要將古希臘證明中的嚴(yán)格性引入其分析著作，并在分析學(xué)在幾何上的應(yīng)用問題中實(shí)踐了這一想法。在這一意義上，拉格朗日早于柯西已經(jīng)開始了分析的嚴(yán)格化，盡管他們對(duì)嚴(yán)格性的認(rèn)識(shí)有所不同。(22)與拉格朗日不同，對(duì)柯西來說，任意地使用函數(shù)的一般級(jí)數(shù)展開式是不嚴(yán)格的。后者強(qiáng)調(diào)級(jí)數(shù)的收斂性和公式的成立條件，并且認(rèn)為對(duì)極限、連續(xù)等最基本概念要給出更準(zhǔn)確的定義。對(duì)柯西的分析嚴(yán)格化的研究可參見[31]。嚴(yán)格性概念本身是歷史性的，也就是說隨著時(shí)代和思想背景的不同，對(duì)嚴(yán)格性的認(rèn)識(shí)是變化的。數(shù)學(xué)家依據(jù)其對(duì)數(shù)學(xué)的不同看法、所持有的不同數(shù)學(xué)方法或不同的認(rèn)識(shí)論價(jià)值都會(huì)造成對(duì)嚴(yán)格性的認(rèn)識(shí)不同，更多討論參見文獻(xiàn)[33]。

最后，拉格朗日要將其函數(shù)分析，即所謂的微積分或無窮分析與以有限量為對(duì)象的“代數(shù)分析”統(tǒng)一起來。在其分析課中，拉格朗日表明微積分不應(yīng)使用任何代數(shù)以外的語言，他反對(duì)牛頓的流數(shù)概念亦緣于此，他反對(duì)將速度和運(yùn)動(dòng)等物理概念引入數(shù)學(xué)，而且牛頓的方法無法與幾何分開。拉格朗日也反對(duì)微積分中使用不清晰的概念，如達(dá)朗貝爾(Jean le Rond d’Alembert，1717—1783)的極限方法中出現(xiàn)0與0的比的時(shí)刻。([16]，3- 4頁；[29]，7- 9頁) 對(duì)拉格朗日來說，“分析學(xué)，應(yīng)當(dāng)避免任何形而上學(xué)，而應(yīng)僅僅建立在運(yùn)算的基本原理之上”。(23)原文為： l’analyse, qui ne doit avoir d’autres métaphysique que celle qui consiste dans les premiers principes et dans les premières operations fondamentales du calcul。([29]，8頁)這也是拉格朗日將微積分建立在冪級(jí)數(shù)展開式方法之上的重要原因之一。冪級(jí)數(shù)展開式方法中涉及的運(yùn)算與代數(shù)是一致的。(24)拉格朗日對(duì)代數(shù)運(yùn)算有一個(gè)廣泛的定義，包含了通過冪級(jí)數(shù)展開式獲得導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算。([29]，11頁)筆者在前文中提到過拉格朗日在巴黎綜合理工學(xué)院的課程內(nèi)容除了無窮分析還包括算術(shù)和代數(shù)基礎(chǔ)。目前很少有數(shù)學(xué)史家強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，但事實(shí)上拉格朗日對(duì)其課程的設(shè)計(jì)反映了其對(duì)數(shù)學(xué)各分支方法進(jìn)行統(tǒng)一化的思想。(25)在一篇拉格朗日的手稿中，拉格朗日說明了其數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的思路。該手稿由L. Pepe發(fā)表。[34]對(duì)拉格朗日而言，整個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)建立在算術(shù)-代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，微積分應(yīng)與代數(shù)結(jié)合并在方法上取得統(tǒng)一，并且它們都獨(dú)立于幾何學(xué)、力學(xué)及物理學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域。[35]

盡管19世紀(jì)微積分的發(fā)展沒有沿著拉格朗日的代數(shù)化思想前行，但他在嚴(yán)格化分析學(xué)以及發(fā)展純粹數(shù)學(xué)理論和關(guān)注數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等方面都做出了重要貢獻(xiàn)并發(fā)揮了先驅(qū)的作用。拉格朗日在分析學(xué)的思想、工具和定理上發(fā)展出新的內(nèi)容，包括函數(shù)變換、余項(xiàng)定理，以及接近現(xiàn)代分析的一些方法。這些都被其后繼者包括柯西用于推進(jìn)分析學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域，促進(jìn)了19世紀(jì)經(jīng)典分析的產(chǎn)生和發(fā)展。([31]，46頁)

數(shù)學(xué)史家白魯諾指出，盡管在巴黎綜合理工學(xué)院內(nèi)部，拉格朗日和蒙日的課程對(duì)大多數(shù)學(xué)生由于難度過高而變成邊緣和選修的課程，但無論在該學(xué)院范圍之內(nèi)還是之外它們都產(chǎn)生了重要影響，以這些課程為基礎(chǔ)發(fā)表的著作成為19世紀(jì)數(shù)學(xué)家的重要讀物和參考。([4]，238- 239頁) 學(xué)院鼓勵(lì)最優(yōu)秀的學(xué)生對(duì)所教授的內(nèi)容進(jìn)行探究，拉格朗日課程的較高難度可能恰恰給他們提供了進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究的契機(jī)，帶動(dòng)他們對(duì)分析課的內(nèi)容和方法進(jìn)行探索。該校重視并監(jiān)督學(xué)生的自修時(shí)間，保證了學(xué)生自行掌握所學(xué)內(nèi)容。(26)拉普拉斯作為學(xué)院的畢業(yè)考試常任考官(examinateur de sortie)，對(duì)學(xué)院的教學(xué)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)有很大影響。在他的建議下，學(xué)院的分析課從1797年開始由每十天2次增加到3次，1800年增加到4次，并規(guī)定每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)課當(dāng)天自修數(shù)學(xué)的時(shí)間至少在兩個(gè)小時(shí)。([4]，246- 247頁)。很多優(yōu)秀學(xué)生最終選擇成為數(shù)學(xué)教師并開展數(shù)學(xué)研究，構(gòu)成了19世紀(jì)推進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的重要力量。下文將對(duì)巴黎綜合理工學(xué)院的學(xué)生培養(yǎng)和管理方式進(jìn)行闡釋，以展示這些方面如何對(duì)該校的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究發(fā)揮積極作用。

3 巴黎綜合理工學(xué)院的數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)

巴黎綜合理工學(xué)院建立之初，為了加快人才培養(yǎng)為國家效力，該學(xué)院設(shè)計(jì)了“非常課程”(cours révolutionaire)(27)這一課程沿用了蒙日在大革命期間設(shè)計(jì)的培養(yǎng)軍事人才的快速方法，這也是1794年巴黎高師快速培養(yǎng)教師的方式。([4]，112- 113頁) 本文將此翻譯為“非常課程”，從而與之后的常規(guī)課程形成對(duì)照。關(guān)于“非常課程”的更詳盡內(nèi)容，見文獻(xiàn)[15]。，旨在三個(gè)月內(nèi)讓學(xué)生快速學(xué)習(xí)各門課程的所有重要內(nèi)容。之后，他們將參加考試并按成績被分成三個(gè)水平等級(jí)，最差一級(jí)的學(xué)生將在完成三年的學(xué)習(xí)之后參加畢業(yè)考試，而第二等級(jí)和最高等級(jí)的學(xué)生在完成兩年的學(xué)習(xí)之后即可參加畢業(yè)考試。(28)這是第一年招收的學(xué)生的分配和上課情況，之后招收的學(xué)生則按順序完成三年的課程才能參加畢業(yè)考試。1798年之后學(xué)制由三年改為兩年。([7]，72頁)第一批招收的大約四百名學(xué)生于1794年11月入學(xué)，他們?cè)谕瓿扇齻€(gè)月的“非常課程”并被分配年級(jí)之后，于1795年5月開始進(jìn)入常規(guī)的課程學(xué)習(xí)。

3.1 優(yōu)秀學(xué)生的培養(yǎng)和選拔

學(xué)院的《院刊》在第三期刊出了各學(xué)年各門課程的內(nèi)容大綱和時(shí)間安排，也規(guī)定了組長(chef de brigade)的職責(zé)。以數(shù)學(xué)課為例，每個(gè)年級(jí)每十天(29)在法國大革命期間，法國采取十天(décade)作為一個(gè)時(shí)間單位，一個(gè)月由三個(gè)十天組成，在之后改為以一星期七天為單位。有兩天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，“射影幾何課從早上八點(diǎn)開始，九點(diǎn)多結(jié)束。之后，學(xué)生被組長帶到指定的教室進(jìn)行自修并做課后作業(yè)至下午兩點(diǎn)。下午五點(diǎn)至晚上八點(diǎn)是分析課和繪圖課?！盵36]每個(gè)年級(jí)的學(xué)生以20人為單位分成不同的學(xué)習(xí)小組，每個(gè)小組設(shè)一名組長。組長是從最優(yōu)秀的畢業(yè)生中選拔出來并由學(xué)院院長任命的，他們的職責(zé)是課后帶領(lǐng)及指導(dǎo)所負(fù)責(zé)小組的學(xué)生進(jìn)行試驗(yàn)和課后復(fù)習(xí)，并解答他們的問題。([36]，xij- xiij頁) 這一機(jī)制繼承自蒙日在梅濟(jì)耶爾學(xué)院時(shí)期培養(yǎng)并引導(dǎo)部分優(yōu)異的學(xué)生自行進(jìn)行課外研究的想法。

第一批巴黎綜合理工學(xué)院的25名組長在該學(xué)院常規(guī)課程開始前從50名優(yōu)異者中遴選出來。從1798年起，每門課程從組長中選出2—3名優(yōu)異者作為助教(repetiteur)。分析課的助教由迪內(nèi)(Charles Lous Dinet，1775—1856)及佛蘭克爾(Louis Benjamin Francoeur，1773—1849)擔(dān)任，后期又增加了泊松(Siméon Denis Poisson，1781—1840)。(30)根據(jù)巴黎綜合理工學(xué)院的錄取記錄，迪內(nèi)、佛蘭克爾均于1794年進(jìn)入該校，后者也是第一批25個(gè)組長之一。泊松于1798年進(jìn)入該校，并被選為組長。助教在大教室為學(xué)生復(fù)習(xí)和強(qiáng)化上一次課程的內(nèi)容和重點(diǎn)，并在晚間自習(xí)的時(shí)間為組長進(jìn)行復(fù)習(xí)。([4]，188、247頁) 在督促和指導(dǎo)其他學(xué)生的實(shí)驗(yàn)以及課后作業(yè)之外，組長和助教們針對(duì)拉格朗日以及蒙日等教師所教授的內(nèi)容展開自己的研究。研究的成果被鼓勵(lì)發(fā)表在學(xué)院的《院刊》或是后來創(chuàng)辦的《通訊》上。學(xué)院的《院刊》主要刊登教師的授課內(nèi)容和與課程相關(guān)的研究。拉格朗日的《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計(jì)算講義》除各有兩個(gè)已知版本外，也分別被刊登在第9期和第10期的《院刊》上。由于《院刊》的版面不足以支撐更多的內(nèi)容，《通訊》便作為它的一個(gè)補(bǔ)充而出現(xiàn)了。下文將對(duì)《通訊》上的文章題目及作者做一整體分析，以展示年輕教師(組長和助教)及學(xué)生在數(shù)學(xué)及其應(yīng)用方面的研究。

3.2 學(xué)院刊物對(duì)數(shù)學(xué)研究和交流的促進(jìn)

從1804年開始至1812年結(jié)束，《通訊》共出兩卷，共15期，除發(fā)表學(xué)院內(nèi)部教師和學(xué)生的論文還同時(shí)通報(bào)與學(xué)院相關(guān)的新聞事件以及各類政策和制度規(guī)定。每一期包含三至五個(gè)部分，第一部分為涉及數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等不同學(xué)科或者它們的應(yīng)用方面的論文，第二部分通常是有關(guān)學(xué)校的各項(xiàng)規(guī)定、政策。第三部分則是各年錄取的學(xué)生名單和畢業(yè)生的就業(yè)去向；通常也會(huì)有一部分介紹與學(xué)校相關(guān)的政府立法。在所發(fā)表的研究文章中，幾乎都是對(duì)課程中的具體的定理的證明或是對(duì)某個(gè)問題的分析或解答。解析幾何以及射影幾何方面的內(nèi)容占多數(shù)，原因可能是《通訊》的創(chuàng)辦人阿歇特作為蒙日的助手更加側(cè)重幾何學(xué)方面的研究，他本人也為《通訊》貢獻(xiàn)了最多的文章，包括他本人的研究以及他對(duì)其他作者研究的通告?！锻ㄓ崱分形恼碌淖髡甙藢W(xué)院的教師、各門課程的助教以及學(xué)生，如前文提到的泊松。他1798年進(jìn)入巴黎綜合理工學(xué)院，并被選拔為“組長”，1800年被任命為分析課“助教”，并在兩年后接替傅里葉(Joseph Fourier，1768—1830)成為正式的分析課教師之一。在《通訊》上，泊松僅次于阿歇特貢獻(xiàn)了12篇論文。其中，在《通訊》的第一期，他給出了一個(gè)泰勒定理的新證明，并強(qiáng)調(diào)其證明的嚴(yán)格性。事實(shí)上，泊松的證明是在拉格朗日的證明基礎(chǔ)上給出的。如前文中說明的，拉格朗日在其分析課中對(duì)任意函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的形式給出了證明，泊松更進(jìn)了一步，因?yàn)樗淖C明比拉格朗日設(shè)定了更少的前提條件。(31)關(guān)于泊松給出的證明，參見文獻(xiàn)[37]。這一事實(shí)也說明了綜合理工學(xué)院內(nèi)年輕教師以及學(xué)生對(duì)拉格朗日所教授的課程內(nèi)容有深入的探索。

在此意義上，《通訊》成為了一個(gè)學(xué)院內(nèi)部的交流平臺(tái)，也鼓勵(lì)了更多的教師和學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)定理和問題的研究，這些研究結(jié)果的發(fā)表繼而又引發(fā)了更多超越學(xué)院范圍的探索和討論。1806年，阿歇特在《通訊》第一卷第七期上提到有多名學(xué)生對(duì)蒙日提出的一個(gè)重要定理給出了證明，當(dāng)時(shí)是二年級(jí)學(xué)生的柯西便在其中。在同一期，阿歇特還刊登了柯西關(guān)于三個(gè)給定圓的共切圓問題的研究概要，并認(rèn)為柯西的解具有十分顯著的簡單性。在《通訊》的第二卷中刊登了柯西1811年提交給科學(xué)院的一篇有關(guān)多面體研究論文的摘要，勒讓德對(duì)此給予了很高的評(píng)價(jià)。如此，《通訊》見證和鼓勵(lì)了泊松、柯西等優(yōu)秀的年輕教師和學(xué)生的早期成就，開啟了他們數(shù)學(xué)研究的生涯，并推動(dòng)了19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

《通訊》的影響已超出了學(xué)院范圍。1810年由熱爾崗(Joseph Diaz Gergonne，1771—1859)創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年刊》(Annalesdesmathématiquespuresetappliquées，orAnnalesdeGergonne，也常被稱作《熱爾崗年刊》)，被認(rèn)為是歷史上第一份重要的數(shù)學(xué)專業(yè)期刊。[38]事實(shí)上，熱爾崗一直是《通訊》的讀者，在《通訊》的第2卷刊登了一封來自熱爾崗的信，他提到自己一直對(duì)《通訊》“熱切地關(guān)注著，并期盼它的出版頻率能夠更高，以饗科學(xué)家和熱愛科學(xué)的那些人”。([37]，第2卷：96頁) 由此我們可以猜想，正是《通訊》啟發(fā)了熱爾崗創(chuàng)辦和定期發(fā)行《年刊》的想法。后來，《年刊》以及其他19世紀(jì)上半葉創(chuàng)辦的學(xué)術(shù)期刊，如法國數(shù)學(xué)家劉維爾(Joseph Liouville，1809—1882)的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》及德國的《克萊爾雜志》(32)這兩份雜志全名分別為Journal de mathématiques pures et appliquées和Journal für die reine und angewandte mathematik。前者的創(chuàng)辦人劉維爾亦畢業(yè)于巴黎綜合理工學(xué)院。都沿襲了《通訊》作為激勵(lì)年輕數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究和交流平臺(tái)的特質(zhì)。更有意思的是，這些數(shù)學(xué)期刊的作者主要是“綜合理工人”，即畢業(yè)于巴黎綜合理工學(xué)院的學(xué)生，也就是說，從《通訊》開始，“綜合理工人”這一群體已經(jīng)開始扮演促進(jìn)和傳播數(shù)學(xué)研究的重要角色。

另外，值得一提的是，巴黎綜合理工學(xué)院的圖書館在早期設(shè)立的目的之一亦是促進(jìn)該校教師及學(xué)生的研究工作。在該學(xué)院圖書館初建時(shí)，第二任館員佩哈爾(Fran?ois Peyrard，1759—1822)就致力于為該校師生提供自學(xué)和研究的便利。從1795年至1804年的任期內(nèi)，他為圖書館策劃、購買了大量關(guān)于科學(xué)與藝術(shù)的古典或是現(xiàn)代的書籍，使館藏?cái)?shù)量從一千冊(cè)左右增加至一萬冊(cè)。[39]因此佩哈爾也被認(rèn)為是學(xué)院圖書館的真正創(chuàng)建人。通曉希臘語的他也在拉格朗日以及天文學(xué)家德朗布爾(Jean-Baptiste Delambre，1749—1822)的影響和鼓勵(lì)下，對(duì)歐幾里得《原本》和阿基米德的數(shù)學(xué)著作進(jìn)行研究并將它們翻譯成法語，這使古希臘數(shù)學(xué)在19世紀(jì)初獲得了擴(kuò)散。而這一活動(dòng)也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。(33)文獻(xiàn)[32]關(guān)注拉格朗日及佩哈爾等人對(duì)古希臘著作的翻譯和傳播所做的工作，并闡明和強(qiáng)調(diào)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)著作的研究使拉格朗日這樣的數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)史中獲得了有用的內(nèi)容和重要的方法，從而發(fā)展了他的數(shù)學(xué)研究。我們看到，無論是刊物的創(chuàng)辦和圖書館的設(shè)置都體現(xiàn)了巴黎綜合理工學(xué)院內(nèi)鼓勵(lì)開展研究的氛圍。從教師到圖書館員，從組長、助教到學(xué)生都不同程度地投入到數(shù)學(xué)研究之中。

在這樣的氛圍下，巴黎綜合理工學(xué)院培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才。(34)除已前文已提到的泊松、柯西和劉維爾，還有馬呂斯(étienne Louis Malus，1775—1812)、龐斯來(Louis Poinsot，1777—1859)、沙勒(Michel Chasles，1793—1880)等。更全的名單見文獻(xiàn)[40]。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，19世紀(jì)的法國科學(xué)院在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理3個(gè)部門中的院士大多畢業(yè)于或執(zhí)教于巴黎綜合理工學(xué)院。[41]從該校走出的學(xué)生除了服務(wù)于公共建設(shè)，很多之后成為巴黎綜合理工學(xué)院或者其他重要機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)教師，構(gòu)成了以數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)研究為職業(yè)的群體，(35)專業(yè)院校類教育機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)教師是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家職業(yè)化的特征，現(xiàn)代性質(zhì)的大學(xué)也是在此時(shí)出現(xiàn)。而在此之前，為數(shù)學(xué)做出貢獻(xiàn)的人中很少有以教授和研究數(shù)學(xué)為主要職業(yè)的。[20，42]從而影響和促進(jìn)了19世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展。但不同于德國在新人文主義的影響下對(duì)純粹數(shù)學(xué)去應(yīng)用性的追求，法國的純粹數(shù)學(xué)發(fā)展與應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)合得更緊密，理論作為應(yīng)用的基礎(chǔ)獲得巨大發(fā)展。在目標(biāo)是培養(yǎng)工程師的教育背景下，19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家的主要工作仍然涉及應(yīng)用問題，但在應(yīng)用性應(yīng)建立在理論基礎(chǔ)上這一觀念下，他們的目標(biāo)首先是發(fā)展數(shù)學(xué)理論的一般性，如此其應(yīng)用于實(shí)際的可能性也將增加。(36)根據(jù)白魯諾的主張，既對(duì)應(yīng)用抱有的興趣，同時(shí)也保持對(duì)理論的偏好是以綜合理工人為代表的19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家群體的兩個(gè)特征，這二者之間是互動(dòng)的。[43]同時(shí)，對(duì)應(yīng)用抱有興趣又反過來促進(jìn)了理論的發(fā)展。(37)以19世紀(jì)法國重要的數(shù)學(xué)家劉維爾為例，他在電力學(xué)(electrodynamics)方面的工作促進(jìn)了他對(duì)分?jǐn)?shù)微積分的研究。根據(jù)其傳記作者的意見，在劉維爾的很多重要數(shù)學(xué)思想一直受到他在物理學(xué)領(lǐng)域的工作的啟發(fā)。[44]

4 結(jié) 語

從巴黎綜合理工學(xué)院建立之初，數(shù)學(xué)——作為一切應(yīng)用領(lǐng)域的基礎(chǔ)——便奠定了它在該校的地位。一流的數(shù)學(xué)家如拉格朗日將研究融于教學(xué)之中，同時(shí)教學(xué)亦促進(jìn)了其數(shù)學(xué)研究。與今天大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是教授和重復(fù)既有的數(shù)學(xué)知識(shí)的常情不同，在19世紀(jì)上半葉的歐洲教學(xué)是數(shù)學(xué)家重要的研究和發(fā)展前沿?cái)?shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。(38)格萊畢娜和伯塔茲尼(Umberto Bottazzini)也都曾指出教學(xué)是拉格朗日、柯西、魏爾斯特拉斯以及戴德金(Richard Dedekind，1831—1916)等數(shù)學(xué)家發(fā)展數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的重要推動(dòng)力。伯塔茲尼說明，魏爾斯特拉斯在教授分析函數(shù)論的課程時(shí)展開了對(duì)嚴(yán)格性的考慮。([31]，25頁；[3]，42頁)這一點(diǎn)說明了教學(xué)與研究相結(jié)合的方式對(duì)科學(xué)的發(fā)展起到顯著的推動(dòng)作用，巴黎綜合理工學(xué)院早期的課程正體現(xiàn)出這一特點(diǎn)。這也是19世紀(jì)后期德國數(shù)學(xué)興起的原因。

在本文中，拉格朗日的例子向我們展示了他從科學(xué)院院士變?yōu)閿?shù)學(xué)教師之后對(duì)數(shù)學(xué)分析理論的發(fā)展和對(duì)微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化所做的工作。拉格朗日的教學(xué)啟發(fā)了他的學(xué)生，并使更多綜合理工學(xué)院的教師和學(xué)生加入到數(shù)學(xué)研究中。正是這些年輕教師和學(xué)生構(gòu)成了19世紀(jì)法國重要的數(shù)學(xué)家群體，扮演了推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要角色。他們就分析學(xué)的不同理論和問題給出新的證明或解法，從而促進(jìn)了該數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。正是在這種情況下，柯西作為其中的一個(gè)代表和拉格朗日的后繼者在經(jīng)典分析的理論方法和嚴(yán)格性上做出了更多突破性的工作。以《綜合理工學(xué)院通訊》為代表的刊物扮演了鼓勵(lì)年輕教師和學(xué)生參與數(shù)學(xué)研究的重要角色，并影響了19世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)專業(yè)期刊的產(chǎn)生和發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和傳播。

致 謝感謝周霄漢博士、王濤博士、劉燁昕博士對(duì)本文的通篇預(yù)讀和給予的誠懇建議。感謝兩位匿名評(píng)審專家提出的寶貴意見，特致謝忱!