班 玥, 李欣和, 陳 璽

(1.上海大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院, 上海 200444; 2.上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444)

量子計(jì)算、量子通信和量子信息處理已經(jīng)成為了后摩爾時(shí)代的新興技術(shù), 是目前人們廣泛關(guān)注并努力探索的方向, 也是凝聚態(tài)物理、量子領(lǐng)域的研究重點(diǎn).而基于半導(dǎo)體量子點(diǎn)的量子計(jì)算得益于先進(jìn)的現(xiàn)代半導(dǎo)體微電子制造工藝, 被認(rèn)為是有可能實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的平臺(tái)之一, 繼而成為了世界各個(gè)國(guó)家戰(zhàn)略競(jìng)爭(zhēng)的焦點(diǎn).近期,《中共中央關(guān)于制定國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和二〇三五年遠(yuǎn)景目標(biāo)的建議》中指出: 要瞄準(zhǔn)量子信息等前沿領(lǐng)域, 實(shí)施一批具有前瞻性、戰(zhàn)略性的國(guó)家重大科技項(xiàng)目.

眾所周知, 量子計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力是隨著量子比特?cái)?shù)目的增加呈指數(shù)增加.因此, 對(duì)量子態(tài)進(jìn)行高保真度制備、操控或布居數(shù)轉(zhuǎn)移是量子技術(shù)邁向應(yīng)用的重要步驟.退相干和長(zhǎng)程耦合這兩大困難, 一直是基于固態(tài)電子學(xué)量子計(jì)算發(fā)展的難點(diǎn): 退相干導(dǎo)致系統(tǒng)失去相干性; 若以外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 則系統(tǒng)與環(huán)境產(chǎn)生耦合將不可避免.近年來(lái), 我們與國(guó)際合作者共同提出的量子絕熱捷徑(shortcuts to adiabaticity, STA)技術(shù)能夠在較短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生類(lèi)似絕熱過(guò)程, 有效減少環(huán)境退相干帶來(lái)的影響, 并已經(jīng)發(fā)展成量子態(tài)操控的一種有效方法.本工作系統(tǒng)介紹了基于量子絕熱捷徑技術(shù), 以及在不同量子點(diǎn)體系中對(duì)于電子量子態(tài)快速而穩(wěn)定的控制方案, 并分析了環(huán)境退相干等系統(tǒng)因素對(duì)量子態(tài)操控的影響.

1 半導(dǎo)體量子點(diǎn)中的量子比特

半導(dǎo)體量子點(diǎn)作為一種人工固態(tài)量子系統(tǒng), 將單個(gè)或多個(gè)電子束縛在3 維微小空間上.圖1 為T(mén)okura 研究小組[1]制備的橫向量子點(diǎn)掃描電子顯微鏡(scanning electron microscope,SEM)圖.量子點(diǎn)的尺度通常是納米量級(jí), 與自由電子相比, 量子點(diǎn)中被束縛電子受到環(huán)境的干擾程度大幅降低, 具有良好的穩(wěn)定性.受限電子的波函數(shù)在半導(dǎo)體量子點(diǎn)中具有局域性, 容易被操控.

圖1 橫向量子點(diǎn)的SEM 圖Fig.1 SEM image of a lateral quantum dot

量子比特是量子信息的基本計(jì)量單位.相較于經(jīng)典系統(tǒng)中的二進(jìn)制0, 1 表示, 量子比特根據(jù)量子力學(xué)態(tài)疊加原理, 可以表示為|0〉和|1〉狀態(tài)的疊加.二能級(jí)體系中的任意態(tài)可表示為

式中:α和β是復(fù)數(shù), 且滿(mǎn)足歸一化條件|α|2+|β|2=1.為了更直觀地表示, 將一個(gè)量子比特狀態(tài)用布洛赫球面上的點(diǎn)標(biāo)記(見(jiàn)圖2).在一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)中,|0〉2和|1〉2態(tài), 即2 個(gè)正交基矢態(tài)分別位于布洛赫球的兩極.球的半徑為單位長(zhǎng)度1, 量子比特的狀態(tài)(系統(tǒng)的波函數(shù))可以表示為

圖2 量子比特狀態(tài)在布洛赫球面上的表示Fig.2 Representation of a qubit on the Bloch’s sphere

式中: 布洛赫球上的極角θ、方位角φ均為實(shí)數(shù).在半導(dǎo)體量子點(diǎn)系統(tǒng)中, 量子比特一般有自旋比特[2-4]和電荷比特[5-6].

1.1 電子自旋比特的操控

自旋比特利用自旋這一天然的二能級(jí)系統(tǒng)進(jìn)行編碼.早在1998 年, Loss 等[2]發(fā)現(xiàn)囚禁在半導(dǎo)體量子點(diǎn)中的單電子自旋可以用來(lái)制備成自旋比特.量子點(diǎn)自旋比特受外界環(huán)境噪聲影響較小并具有相對(duì)于操控時(shí)間較長(zhǎng)的退相干時(shí)間[7].自此以后20 多年來(lái), 以自旋為載體的量子計(jì)算在理論[8-9]和實(shí)驗(yàn)[10-11]方面均得到了長(zhǎng)足的發(fā)展, 是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)[12]的重要平臺(tái).

人們使用不同方法控制自旋比特, 常用的方法有電子自旋共振技術(shù)[13-15]、電偶極矩自旋共振[16]、幾何相位控制[17]等.利用電子自旋共振技術(shù), 單個(gè)電子的自旋與磁場(chǎng)耦合很弱, 自旋翻轉(zhuǎn)慢(約100 ns)[18], 使得自旋比特的操控也較慢.必須通過(guò)足夠強(qiáng)的自旋與磁場(chǎng)的相互作用, 才能實(shí)現(xiàn)單個(gè)電子的自旋共振, 而在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生足夠強(qiáng)的振蕩磁場(chǎng)往往很困難.在納米尺度下, 通過(guò)外加電極產(chǎn)生周期性電場(chǎng), 比磁場(chǎng)更容易更精準(zhǔn).而由此產(chǎn)生的自旋共振頻率要比磁場(chǎng)塞曼頻率小很多, 使得單自旋的反轉(zhuǎn)時(shí)間更短, 而不易受退相干的影響.在一些半導(dǎo)體材料中, 晶格反演對(duì)稱(chēng)破缺造成自旋軌道耦合作用, 也可產(chǎn)生電偶極矩自旋共振[19-21].電子自旋與半導(dǎo)體襯底材料中的核自旋之間具有超精細(xì)相互作用[22-24], 也能誘導(dǎo)出電偶極矩自旋共振[25-26].此外, 利用相位調(diào)控實(shí)現(xiàn)態(tài)的控制[27], 可以獲得更穩(wěn)定的方案, 但是所需操控時(shí)間較長(zhǎng).在自旋軌道耦合作用下, 外加電場(chǎng)可以有效地控制幾何相位, 這樣就可以在不使用高頻磁場(chǎng)的情況下進(jìn)行量子相干自旋操作[28].

2007 年P(guān)ioro-Ladri`ere 等[1]制備了一種橫向量子點(diǎn), 并設(shè)計(jì)出一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng), 實(shí)現(xiàn)了電子態(tài)操控和讀出.2009 年, Nowack 等[18]在局部添加電極, 產(chǎn)生了周期時(shí)變電場(chǎng), 通過(guò)自旋軌道耦合作用產(chǎn)生電偶極矩自旋共振, 從而操控自旋.2014 年, Vandersypen 研究小組[29]通過(guò)在量子點(diǎn)附近引入小磁塊而成功制得了退相干時(shí)間約為840 ns 的自旋比特.2016 年, Tarucha 研究小組[30]在硅鍺量子點(diǎn)上制備了相干時(shí)間1.8 μs 的自旋比特.斯坦福大學(xué)的Press 等[31]提出了一種采用超快激光脈沖對(duì)單量子點(diǎn)中單個(gè)電子自旋的控制方法, 將四能級(jí)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成2 個(gè)自旋態(tài)的耦合, 通過(guò)光泵浦在3.4 ns 內(nèi)完成單電子自旋的測(cè)量, 精確度為92%, 退相干時(shí)間與門(mén)時(shí)間的比值超過(guò)了105.

1.2 電子電荷比特的操控

電荷比特以電荷為載體, 并以單個(gè)電子在量子點(diǎn)系統(tǒng)中的不同位置狀態(tài)進(jìn)行編碼.電荷比特的傳輸時(shí)間由相鄰量子點(diǎn)間的隧穿系數(shù)決定, 其翻轉(zhuǎn)頻率可以達(dá)到兆赫茲量級(jí).由于與環(huán)境噪聲耦合強(qiáng), 故電荷比特相干時(shí)間一般較短, 為納秒量級(jí)[32-33].在如此短的相干時(shí)間內(nèi)完成一系列的高保真度門(mén)操控是電荷比特控制的重大挑戰(zhàn).中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的郭國(guó)平等[6]在2013 年首先利用LZS(Landau-Zener-St¨uckelberg)干涉實(shí)現(xiàn)了對(duì)電荷比特的全電操控, 又分別于2015 年和2016 年實(shí)現(xiàn)了雙電荷比特的CNOT 邏輯門(mén)操作以及基于三電荷比特的控制非(controlled-NOT, CNOT)邏輯門(mén)操作[34-35].雖然電荷比特的操控速度通常會(huì)比自旋比特高3 個(gè)數(shù)量級(jí), 但是由于受到電荷噪聲的影響, 導(dǎo)致其相干時(shí)間較短, 難以提高量子操控的保真度.因此尋找快操控的編碼方式, 在有限時(shí)間內(nèi)盡可能多地完成量子操控便成為學(xué)術(shù)界的研究方向.

1.3 多量子點(diǎn)體系中的量子態(tài)控制

值得一提的是, 在多量子點(diǎn)體系中, 電子自旋態(tài)和電荷態(tài)的傳輸和控制也得到了深入研究, 為大規(guī)模量子信息處理技術(shù)的發(fā)展提供了基礎(chǔ).例如, 在三量子點(diǎn)中, 理論實(shí)驗(yàn)中都研究了自旋在兩端量子點(diǎn)間的傳輸[36-37]和光子-輔助下電子傳輸[38-41].一種類(lèi)似于量子光學(xué)受激拉曼絕熱過(guò)程最先用于三量子點(diǎn)中電荷態(tài)的傳輸, 并被推廣至多量子點(diǎn)陣列中[42-43].電子在量子點(diǎn)陣列中沿著系統(tǒng)的暗態(tài)(本征能量為0 的本征態(tài))傳輸, 這種方法被稱(chēng)為絕熱通道耦合傳輸, 也有研究將能級(jí)差(解諧)作為控制參數(shù)絕熱調(diào)控自旋態(tài)[44].最近多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)工作提出了遠(yuǎn)距離傳輸量子態(tài)的方案[45-49].實(shí)驗(yàn)[50-51]在多量子點(diǎn)陣列中成功耦合裝載并傳輸了多電子的自旋糾纏態(tài), 通過(guò)調(diào)整能級(jí)差將保持糾纏態(tài)的多電子中的單個(gè)電子遠(yuǎn)距離絕熱傳輸.實(shí)驗(yàn)中也已經(jīng)可以做到硅多量子點(diǎn)中一次裝載傳輸雙電子或三電子糾纏態(tài)[52].

2 量子絕熱捷徑技術(shù)

自1984 年發(fā)現(xiàn)Berry 相位以來(lái), 量子絕熱定理成為了量子理論中最重要的結(jié)論之一[53].近年來(lái), 絕熱過(guò)程在量子態(tài)制備[54]、量子操控[55]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.量子光學(xué)中快速絕熱通道, 如Landau-Zener 方案, 就被廣泛應(yīng)用于量子點(diǎn)系統(tǒng)[56], 可用于制備糾纏態(tài)和量子邏輯門(mén).然而, 現(xiàn)實(shí)中量子絕熱過(guò)程是一個(gè)慢過(guò)程, 隨著量子信息傳輸和處理規(guī)模的提高, 量子絕熱計(jì)算或者量子操控的結(jié)果會(huì)因環(huán)境退相干等因素而受到影響.為此, 人們不斷尋找新的調(diào)控方法來(lái)縮短控制時(shí)間, 盡可能地減小系統(tǒng)誤差和環(huán)境噪聲帶來(lái)的影響.近年來(lái), 我們提出了量子絕熱捷徑技術(shù)[57-59], 用來(lái)加速不同物理系統(tǒng)中量子絕熱的“慢”過(guò)程, 減小系統(tǒng)能耗或環(huán)境退相干的影響.量子絕熱捷徑技術(shù)能大幅度地減少系統(tǒng)的演化時(shí)間, 在有限的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生類(lèi)似量子絕熱過(guò)程的結(jié)果.目前, 量子絕熱捷徑技術(shù)已經(jīng)成功地應(yīng)用于各種物理系統(tǒng)中, 如光學(xué)囚禁勢(shì)中的原子冷卻[60]、機(jī)械諧振子冷卻[61-62]、光晶格中波包傳播[63-64]、RCL 電路[65]、多體相互作用自旋體系下的疊加態(tài)或糾纏態(tài)制備[66]等.在自旋軌道耦合玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate)中, 通過(guò)該技術(shù)得到了冷原子的快速優(yōu)化轉(zhuǎn)移路徑[67], 并且基于變分法發(fā)展了快速孤子壓縮的量子絕熱捷徑方法[68].量子絕熱捷徑技術(shù)為量子態(tài)的快速、穩(wěn)定的操控提供了較有效的方法, 促進(jìn)了原子、分子、光物理以及量子信息科學(xué)與技術(shù)等領(lǐng)域的科學(xué)研究.同時(shí), 量子絕熱捷徑技術(shù)不斷完善和發(fā)展, 成為量子控制的一個(gè)重要方法.量子絕熱捷徑技術(shù)主要有基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制法[58]、量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)[69]和多重薛定諤繪景(Schr¨odinger picture)[59]等.

2.1 基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制法

基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制方法在給定的時(shí)間下, 確定波函數(shù)在初始和最終時(shí)刻的狀態(tài), 設(shè)計(jì)中間路徑, 從而反向設(shè)計(jì)哈密頓量.對(duì)于一個(gè)含時(shí)的哈密頓量H(t), 薛定諤方程為

哈密頓量的不變量I(t)滿(mǎn)足不變量的條件

式(3)的解(波函數(shù))可以表示為I(t)瞬時(shí)本征態(tài)|χn(t)〉的疊加:

式中: 幾率振幅cn是常數(shù),n=1,2,···; 波函數(shù)|χn(t)〉是I(t)的正交本征矢, 滿(mǎn)足

λn是常數(shù); 相位

被稱(chēng)為L(zhǎng)ewis-Riesenfeld 相位.利用不變量的本征態(tài)和本征值, 定義不變量為

由Lewis-Riesenfeld 相位和不變量的本征態(tài)表示含時(shí)的幺正算符U, 有

則哈密頓量演化的幺正算符滿(mǎn)足

由式(10)可以解出哈密頓量H(t),即

對(duì)于一個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)(如單電子自旋系統(tǒng)), 以徑向角θ和方位角?參數(shù)化布洛赫球, 可以構(gòu)造不變量I(t)的2 個(gè)正交本征態(tài):

進(jìn)而構(gòu)造I(t).式(12)選取單本征態(tài)模式或是雙本征態(tài)模式將會(huì)得到不同的路徑解.

根據(jù)邊界條件設(shè)定t=0 和t=tf時(shí)刻的波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù), 可以確定θ和?在邊界時(shí)刻的值.使用不同連接函數(shù)連接這2 個(gè)角度在邊界上的值, 可以得到θ(t)和?(t)的函數(shù).將波函數(shù)的表示代入式(3)或式(4)中, 可以得到θ和?對(duì)于時(shí)間的一階微分方程, 再由這2 個(gè)微分方程可以反推出需要的外加場(chǎng).

反控制法對(duì)于具有共振條件等特定對(duì)稱(chēng)性的三能級(jí)和多能級(jí)系統(tǒng)同樣適用.利用旋波近似, 共振條件下的三能級(jí)系統(tǒng)的哈密頓量[70]表示為

式中: 拉比頻率?23(t),?12(t)表示泵浦場(chǎng)和斯托克場(chǎng)的相互作用.

為了構(gòu)造不變量, 基于二維幺正矩陣SU(2)的對(duì)稱(chēng)性, 哈密頓量可表示為

式中:

并滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系

用角度χ和η參數(shù)化波函數(shù), 則有

對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)不變量[70]滿(mǎn)足式(4), 可表示為

將波函數(shù)|Ψ(t)〉代入式(3), 可以得到

一旦根據(jù)邊界條件獲取恰當(dāng)?shù)摩趾挺? 由式(19)和(20)就可以反推導(dǎo)出脈沖

2.2 量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)

量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)從參考哈密頓量出發(fā), 有

其絕熱近似解為

式中:

時(shí)間演化算符可以表示為

哈密頓量可以寫(xiě)為

總哈密頓量可以分為2 個(gè)部分:

式中:

H1(t)稱(chēng)為反絕熱躍遷項(xiàng)[71], 它的存在使系統(tǒng)嚴(yán)格地沿著H0(t)的瞬時(shí)本征態(tài)演化.對(duì)于共振條件下的三能級(jí)系統(tǒng)(如電荷在三量子點(diǎn)中傳輸), 系統(tǒng)的哈密頓量如式(13)所示, 其瞬時(shí)本征態(tài)可表示為

對(duì)應(yīng)的本征值E=0,E±=±??/2, 其中

2.3 多重薛定諤繪景

在實(shí)際應(yīng)用中,H1(t)部分可能難以實(shí)現(xiàn).例如, 電子在三量子點(diǎn)中傳輸反絕熱躍遷項(xiàng)位于非相鄰量子點(diǎn)之間[71], 雙量子點(diǎn)中需要添加不同方向的外場(chǎng)而引入新的噪聲[72].利用幺正變換將哈密頓量轉(zhuǎn)換繪景, 尋找更容易實(shí)現(xiàn)H1(t)的繪景, 也是絕熱捷徑技術(shù)的一個(gè)手段.某個(gè)表象中的薛定諤方程可表示為式(3), 在另一個(gè)繪景中, 則表示為

2 個(gè)繪景中的波函數(shù)由幺正變換相聯(lián)系, 二者的關(guān)系可表示為

而哈密頓量的關(guān)系則可表示為

2 個(gè)繪景中的哈密頓量在初始時(shí)刻和末時(shí)刻保持一致, 但中間時(shí)刻不同, 需要滿(mǎn)足U(0) =U(tf) = 1.新表象中的哈密頓量H′能夠在物理上更容易實(shí)現(xiàn), 或者是外加場(chǎng)的數(shù)量更少, 這樣就找到了另一種捷徑技術(shù).例如, 電荷在能級(jí)相等的三量子點(diǎn)中傳輸, 由于反絕熱躍遷項(xiàng)是量子點(diǎn)1 和3 之間非相鄰項(xiàng)間的耦合, 故在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)有困難, 研究者可通過(guò)哈密頓量的旋轉(zhuǎn),找到電荷從量子點(diǎn)1 至3 非絕熱傳輸?shù)姆桨?

然而, 傳輸過(guò)程中量子點(diǎn)2 內(nèi)會(huì)有幾率激發(fā).

2.4 綴飾態(tài)方法

綴飾態(tài)方法[73]在絕熱表象下尋找額外控制項(xiàng), 消除參考哈密頓量的非絕熱部分, 并在綴飾態(tài)基矢下得到等效的控制場(chǎng).絕熱表象中哈密頓量為

式中:H0(t)為三能級(jí)共振條件下的哈密頓量; 幺正變化算符為

式中:

是自旋為1 的生成元矩陣, 為了消除非絕熱躍遷, 絕熱表象中的哈密頓量為

式中: 幺正變換矩陣為

綴飾態(tài)方法的優(yōu)勢(shì)是尋找到控制外場(chǎng)在加速的同時(shí), 能夠抑制中間態(tài)的激發(fā)[74].

3 量子絕熱捷徑技術(shù)在量子態(tài)操控的應(yīng)用

從量子點(diǎn)中態(tài)控制方案現(xiàn)況來(lái)看, 加速態(tài)控制不但能加速信息傳輸?shù)乃俣? 而且還能減小環(huán)境退相干的影響, 提高調(diào)控的保真度.量子絕熱捷徑技術(shù)能夠有效縮短操控時(shí)間, 并得到對(duì)于參數(shù)誤差、環(huán)境噪聲而言非常高的魯棒性.Ban 等[75]使用基于不變量的反控制法, 通過(guò)外加電場(chǎng)脈沖并利用其與自旋軌道耦合相互作用, 控制單量子點(diǎn)中單電子的自旋反轉(zhuǎn), 這是第一次將絕熱捷徑技術(shù)運(yùn)用到量子點(diǎn)系統(tǒng)中控制量子態(tài); 隨后, 在雙量子點(diǎn)中使用量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)得到了單重態(tài)-三重態(tài)比特[72], 提出了快速產(chǎn)生糾纏態(tài)的方法, 并用反控制法得到了快速而穩(wěn)定的比特門(mén)[76].此外, 電子在三量子點(diǎn)陣列中的非絕熱傳輸方案可以由絕熱捷徑技術(shù)加速[71,77], 該非絕熱傳輸方案還可以推廣至(2n+1)個(gè)量子點(diǎn)體系, 從而將絕熱捷徑技術(shù)推廣至多能級(jí)體系中.在三量子點(diǎn)三角陣列中, 還可以利用量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)、綴飾態(tài)方法、共振等方法快速產(chǎn)生和傳輸電荷態(tài)[74].Masuda 等[78]運(yùn)用反控制法, 通過(guò)選擇自旋方向在量子點(diǎn)陣列中傳輸電子.運(yùn)用反控制法還能給出在任意長(zhǎng)量子點(diǎn)陣列中雙電子自旋糾纏態(tài)的非絕熱傳輸方案, 由于控制時(shí)間遠(yuǎn)小于環(huán)境退相干時(shí)間, 故保真度較絕熱方案大大提高.

3.1 基于不變量的反控制法操控單量子點(diǎn)中的電子自旋反轉(zhuǎn)

考慮2 維電子氣(xy平面)中形成的門(mén)電壓控制的量子點(diǎn)(見(jiàn)圖1).電子在垂直于平面方向(z方向)上因材料不同、勢(shì)函數(shù)不同而運(yùn)動(dòng)受限.在量子點(diǎn)中, 外加弱磁場(chǎng)B0平行于z方向,引起軌道能級(jí)劈裂, 即塞曼效應(yīng).考慮Rashba 自旋軌道耦合和Dresselhaus 自旋軌道耦合, 相應(yīng)的速度算符也受到自旋軌道耦合強(qiáng)度影響.電場(chǎng)與自旋軌道耦合相互作用可以表示為

式中:A(t)是電場(chǎng)的矢勢(shì), 表明通過(guò)調(diào)控外加電場(chǎng)強(qiáng)度可以控制自旋方向, 也可以理解為自旋軌道耦合誘導(dǎo)的電偶極矩自旋共振.文獻(xiàn)[75]將研究模型簡(jiǎn)化為軌道態(tài)為基態(tài), 自旋態(tài)向上和向下2 個(gè)態(tài)之間的躍遷, 使用L¨owdin partition 方法[79]計(jì)入其他軌道態(tài)的影響, 由此可以寫(xiě)出形式為2×2 矩陣的哈密頓量Heff.文獻(xiàn)[53]選取單本征態(tài)模式|Ψ(t)〉= eiα+(t)|χ+〉, 即波函數(shù)的演化路徑與不變量的一個(gè)本征態(tài)演化的路徑一致(相位可以不同).

確定自旋反轉(zhuǎn)過(guò)程所需要的操控時(shí)間tf, 根據(jù)文獻(xiàn)[75]所設(shè)定的邊界條件, 即在t= 0 和t=tf的波函數(shù), 可以確定θ和φ在邊界時(shí)刻的值.文獻(xiàn)中使用多項(xiàng)式連接這2 個(gè)角度在邊界上的值, 得到θ(t)和φ(t)的函數(shù).將此波函數(shù)的表示代入薛定諤方程中, 可以得到θ和φ對(duì)于時(shí)間的一階微分方程, 并與電場(chǎng)的矢勢(shì)Ax和Ay有關(guān), 由此可以反推出矢勢(shì)Ax和Ay.文獻(xiàn)[75]給出了tf為納秒量級(jí)情況下, 由基于不變量反控制法設(shè)計(jì)而得到的電場(chǎng)脈沖, 并分析了初始參數(shù)φ(0)具有一定偏差下方案的穩(wěn)定性, 討論了開(kāi)放系統(tǒng)下外界環(huán)境對(duì)于自旋翻轉(zhuǎn)的影響.由Lindblad 型主方程推導(dǎo)出保真率與不同tf的關(guān)系, 并發(fā)現(xiàn)tf越小保真度越高, 這是由于在環(huán)境退相干作用下, 反轉(zhuǎn)過(guò)程越短受到影響越小.

3.2 雙量子點(diǎn)中的單重態(tài)-三重態(tài)比特

文獻(xiàn)[76]研究了雙量子點(diǎn)中基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制方法, 設(shè)計(jì)時(shí)變電場(chǎng),提出了雙量子點(diǎn)中雙電子自旋單態(tài)-三重態(tài)空間的快速躍遷方案.該文獻(xiàn)應(yīng)用了雙本征態(tài)模式驅(qū)動(dòng), 直接運(yùn)用Lewis-Riesenfeld 相位, 設(shè)計(jì)了布洛赫球上任意2 點(diǎn)之間的自旋操控, 并對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行了最優(yōu)化設(shè)計(jì).考慮的情況為雙電子受限于雙量子點(diǎn)中, 外加時(shí)變電場(chǎng)也在xy平面內(nèi).

雙量子點(diǎn)中電子波函數(shù)的空間寬度小于每個(gè)點(diǎn)中勢(shì)的極小值位置之間的距離.由于電子庫(kù)侖相互作用, 每個(gè)電子受限于量子點(diǎn)中, 而不發(fā)生隧穿.哈密頓量動(dòng)能、勢(shì)能和相互作用可以用自旋算符表示:H0=J(sL·sR), 其中J是海森堡相互作用項(xiàng),sL,sR分別是左右2 個(gè)點(diǎn)內(nèi)電子的總自旋.在(s,sz)表象下,s和sz分別代表總自旋和自旋z分量, 最低的4 個(gè)能級(jí)分別是單重態(tài)|0,0〉和三重態(tài)|1,1〉、|1,0〉和|1,?1〉.這里依然考慮Rashba 和Dresselhaus 自旋軌道耦合.電場(chǎng)與電子自旋相互作用項(xiàng)可以寫(xiě)成

式中:A(xj,yj)是時(shí)變電場(chǎng)的矢勢(shì).對(duì)于GaAs 半導(dǎo)體,g <0, 當(dāng)|0,0〉與|1,1〉的能級(jí)差遠(yuǎn)小于塞曼能級(jí)差時(shí), 可以將模型簡(jiǎn)化為這個(gè)二能級(jí)系統(tǒng), 而忽略其他能級(jí)的影響.這個(gè)等效的哈密頓量以|0,0〉≡|1〉=(1,0)T和|1,1〉≡|2〉=(0,1)T為基矢.通過(guò)布洛赫球上的角度θa和φa,找到哈密頓量的不變量.根據(jù)Lewis-Riesenfeld 理論, 可以反解出電場(chǎng)的矢勢(shì)AxL,AxR.與單電子自旋反轉(zhuǎn)[75]不同, 文獻(xiàn)[55]給出系統(tǒng)的波函數(shù)是不變量的2 個(gè)本征態(tài)模式的疊加:

因此, 波函數(shù)在t= 0 和t=tf時(shí)刻, 波函數(shù)不再是哈密頓量的本征態(tài), 即[H(0),I(0)]?= 0,[H(tf),I(tf)]?= 0.雙本征態(tài)模式的采用給出了更多的自由度.自旋態(tài)在以|0,0〉,|1,1〉分別為南北極的布洛赫球上的任意2 點(diǎn)間演化都可以找出演化路徑和對(duì)應(yīng)的外場(chǎng)方案.通過(guò)調(diào)控Lewis-Riesenfeld 相位, 有效地降低了外加電場(chǎng)的強(qiáng)度.文獻(xiàn)[76]給出了波函數(shù)演化和不變量的2 個(gè)本征態(tài)演化對(duì)應(yīng)路徑的示意圖(見(jiàn)圖3), 還提出了構(gòu)造Hadamard 門(mén)的絕熱捷徑方案.

圖3 演化路徑示意圖[76]Fig.3 Schematic diagram of the trajectory of state evolution[76]

文獻(xiàn)[72]使用量子無(wú)摩擦技術(shù), 提出了同樣考慮自旋軌道耦合的雙量子點(diǎn)中產(chǎn)生自旋糾纏態(tài)快速而穩(wěn)定的方案, 數(shù)值計(jì)算表明該方案所需時(shí)間遠(yuǎn)少于從|0,0〉到|1,1〉的絕熱躍遷的時(shí)間.與單量子點(diǎn)不同, 量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)適用于雙量子點(diǎn)中的雙電子自旋控制, 因?yàn)閷?duì)每個(gè)點(diǎn)在x和y方向外加電場(chǎng), 存在4 個(gè)可調(diào)控參數(shù), 具有更大的自由度.根據(jù)絕熱定理, 可以找到只在x方向施加電場(chǎng)的絕熱操控方案.通過(guò)添加反絕熱躍遷項(xiàng), 得到類(lèi)似于絕熱演化過(guò)程的結(jié)果, 可大大縮短操控時(shí)間.值得注意的是, 反絕熱躍遷項(xiàng)需要由外加y方向的電場(chǎng)執(zhí)行.為簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)裝置, 減少與器件有關(guān)的噪聲, 文獻(xiàn)[72]使用了多重薛定諤繪景的概念, 尋找另一種只存在x方向電場(chǎng)的絕熱捷徑, 并且在限定最大的電場(chǎng)強(qiáng)度限制下, 得到tf→0 時(shí)最大電場(chǎng)強(qiáng)度與操控時(shí)間的關(guān)系:

還發(fā)現(xiàn)降低操控時(shí)間可以大大提高自旋比特在外界噪聲和系統(tǒng)誤差下的魯棒性, 這有助于快速制備量子糾纏態(tài).

3.3 多量子點(diǎn)體系中量子態(tài)的傳輸

3.3.1 多量子點(diǎn)陣列中電荷態(tài)的非絕熱傳輸

Greentree 等[42]于2004 年提出了絕熱通道耦合轉(zhuǎn)移方案在三量子點(diǎn)陣列中傳輸電子電荷, 該方案是一種空間絕熱通道過(guò)程, 是受激拉曼絕熱通道[80]的一種變形.考慮三量子點(diǎn)一維陣列, 其每個(gè)量子點(diǎn)中能級(jí)高度一致.由此, 哈密頓量可以寫(xiě)為

式中: 相鄰點(diǎn)之間的隧穿系數(shù)由外加高斯型脈沖電壓

控制; h.c.表示厄米共軛.該哈密頓量具有能量為0 的瞬時(shí)本征態(tài), 即暗態(tài)

電荷態(tài)可以通過(guò)該暗態(tài), 從態(tài)|1〉絕熱地傳輸至態(tài)|3〉, 而不激發(fā)量子點(diǎn)2 中的粒子數(shù).為了實(shí)現(xiàn)非絕熱傳輸, 同時(shí)抑制傳輸過(guò)程中間點(diǎn)內(nèi)幾率的激發(fā), 文獻(xiàn)[56]使用了反控制法[70]給出了三量子點(diǎn)中電荷的非絕熱傳輸方案, 得到了控制外場(chǎng)~?12和~?23(區(qū)別于高斯型?23(t)和?12(t)), 該方案調(diào)控脈沖幅度為1～10 GHz 量級(jí), 傳輸時(shí)間在納秒量級(jí), 量子點(diǎn)2 中布居數(shù)的激發(fā)幾率可控在1%以下.

文獻(xiàn)[71]將三量子點(diǎn)中電荷的非絕熱傳輸方案推廣至任意奇數(shù)個(gè)量子點(diǎn)陣列中.2n+1個(gè)量子點(diǎn)陣列中電荷的傳輸可以使用絕熱通道跨場(chǎng)相干傳輸(straddling coherent transfer by adiabatic passage, SCTAP)[42,81]技術(shù)實(shí)現(xiàn).系統(tǒng)的哈密頓量可以寫(xiě)成

式中:?1,?2分別是第1,2 個(gè)點(diǎn)之間和第2n,2n+1 個(gè)點(diǎn)之間的耦合系數(shù);?s是第2,3,··· ,2n個(gè)點(diǎn)之間的耦合系數(shù);(ci)是產(chǎn)生(湮滅)算符.在奇數(shù)個(gè)點(diǎn)陣列中, 因?yàn)樽V對(duì)稱(chēng)性[78], 所以哈密頓量具有暗態(tài), 其非歸一化形式為

第偶數(shù)個(gè)點(diǎn)內(nèi)的態(tài)的幾率為0, 只有第奇數(shù)個(gè)點(diǎn)的幾率需要調(diào)控.而當(dāng)

時(shí), 第3,5,···,2n ?1 個(gè)點(diǎn)中的幾率可以被抑制.因此, 只需調(diào)控?1和?2, 就可實(shí)現(xiàn)電荷在陣列兩端的傳輸, 并且不激發(fā)中間點(diǎn)中的幾率.為實(shí)現(xiàn)2n+1 個(gè)量子點(diǎn)陣列中電荷的非絕熱傳輸, 可將其等效為一個(gè)三量子點(diǎn).第3,5,···,2n ?1 個(gè)點(diǎn)中幾率可以通過(guò)施加幅度非常大的電場(chǎng)?s來(lái)抑制, 即將X系數(shù)控制得非常小.而對(duì)于第偶數(shù)個(gè)點(diǎn)內(nèi)粒子數(shù)的激發(fā)抑制, 只需要采用

3.3.2 三量子點(diǎn)中電荷態(tài)的快速產(chǎn)生和傳輸

文獻(xiàn)[74]提出了加速受激拉曼絕熱通道和分?jǐn)?shù)-受激拉曼絕熱通道方法, 分別使用了量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)、綴飾態(tài)方法、共振技術(shù), 獲得了三量子點(diǎn)系統(tǒng)中電荷疊加態(tài)快速非絕熱的3 種產(chǎn)生和傳輸方案, 并分析了3 種方案的區(qū)別.在GaAs/AlGaAs 2 維電子氣中, 三量子點(diǎn)體系由三角形排列的3 個(gè)量子點(diǎn)組成, 量子點(diǎn)間的隧穿系數(shù)由外加電極調(diào)控電壓來(lái)控制.

通過(guò)施加雙曲正切形狀或者高斯型的場(chǎng), 可以獲得電荷疊加態(tài)產(chǎn)生和傳輸?shù)慕^熱過(guò)程.量子無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)將絕熱通道過(guò)程縮短了100 倍.該方法找到了反絕熱躍遷項(xiàng), 使得態(tài)的演化一直處在系統(tǒng)的暗態(tài)上.然而, 反絕熱躍遷項(xiàng)添加了不同能級(jí)的耦合項(xiàng), 為了避免添加不同方向的外加電壓影響控制效率, 還需要旋轉(zhuǎn)哈密頓量, 從而獲得等效的控制場(chǎng).值得注意的是, 在t=t0和t=tf時(shí)刻, 態(tài)在哈密頓量旋轉(zhuǎn)后與暗態(tài)保持一致, 中間時(shí)刻的動(dòng)力學(xué)有所不同, 中間態(tài)將有所激發(fā).綴飾態(tài)方法提供了另一種絕熱捷徑技術(shù), 在綴飾態(tài)基矢中尋找反絕熱躍遷項(xiàng).由于該方案提供了更多的自由度, 故中間態(tài)在中間時(shí)刻的激發(fā)可以控制在1%以下.在絕熱表象中, 將哈密頓量類(lèi)比于磁場(chǎng)中自旋為1 的自旋進(jìn)動(dòng).在外加電場(chǎng)作用下, 自旋繞等效磁場(chǎng)進(jìn)動(dòng)一周, 就完成了一次調(diào)控過(guò)程.這樣的共振過(guò)程也提供了一種絕熱捷徑技術(shù).

3.3.3 量子點(diǎn)陣列中的自旋選擇性電子轉(zhuǎn)移

文獻(xiàn)[78]提出了一種在硅量子點(diǎn)陣列中的自旋選擇性相干電子轉(zhuǎn)移方案, 根據(jù)自旋態(tài)的不同, 利用時(shí)控門(mén)電壓將電子轉(zhuǎn)移到不同的量子點(diǎn).該文獻(xiàn)研究了3 種不同的方案: 基于π 脈沖的非絕熱控制、自旋受激拉曼絕熱通道和基于不變量的反控制方案, 其中基于不變量的絕熱捷徑方案, 使得同一自旋方向的電子傳輸?shù)牟倏貢r(shí)間短于自旋受激拉曼絕熱通道方案, 并且比π 脈沖控制的魯棒性更強(qiáng).簡(jiǎn)單π 脈沖對(duì)于時(shí)間的積分面積的誤差較為敏感, 導(dǎo)致布居數(shù)的轉(zhuǎn)移并不完美.電子的自旋受激拉曼絕熱通道, 具有較強(qiáng)的魯棒性, 但是操控時(shí)間比較長(zhǎng).此外,文獻(xiàn)[78]還證明了該方案可以擴(kuò)展到多電子系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)雙量子比特門(mén).

3.3.4 雙電子自旋糾纏態(tài)在多量子點(diǎn)陣列中的傳輸

文獻(xiàn)[77]提出了雙電子自旋糾纏態(tài)(包括單重態(tài)、三重態(tài)), 在n個(gè)多量子點(diǎn)陣列中的非絕熱傳輸方案.相較于絕熱方案, 通過(guò)調(diào)控相鄰點(diǎn)間勢(shì)壘高度, 非絕熱方案縮短了操控時(shí)間, 減小了環(huán)境退相干的影響.雙電子在多量子點(diǎn)陣列系統(tǒng)中的傳輸可以用Hubbard 模型描述.當(dāng)所有量子點(diǎn)內(nèi)能級(jí)高度一致時(shí), 單重態(tài)、三重態(tài)空間內(nèi)各自都有暗態(tài).當(dāng)電子庫(kù)侖相互作用大于隧穿系數(shù)最大幅度的平方時(shí), 反平行和平行自旋單重態(tài)之間的躍遷可以忽略.調(diào)控隧穿系數(shù)可以絕熱傳輸單重態(tài)|S12〉 →|S(n?1)n〉和三重態(tài), 并在四量子點(diǎn)中絕熱傳輸(|S12〉 →|S14〉).該文獻(xiàn)還采用了反控制法非絕熱傳輸糾纏態(tài), 將操控時(shí)間縮短到1/50, 達(dá)到納秒量級(jí).用2 個(gè)角度χ和η來(lái)參數(shù)化波函數(shù), 如式(19)～(20)所示.在滿(mǎn)足邊界條件情況下選擇Gutman 1～3 路徑, 可得在三量子點(diǎn)中(|S12〉 →|S23〉)非絕熱傳輸?shù)乃泶┫禂?shù):

以三量子點(diǎn)為基本單位, 任何長(zhǎng)度為n個(gè)量子點(diǎn)(n >3)的陣列中(|S12〉 →|S(n?1)n〉)非絕熱傳輸都可以由一組n ?2 個(gè)系列電脈沖來(lái)控制隧穿系數(shù):

如果在三量子點(diǎn)糾纏態(tài)的傳輸時(shí)間為tf, 那么n個(gè)量子點(diǎn)的傳輸時(shí)間為(n ?2)tf.文獻(xiàn)[77]還討論了非絕熱傳輸在電荷噪聲、電脈沖幅度擾動(dòng)、核自旋影響下的保真度, 發(fā)現(xiàn)縮短傳輸時(shí)間相較于絕熱傳輸能有效提高保真度.

4 結(jié)論與展望

本工作回顧了半導(dǎo)體量子點(diǎn)中, 使用量子絕熱捷徑技術(shù)控制電荷態(tài)和自旋態(tài)的非絕熱控制方案, 包括單量子點(diǎn)中單電子自旋比特操控、雙量子點(diǎn)中單重態(tài)-三重態(tài)操控、三量子點(diǎn)中電荷態(tài)產(chǎn)生和傳輸、多量子點(diǎn)中電荷態(tài)的傳輸、多量子點(diǎn)中自旋糾纏態(tài)的傳輸?shù)? 其中電子量子態(tài)的非絕熱操控時(shí)間在納秒量級(jí).在考慮環(huán)境退相干、外加場(chǎng)幅度噪聲、系統(tǒng)誤差等環(huán)境條件時(shí), 非絕熱操控方案相較于絕熱操控方案具有更高的保真度.這些方案為設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)固態(tài)量子器件提出了重要理論依據(jù), 為基于半導(dǎo)體的大規(guī)模量子信息處理和固態(tài)量子計(jì)算預(yù)示了良好的前景.