白同磊，張翠芳

(西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都 611756)

0 引 言

在過(guò)去的幾十年中，已經(jīng)研究出許多圖像去噪的方法，包括基于濾波的方法、基于擴(kuò)散的方法、基于全變分的方法、基于小波的方法、基于稀疏表示的方法和基于非局部自相似的方法等。

非局部自相似(Non-local Self-similarity，NSS)算法根據(jù)圖像中存在許多相似圖像塊的事實(shí)來(lái)恢復(fù)圖像，與傳統(tǒng)的基于局部自相似性的方法相比可以提取更多的先驗(yàn)信息，顯著提高了算法的去噪性能。Dabov等人[1]提出了圖像塊匹配和三維濾波(Block Matching with 3D Filtering，BM3D)的方法，將非局部相似塊組成三維矩陣，并在稀疏3D變換域中進(jìn)行了協(xié)同過(guò)濾，使得BM3D算法成為圖像去噪的高效算法。Mairal等人[2]提出一種非局部稀疏模型，通過(guò)對(duì)NSS先驗(yàn)進(jìn)行組稀疏編碼來(lái)恢復(fù)圖像。Dong等人[3]將NSS先驗(yàn)和局部稀疏編碼統(tǒng)一到非局部中心化稀疏表示(Nonlocally Centralized Sparse Representation，NCSR)框架中，形成了一種高效的圖像去噪算法。Gu等人[4-5]假設(shè)非局部相似塊的矩陣具有低秩結(jié)構(gòu)，提出了基于低秩最小化的去噪方法。張?chǎng)┑热薣6]提出用高斯混合模型從外部干凈數(shù)據(jù)集學(xué)習(xí)非局部自相似先驗(yàn)信息的方法，可以較好地恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)部分，但是沒(méi)有充分利用塊組之間的相似性，導(dǎo)致高斯混合模型過(guò)于復(fù)雜。柯祖福等人[7]提出一種基于非局部自相似的譜聚類(lèi)圖像去噪算法，利用合適的低秩矩陣來(lái)近似恢復(fù)圖像，但是需要提供高斯白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，缺乏自適應(yīng)性。張玉征等人[8]提出用雙核函數(shù)來(lái)計(jì)算參考圖像塊和鄰域圖像塊的相似度，可以取得良好的去噪結(jié)果，但是在噪聲水平比較高的情況下，雙核函數(shù)不能準(zhǔn)確衡量圖像塊之間的相似度。薛智爽等人[9]將非局部群稀疏表示引入到圖像的最優(yōu)濾波中，提出了非局部群稀疏表示模型，可以高效地恢復(fù)圖像的結(jié)構(gòu)信息，但是僅適用于去除高斯白噪聲。李偉偉[10]提出了一種非局部可切換濾波的方法，通過(guò)對(duì)圖像塊進(jìn)行預(yù)處理來(lái)增加相似度函數(shù)的準(zhǔn)確性，但是僅適用于去除椒鹽噪聲。

與大多數(shù)圖像去噪算法不同，本文的目標(biāo)是去除圖像中真實(shí)的噪聲。為了提取準(zhǔn)確的先驗(yàn)信息，從外部干凈圖像中學(xué)習(xí)非局部自相似先驗(yàn)，以實(shí)現(xiàn)高性能的去噪算法。在學(xué)習(xí)階段，從外部干凈圖像數(shù)據(jù)集中提取數(shù)百萬(wàn)個(gè)外部塊組，并用高斯混合模型學(xué)習(xí)外部塊組的先驗(yàn)信息。在去噪階段，對(duì)高斯分量的協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解得到字典和正則化參數(shù)，并利用得到的字典和正則化參數(shù)對(duì)噪聲圖像內(nèi)部塊組進(jìn)行稀疏表示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文提出的算法可以高效地去除圖像中真實(shí)的噪聲。

1 學(xué)習(xí)外部先驗(yàn)

本文選用Kodak PhotoCD數(shù)據(jù)集作為外部干凈圖像數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集包含24張高質(zhì)量自然圖像，每張圖像的尺寸大小為500 pixel×500 pixel。學(xué)習(xí)外部先驗(yàn)信息的關(guān)鍵是將圖像中相似的塊聚集成一個(gè)塊組，相比于單個(gè)圖像塊，塊組具有更多的先驗(yàn)信息。用高斯混合模型可以從外部干凈圖像數(shù)據(jù)集中學(xué)習(xí)精確的圖像先驗(yàn)信息，而無(wú)需考慮噪聲對(duì)圖像的干擾和破壞。

1.1 外部塊組

(1)

對(duì)塊組去直流后，會(huì)顯著增加塊組間的相似性，從而減少擬合塊組所需的高斯分量個(gè)數(shù)，進(jìn)而降低了高斯混合模型的復(fù)雜度。

2.2 高斯混合模型及EM算法

假設(shè)從外部干凈圖像數(shù)據(jù)集中提取N個(gè)塊組，對(duì)塊組進(jìn)行去直流分量處理得

(2)

(3)

式中：μk表示均值，Σk表示協(xié)方差矩陣，πk表示權(quán)重系數(shù)。假設(shè)塊組之間是獨(dú)立的，則N個(gè)塊組的似然函數(shù)表示為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

通過(guò)在E步和M步之間交替，模型參數(shù)將被迭代更新，每次迭代都可以增加式(5)中對(duì)數(shù)似然函數(shù)的值，并且EM算法將收斂。

2 基于外部先驗(yàn)的圖像去噪

在圖像噪聲水平比較高的情況下，難以從噪聲圖像中學(xué)習(xí)精確的先驗(yàn)信息。因此，本文用最大后驗(yàn)概率的方法找到與噪聲圖像塊組最匹配的外部塊組先驗(yàn)，進(jìn)而利用稀疏表示算法恢復(fù)圖像。

2.1 內(nèi)部塊組聚類(lèi)

(9)

2.2 基于稀疏表示的去噪算法

(10)

式中：Dk是保存特征向量的字典，Sk是保存特征值的對(duì)角矩陣。Dk中的特征向量也叫做原子，這些原子表征了外部干凈圖像中非局部自相似塊的統(tǒng)計(jì)特性，Sk中的特征值表征了Dk中特征向量的重要程度。

(11)

(12)

式中：λ=(1/2)[λ1,λ2,…,λ3p2]T是正則化系數(shù)向量，sgn(·)是符號(hào)函數(shù)，⊙表示對(duì)向量元素的乘法操作。

(13)

Step1 將若干相似的圖像塊聚成塊組，并對(duì)塊組進(jìn)行去直流分量處理。

Step2 用高斯混合模型學(xué)習(xí)外部塊組先驗(yàn)，并用EM算法求解高斯混合模型的參數(shù)。

Step3 對(duì)高斯混合模型的協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解得到字典。

Step4 用軟閾值的方法求解稀疏表示模型中的稀疏編碼系數(shù)。

Step5 利用字典和稀疏編碼系數(shù)對(duì)圖像塊進(jìn)行稀疏表示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)

為了平衡算法的計(jì)算成本和去噪性能，本文將圖像塊的大小設(shè)置為p=6，搜索窗口的邊長(zhǎng)大小為W=31，塊組中塊的數(shù)量M=10。高斯混合模型中高斯分量的個(gè)數(shù)K=32，字典中原子的個(gè)數(shù)為108，稀疏編碼的正則化系數(shù)λ=0.000 5。求解公式(11)的迭代次數(shù)T=6，迭代次數(shù)過(guò)多會(huì)發(fā)生過(guò)擬合，迭代次數(shù)過(guò)少會(huì)發(fā)生欠擬合。算法用Matlab實(shí)現(xiàn)，計(jì)算機(jī)CPU型號(hào)為Intel(R) Core(TM) i7-5930K，內(nèi)存條容量為32 GB。

3.2 測(cè)試數(shù)據(jù)集

本文用CC15、CC60和PolyU100圖像數(shù)據(jù)集對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試。CC15圖像數(shù)據(jù)集包含了15張?jiān)肼晥D像，每張圖像的尺寸大小為512 pixel×512 pixel;CC60圖像數(shù)據(jù)集包含了60張?jiān)肼晥D像，每張圖像的尺寸大小為500 pixel×500 pixel;PolyU100圖像數(shù)據(jù)集包含了100張?jiān)肼晥D像，每張圖像的尺寸大小為512 pixel×512 pixel。為了計(jì)算峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR)，數(shù)據(jù)集中包含了與每張?jiān)肼晥D像相匹配的ground truth圖像。

3.3 對(duì)比算法

將本文算法的仿真結(jié)果與基于廣義Anscombe變換的BM3D(Generalized Anscombe Transformation Block Matching with 3D Filtering，GAT-BM3D)算法[13]、彩色塊匹配和三維濾波(Color Block Matching with 3D Filtering，CBM3D)算法[14]、加權(quán)核范數(shù)最小化(Weighted Nuclear Norm Minimization，WNNM)算法[15]、多層感知機(jī)(Multi-Layer Perceptron，MLP)算法[16]、降噪卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Denoising Convolutional Neural Networks，DnCNN)算法[17]、訓(xùn)練反應(yīng)擴(kuò)散(Trained Reaction Diffusion，TRD)算法[18]、盲去噪(Noise Clinic，NC)[19]算法和指導(dǎo)圖像去噪(Guided Image Denoising，GID)算法[20]的仿真結(jié)果對(duì)比。

CBM3D算法需要設(shè)定噪聲圖像的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)。WNNM、MLP和TRD算法需要輸入每個(gè)顏色通道中噪聲的水平，為了得到R、G、B三個(gè)顏色通道的噪聲水平σr、σg、σb，這里假設(shè)噪聲服從高斯分布，用Chen等人[21]提出的算法估計(jì)每個(gè)顏色通道的噪聲水平。DnCNN算法被訓(xùn)練為處理噪聲水平為0～55的圖像。此外，本文重新訓(xùn)練了判別性去噪方法MLP和 TRD的模型，其噪聲水平從σ=5到σ=50，間隔為5。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

稀疏表示模型的關(guān)鍵參數(shù)是正則化參數(shù)λ。圖1顯示了用本文算法對(duì)CC15數(shù)據(jù)集去噪的結(jié)果，可以看到當(dāng)λ=0.000 5時(shí)算法的性能達(dá)到最優(yōu)；當(dāng)λ<0.000 5時(shí)，算法對(duì)噪聲水平比較高的圖像過(guò)擬合；當(dāng)λ>0.000 5時(shí)，算法對(duì)噪聲水平比較低的圖像欠擬合。

表1列出了幾種算法對(duì)CC15數(shù)據(jù)集進(jìn)行去噪的結(jié)果，每個(gè)圖像的最佳峰值信噪比結(jié)果用紅色粗體突出顯示。平均而言，本文提出的外部非局部自相似(External Nonlocal Self-similarity，ENSS)先驗(yàn)算法比GID算法提高0.24 dB的峰值信噪比。從算法復(fù)雜度的角度來(lái)看，ENSS算法處理一張圖像需要36.1 s，復(fù)雜度主要體現(xiàn)在對(duì)圖像進(jìn)行分塊處理操作和塊組聚類(lèi)操作。

表1 幾種算法對(duì)CC15數(shù)據(jù)集的去噪結(jié)果

圖2是用佳能5D Mark 3(ISO=3 200)拍攝的圖像。可以看到，GAT-BM3D、CBM3D、WNNM、MLP、DnCNN、NC和GID算法要么會(huì)保留噪聲，要么會(huì)產(chǎn)生偽影，而TRD會(huì)使圖像過(guò)于平滑。相比而言，ENSS算法在處理小尺度紋理上表現(xiàn)更優(yōu)。

圖2 幾種算法對(duì)CC15數(shù)據(jù)集樣例去噪結(jié)果

表2顯示了幾種算法對(duì)CC60圖像數(shù)據(jù)集進(jìn)行去噪的結(jié)果。相比于最優(yōu)的GID算法，本文提出的ENSS算法提升了0.18 dB的峰值信噪比。圖3是用Nikon D800(ISO=3 200)拍攝的圖像，與噪聲圖像對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)本文提出的ENSS算法可以高效地對(duì)圖像進(jìn)行去噪，去噪結(jié)果與原圖像非常接近。

表2 幾種算法對(duì)CC60數(shù)據(jù)集的去噪結(jié)果

圖3 幾種算法對(duì)CC60數(shù)據(jù)集樣例去噪結(jié)果

表3顯示了幾種算法對(duì)PolyU100數(shù)據(jù)集去噪的結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明ENSS算法比其他算法獲得了更好的PSNR結(jié)果，比GID算法提升了0.82 dB。圖4是用Canon 80D(ISO=12 800)拍攝的圖像，相比其他算法，本文提出的算法在消除噪聲的同時(shí)可以更好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息。

表3 幾種算法對(duì)PolyU100數(shù)據(jù)集的去噪結(jié)果

圖4 幾種算法對(duì)PolyU100數(shù)據(jù)集樣例去噪結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

圖像中的真實(shí)噪聲過(guò)于復(fù)雜，不服從簡(jiǎn)單的概率分布，難以根據(jù)噪聲的性質(zhì)設(shè)計(jì)高性能的圖像去噪算法。此外，噪聲會(huì)破壞圖像的先驗(yàn)信息，在噪聲水平比較高的情況下很難從噪聲圖像本身提取準(zhǔn)確的先驗(yàn)信息。因此，本文提出了一種從外部干凈圖像數(shù)據(jù)集學(xué)習(xí)非局部自相似先驗(yàn)的圖像去噪算法，用最大后驗(yàn)概率估計(jì)的方法從外部先驗(yàn)信息中找到最適合恢復(fù)圖像的信息，并用外部先驗(yàn)對(duì)噪聲圖像進(jìn)行稀疏表示，以此來(lái)去除噪聲。大量的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的ENSS算法具有良好的去噪性能。但由于外部先驗(yàn)是通過(guò)學(xué)習(xí)有限干凈圖像中的先驗(yàn)信息而得到，難以保證能夠?yàn)槊總€(gè)噪聲圖像塊找到最佳的外部先驗(yàn)，如何將外部先驗(yàn)與噪聲圖像本身的先驗(yàn)相結(jié)合是下一步研究的關(guān)鍵。