杜 鑫, 胡 正, 王建英

(1.上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院, 上海 200444; 2.上海大學(xué)計算中心, 上海 200444)

許多工程實際中的系統(tǒng)通過機理建模通常會導(dǎo)致復(fù)雜的高階數(shù)學(xué)模型, 而直接使用這些高階模型通常會給后續(xù)系統(tǒng)仿真、分析、綜合帶來數(shù)值計算及物理實現(xiàn)上的困難, 因此需要通過模型降階方法來生成一個與原始系統(tǒng)具有相似響應(yīng)特性的低復(fù)雜度的降階模型[1-3].在控制理論、計算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛接受的模型降階方法包括平衡截斷法[4]、矩匹配法(Krylov 子空間法)[5]、本征正交分解[6].起源于控制系統(tǒng)主元分析的平衡截斷法由于其算法簡潔, 同時可以給出合理的先驗誤差上界, 被視為解決線性時不變系統(tǒng)以及諸多含有復(fù)雜動態(tài)特性的類線性系統(tǒng)模型降階問題的一個較好的理論框架.

切換系統(tǒng)是指由一組連續(xù)或離散動態(tài)子系統(tǒng)組成, 并按某種切換律在各子系統(tǒng)間切換的動力系統(tǒng), 許多工程系統(tǒng)如電力電子系統(tǒng)、輸電系統(tǒng)、飛行器控制系統(tǒng)、機器人控制系統(tǒng)等,都需要采用切換系統(tǒng)模型來描述其固有的動態(tài)特性.切換系統(tǒng)在過去30 多年間一直是控制與系統(tǒng)領(lǐng)域的研究熱點之一[7-10].近年來切換系統(tǒng)的模型降階問題得到了許多學(xué)者的關(guān)注, 并涌現(xiàn)出了一系列相關(guān)成果[11-28], 其中絕大多數(shù)工作都與平衡截斷法直接或間接相關(guān).Petreczky等[14-15]借助線性矩陣不等式定義并求解共同可控/可觀格拉姆矩陣, 進而給出可生成與線性時不變系統(tǒng)情形下相同形式誤差界的平衡截斷算法; Shaker 等[16-17]在此基礎(chǔ)上考慮了頻率受限情形下的切換系統(tǒng)模型降階.針對離散時間切換系統(tǒng), Birouche[18]提出了通過求解各子系統(tǒng)相關(guān)的可控/可觀格拉姆矩陣來實現(xiàn)平衡截斷模型降階.通過矩陣不等式求解切換系統(tǒng)格拉姆矩陣的思想在馬爾可夫切換系統(tǒng)的模型降階問題中也得到了相應(yīng)的推廣[19-22], 但這類方法需要通過線性矩陣不等式計算來求解所需格拉姆矩陣, 計算復(fù)雜度較高, 僅適用于求解小規(guī)模切換系統(tǒng)的模型降階問題.Monshizadeh 等[23]針對狀態(tài)矩陣可交換的任意切換線性系統(tǒng), 將共同可控/可觀格拉姆矩陣定義為一組特殊矩陣方程的解, 進一步給出了保持狀態(tài)矩陣可交換性的平衡截斷算法.注意到切換系統(tǒng)與雙線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的相似之處, Duff等[24]提出了基于雙線性結(jié)構(gòu)描述下系統(tǒng)可控/可觀格拉姆矩陣的平衡截斷算法; Strom 等[25]通過對切換系統(tǒng)無限能量格拉姆矩陣的深入研究, 給出了可提供L2 誘導(dǎo)范數(shù)意義下誤差界的平衡截斷算法.

周期切換系統(tǒng)是一類在航空系統(tǒng)、開關(guān)電源、多速率采樣系統(tǒng)等領(lǐng)域具有重要現(xiàn)實意義的切換系統(tǒng)[26-29].對離散時間周期切換系統(tǒng)的模型降階的研究開展較早.如通過采用系統(tǒng)提升(lifting)技術(shù)將周期切換系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個高維的線性時不變系統(tǒng), Varga[30]給出了相應(yīng)的平衡截斷模型降階算法; Farhood 等[31]進一步完善了該方法; Hossain 等[32]和Benner 等[33]針對廣義周期切換系統(tǒng)進一步給出了該方法的推廣形式, 并給出了適用于大規(guī)模周期切換系統(tǒng)的Lyapunov 方程低秩快速求解數(shù)值算法; 通過引入“快照”法求解近似格拉姆矩陣的思想,Ma等[34]給出了一類可實現(xiàn)快速求解的離散時間周期切換系統(tǒng)模型降階方法.但是, 針對連續(xù)時間周期切換系統(tǒng), 目前還未見較好的模型降階方法報道.

在電力電子系統(tǒng)如Buck/Boost 變換器中, 子系統(tǒng)間的切換速率很快, 切換信號通常為高頻的周期性信號, 本工作針對這類快速周期切換系統(tǒng)的模型降階問題展開研究.一方面, 通過引入狀態(tài)平均法, 即首先求取給定周期切換系統(tǒng)的直流平均模型以及交流小信號平均模型來描述其在直流輸入和交直流輸入情形下的“平均”動態(tài)特性[35-36]; 另一方面, 結(jié)合兩類平均模型中參數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性, 應(yīng)用奇異攝動平衡截斷理論分別給出了相應(yīng)的降階周期切換各子系統(tǒng)模型參數(shù)的兩類求解算法.兩類算法均保持了快切換條件下的系統(tǒng)穩(wěn)定性, 同時在“平均”動態(tài)特性意義下給出了相應(yīng)的模型逼近誤差性能先驗分析.最后, 應(yīng)用仿真算例說明了所提算法的有效性和優(yōu)越性.

1 問題描述

考慮連續(xù)時間周期切換線性系統(tǒng)

式中:x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;y(t)∈Cp是輸出信號;u(t)∈Rm是輸入信號; 切換周期為T,在每個周期中第i個子系統(tǒng)(Ai,Bi,Ci,Di)的激活時長為?tk=ti ?ti?1.定義一組周期切換信號pi(t),

則周期切換系統(tǒng)(1)可以表示為

式中:

本工作主要考慮快周期切換系統(tǒng)(即切換周期T較小)的模型降階問題, 即通過數(shù)學(xué)方法在已知給定切換系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上求取一個低階的快周期切換系統(tǒng)模型

近似地描述給定周期切換系統(tǒng)(1)的輸入輸出動態(tài)特性, 同時保持原系統(tǒng)的穩(wěn)定性等基本性質(zhì).(Ar(t),Br(t),Cr(t),Dr(t))由待求的低階子系統(tǒng)模型參數(shù)(Ari,Bri,Cri,Dri,i= 1,2,··· ,I)和與原系統(tǒng)相同的周期切換信號pi(t)組成, 即

2 周期快切換系統(tǒng)平衡截斷模型的降階

2.1 基于穩(wěn)態(tài)線性平均模型

狀態(tài)空間平均法是平均法的一階近似, 是電力電子系統(tǒng)(如各種類型的DC-DC 轉(zhuǎn)換器)進行瞬態(tài)建模分析的常用方法.定義第i個子系統(tǒng)的占空比為

系統(tǒng)的平均狀態(tài)為

式中:x(t)為周期切換系統(tǒng)的真實狀態(tài).通過一階近似法, 容易得到周期切換系統(tǒng)的直流平均模型

式中:

借助狀態(tài)空間平均模型(5), 可以采用線性時不變系統(tǒng)的方法和工具分析周期切換系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性, 同時還可以得到周期切換系統(tǒng)的一個弱穩(wěn)定性分析條件.

引理1[26-27]考慮周期切換系統(tǒng)(1), 如果其狀態(tài)空間平均模型穩(wěn)定, 即Aav為Hurwitz 矩陣, 則一定存在足夠快的切換頻率f=1/T使得周期切換系統(tǒng)(1)穩(wěn)定.

基于線性時不變的狀態(tài)空間平均模型(5), 給出借助奇異攝動型平衡截斷的算法來求解降級的各周期切換子系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣.

算法1基于直流平均模型的切換系統(tǒng)平衡截斷模型降階.

輸入: 給定線性切換系統(tǒng)模型(Ai,Bi,Ci,Di)以及降階模型數(shù)r.

(1) 求解關(guān)于平均狀態(tài)空間模型的可控/可觀Lyapunov 方程:

(2) 對矩陣進行Cholesky 分解:=Uav.

(3) 對矩陣av進行特征值分解:=Vav, 其中Σav= diag{σav1,σav2,··· ,σavn}.

(4) 計算相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣:Tav=.

(5) 通過坐標(biāo)變換計算給定穩(wěn)態(tài)平均模型的平衡實現(xiàn)以及各切換子系統(tǒng)模型的平衡實現(xiàn):

(6) 根據(jù)待求解降階模型階數(shù)r對各平衡實現(xiàn)下的狀態(tài)空間參數(shù)矩陣進行分塊, 可得

式中:Aavb11,Aib11∈Rr×r;Bavb1,Cib1∈Rr×p;Cavb1,Cib1∈Rm×r.進而, 根據(jù)

生成待求的降階快周期切換系統(tǒng)各子系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣.

輸出: 低階線性切換系統(tǒng)模型(Ari,Bri,Cri,Dri).

定理1算法1 生成的降階周期切換系統(tǒng)同樣滿足弱穩(wěn)定性(即存在足夠高的切換頻率使得其穩(wěn)定), 降階周期切換系統(tǒng)的直流平均模型與原周期切換系統(tǒng)的直流平均模型(5)在直流輸入下的誤差為0, 即

同時, 在全頻域上的逼近性能存在H∞范數(shù)意義下的誤差界:

其 中Grav(jω) =Crav(jωI ?Arav)?1Brav+Drav為 降 階 周 期 切 換 系 統(tǒng) 直 流 平 均 模 型(Arav,Brav,Crav,Drav)的傳遞函數(shù).

證明 設(shè)()為直流平均模型(5)采用奇異攝動平衡截斷所生成的降階模型.結(jié)合式(5)中關(guān)于周期切換系統(tǒng)直流平均模型的定義以及算法1 中降階周期切換系統(tǒng)各子系統(tǒng)模型參數(shù)的計算公式, 可推得

不難看出, 降階周期切換系統(tǒng)的直流平均模型Grav(jω)(Arav,Brav,Crav,Drav)與直接對原系統(tǒng)直流平均模型進行奇異攝動平衡截斷模型降階所得線性時不變模型(jω)()完全一致, 根據(jù)奇異攝動平衡截斷理論[1-3]可知,為Hurwitz 矩陣且滿足

其中(jω) =(j)?1+為相應(yīng)線性時不變降階系統(tǒng)的傳遞函數(shù).進一步根據(jù)引理1 可知, 降階周期切換系統(tǒng)具有快切換條件下的弱穩(wěn)定性, 同時定理1 中描述的頻域逼近性能成立, 即有

注1針對線性時不變系統(tǒng)的模型降階問題, 平衡截斷法有標(biāo)準(zhǔn)型和奇異攝動型2 種生成相同全頻域誤差上界的降階系統(tǒng)參數(shù)矩陣求解形式, 采用標(biāo)準(zhǔn)型平衡截斷法可得到較好的高頻段模型逼近性能(其中降階模型與原模型在ω=∞處完全匹配), 而采用奇異攝動型平衡截斷法則可得到較好的低頻段模型性能(其中降階模型與原模型在ω=0 處完全匹配), 關(guān)于這2種類型的平衡截斷詳細(xì)介紹見文獻[1,3].當(dāng)系統(tǒng)輸入為直流信號即零頻信號時, 在算法1 中對直流平均模型采用奇異攝動型平衡截斷顯然更為合理.

2.2 基于交流小信號平均模型

對于許多實際周期切換系統(tǒng), 其輸入往往存在直流信號之外的交流攝動信號, 且交流攝動信號的幅度遠(yuǎn)小于直流信號.此外, 系統(tǒng)的切換時間也有可能存在攝動.在這種情況下通常采用小信號方法來建立周期切換系統(tǒng)的交流小信號平均模型, 進行系統(tǒng)動態(tài)分析[35].如果系統(tǒng)的切換頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的自然頻率以及交流攝動信號的頻率, 則交流小信號平均模型可以很好地描述系統(tǒng)在交流攝動情形下的動態(tài)響應(yīng)特性[36].

首先, 假設(shè)周期切換系統(tǒng)在直流輸入u(t) =U會達到一個平衡態(tài)X, 該平衡態(tài)由下列方程建立:

當(dāng)輸入信號中疊加有小的交流攝動攝動信號時(即u(t) =U+uac(t), 其中uac(t)表示小的交流攝動信號), 令ηi(t)=ηi+ηpi(t)表示第i個子系統(tǒng)在一個周期內(nèi)的激活時間函數(shù), 其中ηpi(t)上的攝動相應(yīng)的系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)、輸出y(t)以及占空比均可表示為下列穩(wěn)態(tài)加攝動的形式:

將式(13)帶入系統(tǒng)的動態(tài)方程(1), 可得

進一步整理式(14), 可得

根據(jù)式(12), 可以消掉式(15)中的直流項.此外, 基于交流攝動為小信號的假設(shè), 忽略式(15)中微小的二次非線性項不會帶來嚴(yán)重的系統(tǒng)分析誤差, 因此可得到如下線性的交流小信號平均模型:

式(16)可進一步整理為

式中: 系統(tǒng)矩陣(Aav,Bav,Cav,Dav)及輸入信號ˉup(t)分別為

其中

基于上述周期切換系統(tǒng)的交流小信號平均模型, 下面給出結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)平衡截斷法的周期切換系統(tǒng)模型降階算法

算法2基于小信號交流平均模型的切換系統(tǒng)平衡截斷模型降階算法.

輸入: 給定線性切換系統(tǒng)模型(Ai,Bi,Ci,Di)以及降階模型數(shù)r.

(1) 求解關(guān)于平均狀態(tài)空間模型的可控/可觀Lyapunov 方程:

(2) 對矩陣進行Cholesky 分解:=.

(3) 對矩陣進行特征值分解:=, 其中Σav=diag{σav1,σav2,··· ,σavn}.

(4) 計算相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣:Tav=.

(5) 通過坐標(biāo)變換計算給定切換系統(tǒng)小信號交流平均模型以及各子系統(tǒng)模型的平衡實現(xiàn):

(6) 根據(jù)待求解降階模型階數(shù)r對各平衡實現(xiàn)下的狀態(tài)空間參數(shù)矩陣進行分塊, 可得

式中:Aavb11∈Rr×r;Bavb1,,∈Rr×p;Cavb1,,∈Rm×r.進一步可根據(jù)下式

生成待求的降階快周期切換系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣, 其中0< α <1為可調(diào)參數(shù), 通常選取為交流攝動信號與直流信號之比的估計值, ()為交流小信號平均模型(17)采用奇異攝動平衡截斷所生成的降階模型參數(shù)矩陣:

輸出: 低階線性切換系統(tǒng)模型(Ari,Bri,Cri,Dri).

定理2算法2 生成的降階周期切換系統(tǒng)同樣滿足弱穩(wěn)定性(即存在足夠高的切換頻率使得其穩(wěn)定), 降階周期切換系統(tǒng)的交流小信號平均模型與原周期切換系統(tǒng)的交流小信號平均模型(17)在全頻域上的逼近性能存在下列H∞范數(shù)意義下的誤差界:

其中Grav(jω) =Crav(jωI ?Arav)?1Brav+Drav為降階周期切換系統(tǒng)交流小信號平均模型(Arav,Brav,Crav,Drav) 的傳遞函數(shù).

證明 結(jié)合式(17)中關(guān)于交流小信號平均模型的定義以及算法2 中各降階子系統(tǒng)模型參數(shù)的計算公式可得

進一步, 可以證明

同樣不難看出, 降階周期切換系統(tǒng)的交流小信號平均模型Grav(jω)(Arav,Brav,Crav,Drav)與直接對原系統(tǒng)交流小信號平均模型(17)進行標(biāo)準(zhǔn)平衡截斷模型降階所得線性時不變模型(jω)()完全一致, 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)平衡截斷理論可知為Hurwitz 矩陣滿足

進一步根據(jù)引理1 可知, 降階周期切換系統(tǒng)具有快切換條件下的弱穩(wěn)定性, 同時其交流小信號模型滿足全頻域下的逼近誤差性能:

注2與算法1 相同, 算法2 中同樣采用奇異攝動型平衡截斷來對首先生成平均模型的降階系統(tǒng)參數(shù); 但由于直流平均模型與交流小信號模型結(jié)構(gòu)的不同, 算法2 中采用了與算法1 不同的方式來生成降階周期切換子系統(tǒng)的模型參數(shù), 但生成兩類算法的初衷都在于使其降階周期切換系統(tǒng)的平均模型與平均模型的降階系統(tǒng)相匹配.

注3 周期切換系統(tǒng)作為一類特殊的切換系統(tǒng), 采用針對一般切換系統(tǒng)開發(fā)的模型降階方法[14,23-24]在理論上是可行的, 但這些方法均需假設(shè)各子系統(tǒng)必須為漸進穩(wěn)定, 且求解算法涉及多組Lyapunov 或廣義Lyapunov 方程, 甚至Lyapunov 矩陣不等式的求解.本工作中的兩類算法中均不需要假設(shè)切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)漸進穩(wěn)定, 只要其平均模型穩(wěn)定即可進行求解, 同時算法中僅涉及到一組Lyapunov 方程求解以及一些簡單的矩陣運算, 可以更為方便地處理周期切換系統(tǒng)的模型降階問題.

3 仿真算例

考慮Henry[37]給出的一個關(guān)于梯形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下四級交換電容式直流對直流(DC-DC)轉(zhuǎn)換器的建模案例, 其電路結(jié)構(gòu)如圖1 所示.

圖1 梯形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)四級交換電容式轉(zhuǎn)換器電路結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of four-stage SC converter with a ladder topology

圖1 所示的10 個“開關(guān)/切換”元件為FDMS8460 MOSFETs, 其等效開關(guān)電阻用Rsw=0.003 表示, 8 個電容元件均為Nichicon 的陶瓷電容, 其電容值Cc= 25, 等效電阻為Rc=0.001.以各電容的兩端電壓作為狀態(tài),Vin,Vout2 個端口的電壓信號作為系統(tǒng)的輸入, 電容C1的兩端電壓信號作為系統(tǒng)的輸出, 根據(jù)其開關(guān)元件的狀態(tài)[37], 該切換電路的切換周期為0.50 s, 2 個切換模式即子系統(tǒng)的占空比均為0.5, 即各自在一個周期內(nèi)的激活時間均為0.25 s.借助基爾霍夫電壓電流定理對該電路進行分析建模, 可求得該電路在切換模式1 和2 下的狀態(tài)空間方程為

2 個切換模式下的子系統(tǒng)參數(shù)矩陣分別為

式中:Ca為由各電容的電容值組成的對角矩陣,Ca=diag{Cc,Cc,··· ,Cc};E1,F1,G1和E2,F2,G2包含了電路在2 個不同切換模式下的開關(guān)元件的狀態(tài)信息以及其他參數(shù)信息, 分別為

通過Matlab 計算不難發(fā)現(xiàn), 上述電路的2 個切換子系統(tǒng)均存在虛軸上的極點, 無法直接應(yīng)用Petreczky 等[14]提出的線性矩陣不等式方法來求解其共同格拉姆矩陣, 也無法直接應(yīng)用Monshizadeh 等[23]給出的子系統(tǒng)格拉姆矩陣平均法進行求解.幸運的是, 該電路的直流平均模型/交流小信號平均模型中的平均狀態(tài)矩陣Aav=Aav=0.5A1+0.5A2為Hurwitz 矩陣, 可直接應(yīng)用本方法中的算法1 或算法2 進行求解.

(1) 首先考慮輸入為直流信號的情況.設(shè)需要的降階模型階數(shù)為2, 則基于直流平均模型(5)通過算法1 生成2 階的周期切換子系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣:

為直觀地展現(xiàn)降階后的2 階周期切換模型對原8 階周期切換系統(tǒng)的逼近性能, 可以通過Matlab 進行仿真驗證, 在仿真程序中輸入如下直流信號:

圖2 為仿真所得2 階周期切換系統(tǒng)在直流輸入下的輸出信號.

圖2 算法1 所得2 階周期切換系統(tǒng)在直流輸入下的逼近性能Fig.2 Approximation performance of the 2nd reduced switched systems obtained by using Algorithm 1 in the presence of DC input

從圖2 可以看出, 在相同的(零頻)直流輸入信號激勵下, 算法1 所得2 階降階周期切換模型對原8 階周期切換系統(tǒng)具有良好的逼近效果, 相應(yīng)的輸出誤差非常小, 充分說明了算法1 在直流輸入情形下的有效性.同時, 2 個周期切換系統(tǒng)的直流平均模型所得輸出誤差收斂為0, 這與定理1 給出的理論分析結(jié)果相符.

(2) 考慮輸入在直流信號之外存在交流攝動信號以及切換時間存在攝動的情況.同樣假設(shè)所需降階模型的階數(shù)為2, 則基于交流小信號平均模型(17), 可應(yīng)用算法2 得到相應(yīng)的2 階周期切換子系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣:

令算法2 中的可調(diào)參數(shù)α=0.1, 即設(shè)交流攝動信號與直流信號之比的估計值約為0.1.該2 階周期切換模型在存在交流攝動以及切換時間攝動情形下的逼近性能同樣可通過Matlab 進行仿真驗證.在直流信號的基礎(chǔ)上增加交流攝動信號, 式(24)變換為

令切換時間的攝動值為

圖3 為標(biāo)準(zhǔn)周期切換信號和帶有切換時間攝動的周期切換信號.由圖3 可知, 子系統(tǒng)1 在T=0.5 s 的切換周期中的激活時間由0.250 0 s 攝動為0.292 4 和0.207 6 s.

圖3 標(biāo)準(zhǔn)周期切換信號與帶有切換時間攝動的周期切換信號Fig.3 Periodically switching signal and perturbed periodically switching signal

為與算法1 中所得降階模型進行比較, 圖4 分別給出了通過算法2 以及算法1 分別得到的降階周期切換模型與原模型之間逼近性能的曲線, 包括原8 階周期切換系統(tǒng)與2 階周期切換模型的輸出曲線以及相應(yīng)的輸出誤差曲線.

通過圖4 可以看出, 相對于基于直流平均模型的降階算法1, 采用基于交流小信號平均模型的算法2 所得到的2 階降階模型在帶有交流攝動輸入信號以及切換時間攝動的情形下有著更好的逼近性能.這進一步說明了在考慮交流攝動輸入信號以及切換時間攝動的情況下設(shè)計算法2 的必要性.

圖4 2 階周期切換系統(tǒng)在直流-交流輸入以及切換時間攝動情形下的逼近性能Fig.4 Approximation performance of the 2nd reduced switched systems obtained by using Algorithm 2 and Algorithm 1 in the presence of DC-AC input as well as switched time perturbation

通過仿真算例可以得出, 算法1 非常適用于僅存在直流輸入情形下的快周期切換系統(tǒng)模型降階問題, 而對存在交流攝動輸入信號以及切換時間攝動的快周期切換系統(tǒng)模型降階問題,則可以考慮采用算法2 來求解相應(yīng)的降階周期切換系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣.

4 結(jié)束語

針對快周期切換系統(tǒng)的模型降階問題, 本工作通過引入其直流平均模型和交流小信號平均模型, 結(jié)合奇異攝動平衡截斷理論分別給出了兩類求解降階周期切換模型參數(shù)矩陣的算法.這兩類算法均可保持原系統(tǒng)在快周期切換下的穩(wěn)定性, 同時可分別生成逼近系統(tǒng)在僅有直流輸入以及存在交流攝動與切換時間攝動輸入情形下輸入輸出相應(yīng)特性的降階模型.應(yīng)用仿真例子驗證了所提算法的有效性以及兩類算法的不同適用范圍.