王春曉

黃金比例是一個(gè)神奇的常數(shù)，我們通常用希臘字母φ來表示它.它經(jīng)常出現(xiàn)在很多文學(xué)和藝術(shù)作品中.如列奧納多·達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》、薩爾瓦多·達(dá)利的《最后的晚餐》.

一維的黃金比例還可以延伸為黃金矩形，我們可以根據(jù)以下步驟畫出一個(gè)黃金矩形：

1.首先畫一個(gè)邊長為a的正方形；

2.然后取正方形的一條邊（比如底邊）的中點(diǎn)，以該中點(diǎn)為圓心，以中點(diǎn)到與對(duì)邊相連的一個(gè)頂點(diǎn)的距離為半徑畫圓；

3.延長底邊，讓它與圓弧相交，得到的交點(diǎn)便是黃金矩形的一個(gè)角的頂點(diǎn)，如圖1.

除了黃金矩形之外，黃金比例φ還有另一個(gè)幾何表達(dá)，那就是它是一個(gè)邊長為1的正五邊形的對(duì)角線的長度.如圖2所示.由對(duì)角線和底邊形成的邊長為1、φ、φ的等腰三角形BAD，被稱為黃金三角形，它在五重對(duì)稱的研究中頻繁出現(xiàn)，例如五角星就是由五個(gè)黃金三角形構(gòu)成的.

黃金比例與斐波那契數(shù)列密切相關(guān).13世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家斐波那契曾對(duì)這個(gè)數(shù)列作出描述.該數(shù)列的前兩項(xiàng)為1，后面的每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和.斐波那契數(shù)列有無數(shù)個(gè)項(xiàng)，前十五項(xiàng)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610.

隨著斐波那契數(shù)列項(xiàng)的不斷增多，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比越來越逼近黃金比例.

而這個(gè)數(shù)列最終會(huì)收斂到一個(gè)熟悉的數(shù)字——1.618…，這個(gè)數(shù)列的極限正是黃金比例.只需無限地取越來越小的黃金矩形中的圓弧，就能得到這樣如圖3所示的圖案.

而斐波那契序列在自然界中是真實(shí)存在的，比如鸚鵡螺的形狀、星系的形狀、颶風(fēng)的形狀、甚至玫瑰花瓣的形狀，如圖4、5、6、7.

如圖8，葵花籽以順時(shí)針和逆時(shí)針方向排列，形成螺線.如果數(shù)一下兩個(gè)方向上的螺線，如圖9，就會(huì)得到兩個(gè)再平常不過的數(shù)字21和34.這兩個(gè)數(shù)字在斐波那契數(shù)列中出現(xiàn)過.

毫無疑問，黃金比例是一個(gè)非常奇妙的數(shù)字，而真正讓它有別于其他數(shù)字的一個(gè)重要屬性是它的無理性.φ是一個(gè)無理數(shù)，也就是說它無法被表示成任何分?jǐn)?shù)，然而更令人驚訝的是，它是無理性最強(qiáng)的一個(gè)無理數(shù).這意味著它不僅不能被精確地表示為分?jǐn)?shù)，甚至很難用分?jǐn)?shù)來近似表示.這是一個(gè)非常特殊的性質(zhì).

相比之下，π的連分?jǐn)?shù)是這樣的：

可以看到它的分母中的數(shù)字都很大，比如7、15、292等.這些大的數(shù)字會(huì)使連分?jǐn)?shù)的誤差小得多.然而，這種用分?jǐn)?shù)對(duì)φ進(jìn)行近似的困難程度，也使它成為了數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)學(xué)家在研究同步過程時(shí)的一個(gè)非常有用的數(shù)字.可以說，雖然黃金比例不同于公眾所想象的那般神奇，但當(dāng)你了解了它真實(shí)的樣子之后，或許會(huì)更加驚嘆于數(shù)學(xué)的真正魅力！