馮勝豪，王 莉，黃 玲

（華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013）

討論了以下非線性分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松方程組的一個(gè)非平凡解的存在性。

（f2） 存在u∈（2，2）使得

方程（1）更一般的形式為下列薛定諤-泊松方程組：

并利用山路引理和集中緊原理得到了方程（3）正解的存在性。 而涉及兩個(gè)或多個(gè)非局部項(xiàng)的方程組問題研究較少。 Zhang 等[7]研究了分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤-泊松方程組

通過擾動(dòng)法證明了方程（4）正解的存在性，并研究了含有參數(shù)λ 時(shí)方程解的漸近性。文獻(xiàn)[8-9]有關(guān)于分?jǐn)?shù)階更多的薛定諤-泊松方程組的研究結(jié)果。

基于上述工作，本文通過變分法，也就是把方程的解轉(zhuǎn)化為相應(yīng)能量泛函臨界點(diǎn)的問題， 即在尋找函數(shù)的極大和極小值。 主要目的是通過集中緊原理和山路定理證明具有雙臨界增長分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松方程（1）的非平凡解的存在性。

定理1.1假設(shè)（f1）和（f2）成立，則方程組（1）至少有一個(gè)非平凡解。

1 定義

在本節(jié)中我們將給出相關(guān)函數(shù)空間的定義和非局部項(xiàng)φ 的一些性質(zhì)。 分?jǐn)?shù)階Sobolev 空間Hs（R3）描述如下

定義其內(nèi)積和范數(shù)為

齊次分?jǐn)?shù)階Sobolev 空間

對于u∈Hs（R3），我們定義

作為在Hs（R3）的范數(shù)，其內(nèi)積為

根據(jù)Lax-Milgram 定理，對?u∈Hs（R3），存在唯一的φus∈Ds，2（R3）使得

這叫做s-Riesz 勢[12], 其中

那么

將φus替代φ 到方程（1），得到下面的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程

其能量泛函為

此外，由式（9）和式（10）知I（u）是C1泛函。對于任何v∈Hs（R3），可得

如果v∈Hs（R3）是一個(gè)臨界點(diǎn)，則存在一對（u，φus）是方程（1）的解。

2 主要引理及其證明

引理2.1假設(shè)（f1）和（f2）成立，則存在ρ＞0，η＞0 使得當(dāng)?u∈Hs（R3）滿足‖u‖=ρ 時(shí)有inf I（u）＞η＞0。

證明對任何ε＞0，根據(jù)（f1），（f2）和Sobolev 不等式知，存在Cε＞0 使得

其中C 是一個(gè)正常數(shù)。 比較式（5），式（10），式（12），對于u∈?Ωρ和C＞0，有

因?yàn)?＜min｛2s*，2（2s*－1）｝，選取ε∈（0，1），所以一定存在ρ＞0 足夠小使得inf I（u）＝η＞0。

引理2.2假設(shè)（f1）和（f2）成立，則存在e∈Hs（R3）使得當(dāng)‖e‖≥ρ 時(shí)有I（e）＜0，其中ρ 是引理2.1 給出的。

證明利用（f1）和（f2），可得存在M，L＞0，μ∈（2，2s*）使得

選擇μ0∈C0∞（R3）｛0｝，通過引理2.1，當(dāng)t→+∞，有

讓T≥1 足夠大使‖Tu0‖＞ρ，取e=Tu0，則有I（Tu0）＜0。

根據(jù)2.1，2.2 兩個(gè)引理，可定義

式中：Γ=｛γ∈C（［0，1］；Hs（R3））｜γ（0）＝0；I（γ（1））＜0｝。

引理2.3假設(shè)（f1）和（f2）成立，如果｛un｝?Hs（R3）是一個(gè)Cerami 序列，即

則｛un｝是有界的。

證明當(dāng)n 足夠大時(shí)，根據(jù)（f2）有

從而｛un｝在Hs（R3）是有界的。

引理2.4假設(shè)｛un｝?Hs（R3）且滿足當(dāng)n→∞時(shí)，有

則存在｛yn｝?R3和R，σ＞0 使得

證明我們用反證法證明。 假設(shè)結(jié)論不成立，通過（f1）和（f2）可知

然后根據(jù)式（17）和［Ι′（un），un］＝On（1），當(dāng)n→∞時(shí)，有

引理2.5設(shè)A，B，C＞0，定義h∶［0，∞）→R，其中

則有

證明對于t≥0，有

其中κ∈R｛0｝，τ＞0，x0∈R3。 根據(jù)文獻(xiàn)[13－14]可以得到

且

引理2.6令

則當(dāng)ε→0+時(shí)，有

由式（19）可得，當(dāng)ε＞0 足夠小時(shí)，

聯(lián)合引理2.5 即得

引理2.7式（14）所定義的c 滿足

證明根據(jù)引理2.1 和引理2.2 知，存在tε＞0 使得

并且

由（f1）有

由I 的連續(xù)性， 存在ε1＞0，T1＞0 使得對任意的ε∈（0，ε1），有tε≥T1。

由（f2）有

可知存在ε2＞0 和T2＞0 使得對任意的ε∈（0，ε2），有tε≤T2。

根據(jù)（f1）和（f2），存在M1，L1＞0 使得

結(jié)合引理2.6，可以得到當(dāng)ε＞0 足夠小時(shí)，有

取ε＞0 足夠小，由μ∈（2，2s*），有

3 主要結(jié)果的證明

注意‖un‖=‖vn‖，則存在子序列，仍記為vn，vn∈Hs（R3）使得vn（x）→v，并且在R 內(nèi)vn→v 幾乎處處成立。 根據(jù)式（22）知v≠0。 選取φ∈C0∞（R3），可得

又因?yàn)?/p>

則當(dāng)n→∞時(shí)，有

通過式（23）和式（24），發(fā)現(xiàn)當(dāng)n→∞時(shí)，

從而當(dāng)n→∞時(shí)，有