于珊珊，李為民，楊先海

(1. 河北工業(yè)大學機械工程學院，天津300130； 2. 山東理工大學機械工程學院，山東淄博255000)

球面并聯(lián)機構(gòu)是一種具有重要應(yīng)用價值的并聯(lián)機構(gòu)[1-3]。與傳統(tǒng)的串聯(lián)機構(gòu)相比較，球面并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)通常比較復雜，工作空間相對較小，且存在諸多不易計算的奇異位姿，對此，國內(nèi)外學者展開了一系列的研究[4-6]。Tao等[7]開發(fā)了一種系統(tǒng)設(shè)計方法——最小干涉法(LIDeM)，可以減少機構(gòu)鏈接之間的干涉，增大機構(gòu)的工作空間。李寒冰等[8]設(shè)計了一種新型2PUS-2PRU并聯(lián)機構(gòu)，可用于太陽追蹤裝置，并采用遺傳算法對工作空間和靈巧度進行綜合優(yōu)化，優(yōu)化后的工作空間在各方向上均明顯增大。趙瑞杰等[9]提出一種新型3-PPR球面并聯(lián)機構(gòu)，得出了機構(gòu)產(chǎn)生奇異位形的條件和奇異位形的類型，驗證了3-PPR機構(gòu)不存在奇異位置，機構(gòu)的工作空間無空洞，是完整的少半球面。王超群等[10]針對三自由度3-RRR球面并聯(lián)機構(gòu)，基于四元數(shù)建立運動學模型，找到了機構(gòu)碰撞干涉的條件，依據(jù)該條件對3-RRR機構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，實現(xiàn)了完整的球面工作空間。

當前球面并聯(lián)機構(gòu)工作空間的研究主要集中在對現(xiàn)有機構(gòu)的優(yōu)化分析，但針對球面解耦并聯(lián)機構(gòu)工作空間最大化的研究仍比較少。面對當前科技發(fā)展對機構(gòu)大工作空間的要求，如空間360°測量、空間定位定向、未知環(huán)境探測等，現(xiàn)有的球面解耦并聯(lián)機構(gòu)已無法滿足大角域工作范圍的需求，因此對全球面工作空間并聯(lián)機構(gòu)的研究顯得尤為重要。

針對現(xiàn)有二自由度球面解耦并聯(lián)機構(gòu)工作空間不足的問題，本文中提出一種新型二自由度RR-P5R型球面解耦并聯(lián)機構(gòu)，以實現(xiàn)完整的球面工作空間，對該機構(gòu)進行誤差分析，為RR-P5R型機構(gòu)的參數(shù)設(shè)計、控制以及誤差補償提供參考數(shù)據(jù)。

1 新型運動支鏈

圖1所示為RR-PRR型球面解耦并聯(lián)機構(gòu)[11]，動平臺通過轉(zhuǎn)動支鏈和直線輸入支鏈與靜平臺相連。轉(zhuǎn)動支鏈由轉(zhuǎn)動副R1、R2組成，轉(zhuǎn)動副R1的軸線為Y軸，轉(zhuǎn)動副R2的軸線為X軸，軸線Y軸與X軸是正交的；直線輸入支鏈由移動副P和轉(zhuǎn)動副R3、R4組成。只有當直線輸入支鏈中移動副P的輸入方向平行于轉(zhuǎn)動支鏈中轉(zhuǎn)動副R1的軸線時才能實現(xiàn)機構(gòu)的運動解耦。

RR-PRR型球面解耦并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)動支鏈輸出角θ1的范圍為[0°,360°]； 但是，由于摩擦圓的原因，直線輸入支鏈控制的輸出角θ2的范圍區(qū)間總是包含于[0°,180°]，通過運動耦合后，機構(gòu)的工作空間并不是完整的球面，因此，如何使直線輸入支鏈控制的輸出角θ2的范圍區(qū)間包含[0°,180°]，成為全球面工作空間解耦并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型研究需要解決的關(guān)鍵技術(shù)問題。

雙搖桿機構(gòu)的輸入與輸出具有以下特點：如果主動搖桿為最長桿件，則從動桿件的極限擺角大于主動搖桿的；如果從動搖桿為最長桿件，則主動桿件的極限擺角大于從動搖桿的。

結(jié)合雙搖桿機構(gòu)輸入與輸出之間存在差異化的特性，找到了使直線輸入支鏈控制的輸出角能夠達到180°的解決方法。以雙搖桿機構(gòu)的長桿作為直線輸入支鏈的輸入，雙搖桿機構(gòu)的短桿作為直線輸入支鏈的輸出，使輸出角極限大于180°，而輸入角極限小于180°。根據(jù)二自由度球面解耦并聯(lián)機構(gòu)直線輸入支鏈的構(gòu)型要求，輸入形式必須為直線輸入，輸出形式必須為轉(zhuǎn)動輸出，因此，可將雙搖桿機構(gòu)進行變型，得到P5R型運動支鏈，如圖2所示。

R1、R2、R3、R4、R5、R6、R7—轉(zhuǎn)動副; P—移動副; e—偏置距離; Y、Z—坐標軸。圖2 P5R型運動支鏈

2 RR-P5R全球面解耦并聯(lián)機構(gòu)

基于P5R型直線輸入支鏈，所設(shè)計的二自由度RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯(lián)機構(gòu)的三維模型如圖3所示。動平臺通過轉(zhuǎn)動支鏈和直線輸入支鏈與靜平臺相連，即：轉(zhuǎn)動支鏈由轉(zhuǎn)動副R1和轉(zhuǎn)動副R2組成，其旋轉(zhuǎn)軸線相互正交，根據(jù)組成該支鏈稱為RR運動支鏈；直線輸入支鏈由移動副P和轉(zhuǎn)動副R3、R4、R5、R6、R7組成，根據(jù)組成該支鏈稱為P5R型運動支鏈。兩者組成了RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯(lián)機構(gòu)。

R1、R2、R3、R4、R5、R6、R7—轉(zhuǎn)動副; θ1、θ2—輸出量。圖3 RR-P5R型全球面解耦并聯(lián)機構(gòu)

轉(zhuǎn)動副R1由轉(zhuǎn)動電機驅(qū)動，移動副P由直線電機驅(qū)動。移動副P的移動軸線與轉(zhuǎn)動副R1的旋轉(zhuǎn)軸線重合，且移動副P通過結(jié)構(gòu)設(shè)計可以實現(xiàn)與轉(zhuǎn)動副R1一同轉(zhuǎn)動，而直線電機不會與轉(zhuǎn)動副R1一同轉(zhuǎn)動，可以有效減小轉(zhuǎn)動電機的載荷。該機構(gòu)的轉(zhuǎn)動支鏈的輸出角θ1的范圍為[0°,360°]，由直線輸入支鏈控制的輸出角θ2的范圍為[0°,180°]。RR-P5R型球面解耦并聯(lián)機構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)完整的球面工作空間。

3 機構(gòu)相鄰桿件間的變換矩陣

應(yīng)用Denavit-Hartenberg(D-H)方法建立各構(gòu)件的坐標系，如圖4所示。轉(zhuǎn)動副R1R2、R6R7、R3R4、R4R5之間的桿件依次標記為Link1、Link3、Link4、Link5。Link2為特殊形狀桿件，其余均為直連桿。Link1的長度為L6，高度為L0，Link2的偏置距離為e，Link3的長度為L5，Link4的長度為L3，Link5的長度為L2，動平臺的長度為L1，移動副P的位移量為P，θi(i=1,3,4,5,6,7,8)為繞Zi軸的相對轉(zhuǎn)角。

設(shè)定坐標系XYZ固定于靜平臺，原點位于靜平臺與轉(zhuǎn)動副R1的交點處； 坐標系XiYiZi(i=1,2,…,9)位于連桿上，各坐標系原點位于相應(yīng)轉(zhuǎn)動副的軸心，桿長方向設(shè)定為X軸，轉(zhuǎn)動副軸線方向設(shè)定為Z軸，則根據(jù)右手螺旋準則可確定Y軸方向。

XiYiZi(i=1,2,…,9)—位于各轉(zhuǎn)動副的坐標系; θi(i=1,3,4,5,6,7,8)—繞Zi軸的相對轉(zhuǎn)角; Linki(i=1,2,…,5)—桿件。圖4 RR-P5R型機構(gòu)坐標系

設(shè)空間中任意一點在X1Y1Z1中的坐標為U1=(x1,y1,z1)T，在XYZ中的坐標為U=[x,y,z]T，則

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Trans(0,-L0,0)Rot(z,θ8) ；

(9)

(10)

4 位姿誤差分析

機構(gòu)精度是機構(gòu)性能的重要指標。實際機構(gòu)從動件的位置、速度、加速度與理想機構(gòu)從動件對應(yīng)運動參數(shù)之間的誤差，被稱為機械誤差[12-14]。雖然誤差不可避免，但可以無限縮小，誤差越小，機構(gòu)的精度也就越高。研究機構(gòu)精度，實際上就是研究機械誤差。

4.1 位姿誤差模型

結(jié)合上述桿件變化矩陣，采用環(huán)路增量法建立機構(gòu)位姿誤差模型。為了簡化方程，c代表cos，s代表sin，c1表示cosθ1，s1表示sinθ1,以此類推。

(11)

(12)

δZ=dθ1+{dθ6c1[c5(c3c4s1+s1s3s4)-s5(c3s1s4-

(13)

dX=dL3(c1c3s4-c1c4s3)+dL2[c5(c1c3s4-c1c4s3)+

s5(c1s3s4+c1c3c4)]+dec1+L6dθ3c1+Pdθ3c1+c1c3

[(dL3s4)/2-L5dθ4+L3dθ4c4]-L3dθ5(c1s3s4+

c1c3c4)-c1s3[dL5-(dL3c4)/2+L3dθ4s4]-dL2dθ6·

[c5(c1s3s4+c1c3c4)-s5(c1c3s4-c1c4s3)]-

(14)

dY=dL3(c3s1s4-c4s1s3)+dL2[c5(c3s1s4-c4s1s3)+

s5(c3c4s1+s1s3s4)]+des1-L2dθ6[c5(c3c4s1+

s1s3s4)-s5(c3s1s4-c4s1s3)]+L6dθ3s1+dθ3Ps1+

c3s1[(dL3s4)/2-L5dθ4+L3dθ4c4]-L3dθ5(c3c4s1+

s1s3s4)-s1s3[dL5-(dL3c4)/2+L3dθ4s4]-

(15)

dZ=dL6+dP+dL2[c5(c3c4+s3s4)-s5(c3s4-c4s3)]-

dθ3e+dL3(c3c4+s3s4)+s3[(dL3s4)/2-L5dθ4+

L3dθ4c4]+c3[dL5-(dL3c4)/2+L3dθ4s4]+

L2dθ6[c5(c3s4-c4s3)+s5(c3c4+s3s4)]+

L3dθ5(c3s4-c4s3)+[dθ4c3(ec3+L6s3+Ps3)]/

(16)

式中δX、δY、δZ、dX、dY、dZ即為RR&P5R型全球面工作空間解耦并聯(lián)機構(gòu)的位姿誤差模型。

4.2 速度誤差模型

RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯(lián)機構(gòu)桿件之間的變化矩陣Ai對時間t求導后為

(17)

(18)

令

(19)

式(18)可化簡為

(20)

已知

dAi=i-1ΔiAi，

(21)

式中i-1Δi為Linki在坐標系Xi-1、Yi-1、Zi-1中的誤差，則

(22)

同理，有

(23)

式中：Ti=A1,A2,…,Ai,i=1,2,…,6；Δ為位姿誤差。

因此

(24)

所以

(25)

化簡得

(26)

應(yīng)用

(27)

4.3 加速度誤差模型

機構(gòu)運動過程中末端產(chǎn)生的實際加速度與理想加速度之間的誤差，即為加速度誤差。

基于微分方程

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

以及

(34)

對式(22)求導，得

(35)

再對式(23)求導，得

(36)

則

(37)

5 結(jié)語

1)本文中針對現(xiàn)有二自由度球面解耦并聯(lián)機構(gòu)在大角域球面工作空間需求中存在工作空間不足的問題，基于雙搖桿機構(gòu)輸入輸出差異化特性，提出了一種新型P5R運動支鏈，該支鏈可用于構(gòu)建二自由度全球面工作空間解耦并聯(lián)機構(gòu)。

2)基于新型P5R運動支鏈，設(shè)計了一種二自由度RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯(lián)機構(gòu)。采用環(huán)路增量法對RR-P5R型球面解耦并聯(lián)機構(gòu)進行了誤差分析，建立了機構(gòu)相鄰桿件間的變換矩陣，建立了機構(gòu)的位置、速度、加速度誤差模型。RR-P5R型機構(gòu)的誤差分析為機構(gòu)的參數(shù)設(shè)計、控制以及誤差補償提供了理論基礎(chǔ)。