王國濤，姜秋喜，劉方正

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

隨著LPI雷達(dá)信號(hào)的廣泛應(yīng)用，戰(zhàn)場電磁環(huán)境愈來愈密集復(fù)雜，給雷達(dá)信號(hào)的分選帶來了極大的威脅。傳統(tǒng)的信號(hào)分選系統(tǒng)主要利用信號(hào)的脈沖重復(fù)間隔(PRI)、到達(dá)時(shí)間(TOA)、到達(dá)角(DOA)、載頻(CF)以及脈沖寬度(PW)等輻射源描述字(EDW)來完成信號(hào)的分選識(shí)別，而LPI雷達(dá)使用具有寬頻帶和大時(shí)寬的信號(hào)，使空間電磁信號(hào)在時(shí)域大量交疊，頻域上跨度增大，受噪聲和強(qiáng)信號(hào)的影響，弱信號(hào)難以被檢測出來，密集復(fù)雜的電磁環(huán)境使得傳統(tǒng)算法難以準(zhǔn)確地完成信號(hào)的分選[1-2]。

獨(dú)立成分分析技術(shù)(independent component analysis, ICA)是一種基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中尋找內(nèi)在獨(dú)立因子或成分的方法。該方法能夠在變量和混合系統(tǒng)均未知的情況下，通過對觀測信號(hào)的分解得到隱藏在其中統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的若干變量[3]，F(xiàn)astICA算法是其中運(yùn)行效率較高的一種算法，目前在生物信號(hào)處理[4]、語音信號(hào)分離[5]、無線通信[6]和數(shù)據(jù)挖掘[7]等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)FastICA算法是基于二階牛頓迭代方法，進(jìn)行合理近似的一種算法。為了提高FastICA算法的穩(wěn)定性，減少迭代次數(shù)，近年來許多學(xué)者提出了改進(jìn)的FastICA算法[8-11]。其中文獻(xiàn)[11]基于3階牛頓迭代法提出了改進(jìn)的FastICA算法，其收斂速度快于傳統(tǒng)算法。為了解決基于輻射源描述字的傳統(tǒng)信號(hào)分選方法難以適應(yīng)當(dāng)前復(fù)雜電磁環(huán)境的問題，本文提出將基于3階牛頓迭代的改進(jìn)FastICA算法應(yīng)用于雷達(dá)信號(hào)的分離中。首先采用主成分分析(PCA)技術(shù)對信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維預(yù)處理，然后利用改進(jìn)算法進(jìn)行循環(huán)迭代得到分離矩陣，最后根據(jù)分離矩陣提取出獨(dú)立的雷達(dá)信號(hào)成分。

1 改進(jìn)的FastICA算法

FastICA算法需要對信號(hào)的非高斯性進(jìn)行衡量，以確定最大值。目前主要衡量方法有峭度和負(fù)熵兩大類，由于峭度對野值比較敏感，容易造成大的偏差，所以本文使用負(fù)熵作為衡量工具，隨機(jī)變量x的負(fù)熵表達(dá)式為：

J(x)=H(x)-H(xgauss)

(1)

J(x)∝{E[G(x)]-E[G(xgauss)]}2

(2)

式(2)中，G(x)是x的非線性函數(shù)，常見G函數(shù)有3種，詳細(xì)見文獻(xiàn)[3]。

假設(shè)x=wTv是待估計(jì)的源信號(hào)(w是分離矩陣W中列向量，v是經(jīng)過預(yù)處理后的觀測矩陣)，那么根據(jù)非線性規(guī)劃中Kuhn-Tucke最優(yōu)化條件，當(dāng)分離矩陣W=[w1,w2,…,wm]中列向量的二范數(shù)為1，即‖wi‖2=1,i=1,2,…,m時(shí)，問題就轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)化模型：

(3)

為求解該公式，建立拉格朗日函數(shù)：

L(w,β)=J(w)-β(‖w‖2-1)=
{E[G(wTv)]-E[G(xgauss)]}2+β‖w‖2

(4)

對式(4)求導(dǎo)，得到：

(5)

那么模型(3)的最大值求解問題可以轉(zhuǎn)化為求解下式：

(6)

根據(jù)3階牛頓迭代法[12]：

(7)

xn+1是非線性方程f(x)=0的解，據(jù)此求解方程(3)，再化簡得到改進(jìn)的FastICA算法的迭代式為：

(8)

2 基于改進(jìn)FastICA算法的雷達(dá)信號(hào)盲分離

圖1是雷達(dá)信號(hào)盲源分離的模型，假設(shè)有m個(gè)相同的傳感器任意分布在同一平面上，組成接收陣列。n個(gè)獨(dú)立的雷達(dá)源信號(hào)s1(t),s2(t)，…，sn(t)，在空間經(jīng)過線性混疊后被接收陣列截獲，收到的信號(hào)為x1(t),x2(t)，…，xm(t)。

圖1 雷達(dá)信號(hào)盲源分離模型Fig.1 Blind source separation model of radar signal

混合模型可表示為：

(9)

式(9)中，aij是混合系數(shù)，為常數(shù)。該模型用矩陣可以表示為：

X=AS

(10)

式(10)中，S=[s1(t),s2(t)，…，sn(t)]表示源信號(hào)矩陣，X=[x1(t),x2(t)，…，xm(t)]表示觀測信號(hào)矩陣，A∈Rm×n表示混合矩陣。該模型必須具備以下條件[13]：

1) 所有源信號(hào)之間是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

2) 源信號(hào)中最多有一個(gè)是服從高斯分布的信號(hào)。

3) 觀測的混合信號(hào)個(gè)數(shù)應(yīng)不小于源信號(hào)的個(gè)數(shù)，即m≥n。

在以上條件約束下，ICA算法要解決的問題就是：通過求取分離矩陣W，使得通過分離算法Y=WX后，輸出的矩陣Y中各分量相互獨(dú)立。

2.1 基于PCA的數(shù)據(jù)預(yù)處理

在使用FastICA算法前，為了提高運(yùn)算效率，需要對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。主成分分析(PCA)是對數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，提取數(shù)據(jù)間的特征，進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮的經(jīng)典方法。使用PCA方法可以從一組多維數(shù)據(jù)中找到冗余度更小的一個(gè)子集，對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，從而提高FastICA算法的效率。假設(shè)有一組數(shù)據(jù)X∈Rm×n，PCA變換過程如下：

1) 去均值。將矩陣X中的每一行減去該行的均值，即：

X←X-E(X)

(11)

2) 求數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣：

CX=E[XXT]

(12)

式(12)中，CX是數(shù)據(jù)X的協(xié)方差矩陣。

3) 求協(xié)方差矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量，特征值從大到小記為{d1,d2,…,dn}，對應(yīng)的特征向量為{u1,u2,…,un}。

4) 選取最大的m個(gè)特征值所對應(yīng)的特征向量組成矩陣Wh={u1,u2,…,um}。

5) 對矩陣X進(jìn)行變換：

(13)

式(13)中，V∈Rm×n是經(jīng)過PCA處理后的數(shù)據(jù)矩陣。

2.2 算法流程

2.1節(jié)中算法過程只估計(jì)了一個(gè)獨(dú)立分量，要想分離所有變量則需要多次迭代，而且每次估計(jì)出分量后還應(yīng)對分離矩陣進(jìn)行處理，去除已分離變量，具體算法流程如下：

1) 數(shù)據(jù)預(yù)處理：對觀測信號(hào)進(jìn)行去PCA處理，得到矩陣V=[v1,v2,…,vn]。

2) 初始化分離矩陣W=[w1,w2,…,wn]，初始值可以為隨機(jī)值，但需滿足‖wi‖=1,i=1,2,…,n。

3) 根據(jù)迭代公式(5)，更新wi，得到分離向量。

4) 每次迭代后對wi進(jìn)行正交和歸一化處理，正交化采用對稱正交化算法。過程公式如下：

(14)

5) 判斷wi是否收斂，若式|wk+1-wk|<ε(本文取ε=10-7，k代表是第k次迭代結(jié)果)成立，則wi收斂；否則返回步驟3)繼續(xù)進(jìn)行迭代。

6) 若i

2.3 算法性能評價(jià)指標(biāo)

為了能夠評估改進(jìn)FastICA算法分離信號(hào)的性能，這里選取信號(hào)的相似系數(shù)來對算法分離效果進(jìn)行評價(jià)。相似系數(shù)是描述估計(jì)信號(hào)與源信號(hào)之間相似性的一種參數(shù)，定義為：

(15)

式(15)中，si(t)為源信號(hào)中第i個(gè)信號(hào)序列，yj(t)為分離得到第j個(gè)信號(hào)序列。當(dāng)兩信號(hào)獨(dú)立時(shí)，ξij=0；當(dāng)yj(t)=csi(t)，c為常數(shù)時(shí)，即兩個(gè)信號(hào)只是幅度不同時(shí)，ξij=1；ξij值越大表示兩個(gè)信號(hào)的一致性越好，算法的分離效果就越好[14]。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)仿真分兩組進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)1為連續(xù)波信號(hào)的分離；實(shí)驗(yàn)2為脈沖波信號(hào)的分離。分別使用本文中改進(jìn)的算法和文獻(xiàn)[13]中傳統(tǒng)算法對信號(hào)進(jìn)行分離實(shí)驗(yàn)，并從估計(jì)的一致性和算法的收斂性兩個(gè)方面對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1 連續(xù)波信號(hào)分離實(shí)驗(yàn)

本組實(shí)驗(yàn)分析的是連續(xù)波環(huán)境下的信號(hào)分離性能，設(shè)置了3組不同調(diào)制的連續(xù)波雷達(dá)信號(hào)和1組噪聲信號(hào)，分別是：

1) 單載頻信號(hào)(NS)：

s1=2cos(2πf0t)

(16)

式(16)中，載頻f0=8×106Hz。

2) 線性調(diào)頻信號(hào)(LFM)：

s2=cos(2πf0t+kπt2)

(17)

式(17)中，f0=107Hz,k=1012。

3) 二相編碼信號(hào)(BPSK)：選取7位巴克碼，碼元內(nèi)信號(hào)為cos(2πf0t+φ)，碼元為1時(shí)，φ=π；碼元為0時(shí)，φ=0 ；載頻f0=8×106Hz。

4) 高斯白噪聲，噪聲功率為10 dBW，LFM信號(hào)對應(yīng)的信噪比為-13 dB。

源信號(hào)波形如圖2所示，圖中信號(hào)從上至下依次對應(yīng)為上述列舉的信號(hào)(1-4)。使用Matlab產(chǎn)生一組隨機(jī)的5×4的混合矩陣，混合后的信號(hào)時(shí)域波形如圖3所示。

圖2 連續(xù)波源信號(hào)的時(shí)域波形Fig.2 The continous source signals

圖3 混合信號(hào)的時(shí)域波形Fig.3 The mixed signals

分別使用兩種算法對信號(hào)進(jìn)行分離，圖4、圖5分別是改進(jìn)算法和傳統(tǒng)算法分離得到的波形圖。表1為分離得到信號(hào)與源信號(hào)之間的相似系數(shù)矩陣，表中源信1-4分別代表源信號(hào)中對應(yīng)的信號(hào)(1-4)，信號(hào)1-5分別對應(yīng)圖4、圖5中從上至下的5個(gè)信號(hào)。表2是經(jīng)過100次實(shí)驗(yàn)后總迭代次數(shù)的統(tǒng)計(jì)表。

圖4 改進(jìn)算法分離信號(hào)的時(shí)域波形Fig.4 The signals separated by the improved algorithm

圖5 傳統(tǒng)算法分離信號(hào)的時(shí)域波形Fig.5 The signals separated by traditional algorithm

表1 分離信號(hào)與源信號(hào)的相似系數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Statistical table of similarity coefficient between separated signal and source signal

估計(jì)的一致性方面：從表1中可以看出雖然輸入為4組信號(hào)，輸出為5組信號(hào)，但是輸出信號(hào)中有一組幅度明顯遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他組，因此可以認(rèn)為該信號(hào)不存在；從波形圖和表1可以看出，改進(jìn)FastICA算法分離出的信號(hào)與源信號(hào)非常相近，只是排列順序與源信號(hào)不同，而且某些信號(hào)的幅度與對應(yīng)信號(hào)的幅度也有所不同，分離出的信號(hào)與源信號(hào)的相似度均達(dá)到0.999 0以上。通常把分離信號(hào)順序和幅度的不確定性稱為盲源分離問題的不確定性，這些對后續(xù)信號(hào)的參數(shù)測量或者分類識(shí)別并不影響。而且如果把白噪聲看作是強(qiáng)噪聲干擾信號(hào)，該算法也能正確分離出噪聲信號(hào)，這對于判斷干擾信息也有實(shí)際的意義。

算法的收斂性方面：從表2可以看出，改進(jìn)算法總體上是收斂的，表明算法分離不同調(diào)制信號(hào)是可行的。同時(shí)改進(jìn)算法雖然偶爾的迭代次數(shù)較多，但總體上要少于傳統(tǒng)算法，因此收斂性更好。

表2 兩種算法總迭代次數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.2 Statistics of total iterations of the two algorithms

3.2 脈沖波信號(hào)分離實(shí)驗(yàn)

本組實(shí)驗(yàn)分析的是對脈沖信號(hào)的分離能力，實(shí)驗(yàn)中設(shè)置了到達(dá)時(shí)間相同、寬脈沖覆蓋窄脈沖、PRI隨機(jī)以及噪聲干擾等特殊情況，以此檢驗(yàn)算法的性能。實(shí)驗(yàn)中包含3組脈沖信號(hào)和2組連續(xù)信號(hào)：3組脈沖信號(hào)中第一組脈寬(PW)和脈沖重復(fù)周期(PRI)固定，第二組PW和PRI隨機(jī)變化，第三組PW固定，PRI隨機(jī)；連續(xù)信號(hào)中一組為BPSK信號(hào)，另一組為模擬強(qiáng)高斯白噪聲干擾信號(hào)。信號(hào)參數(shù)設(shè)置如下：

1) 單載頻脈沖：載頻f0=8×106Hz；脈沖寬度PW=5 μs，脈沖重復(fù)周期PRI=20 μs。

2) 線性調(diào)頻脈沖：初始頻率f0=107Hz，調(diào)頻斜率k=1 012，PW={6.4,6,4,6,5,8,10,7} μs， PRI={16.4,14.2,12,19,17,20,21.4} μs。

3) 頻率編碼信號(hào)：信號(hào)中兩個(gè)頻率分別為f1=6×106Hz，f2=9×106Hz，PW=6 μs，PRI={21,22,24,27,21} μs。

4) 二相編碼信號(hào)(BPSK)：本組信號(hào)設(shè)置為連續(xù)信號(hào)，選取序列為{1,1,1,0,0,1,0}的7位巴克碼信號(hào)，碼元內(nèi)信號(hào)載頻f0=107Hz。

5) 高斯白噪聲：噪聲功率為20 dBW，信號(hào)2對應(yīng)的信噪比為-27.3 dB。

源信號(hào)波形如圖6所示，信號(hào)從上至下依次對應(yīng)列舉的信號(hào)(1-5)。本實(shí)驗(yàn)的混合矩陣由Matlab隨機(jī)產(chǎn)生，得到的混合信號(hào)波形如圖7所示，從圖中可以看到信號(hào)幾乎完全被噪聲淹沒，無法從視頻信號(hào)中檢測出脈沖。

圖6 脈沖源信號(hào)的時(shí)域波形Fig.6 The pulse source signals

圖7 混合信號(hào)的時(shí)域波形Fig.7 The mixed signals

采用兩種算法對脈沖信號(hào)進(jìn)行分離，得到的時(shí)域波形分別如圖8、圖9所示。表3為對應(yīng)的相似系數(shù)統(tǒng)計(jì)表。表4為本實(shí)驗(yàn)進(jìn)行100次得到的總迭代次數(shù)的統(tǒng)計(jì)表。

表4 兩種算法總迭代次數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.4 Statistics of total iterations of the two algorithms

圖8 改進(jìn)算法分離信號(hào)的時(shí)域波形Fig.8 The signals separated by the improved algorithm

估計(jì)的一致性方面：從分離的波形圖可以看出，改進(jìn)算法分離得到的信號(hào)與源信號(hào)非常接近，只是信號(hào)的排列順序不一致。與實(shí)驗(yàn)1類似，表3中源信1-5分別代表源信號(hào)中對應(yīng)的信號(hào)(1-5)，信號(hào)1-5分別對應(yīng)圖8、圖9中從上至下的5個(gè)信號(hào)，表中每行每列中只有一個(gè)值為1或者接近于1，其他為0或者接近于0，可見分離得到的信號(hào)幾乎完整地保留了源信號(hào)的所有信息，說明該算法對同時(shí)到達(dá)、寬脈沖覆蓋窄脈沖、PRI隨機(jī)等脈沖雷達(dá)信號(hào)具有很好的分離效果，而且當(dāng)把混合信號(hào)中的噪聲當(dāng)作是有意干擾信號(hào)時(shí)，也能單獨(dú)分離出來。對比兩種算法的相似系數(shù)可以看出，改進(jìn)算法分離效果與傳統(tǒng)算法相差不大。

圖9 傳統(tǒng)算法分離信號(hào)的時(shí)域波形Fig.9 The signals separated by the traditional algorithm

表3 分離信號(hào)與源信號(hào)的相似系數(shù)統(tǒng)計(jì)表Tab.3 Statistical table of similarity coefficient between separated signal and source signal

算法的收斂性方面：改進(jìn)算法在分離信號(hào)時(shí)收斂，表明了該算法在雷達(dá)系統(tǒng)信號(hào)分選中的可行性。與實(shí)驗(yàn)1類似，實(shí)驗(yàn)中改進(jìn)算法迭代次數(shù)總體較小，收斂速度優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

3.3 不同信噪比條件下算法的性能

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的抗噪性能，在3.2節(jié)的實(shí)驗(yàn)信號(hào)環(huán)境下，信噪比設(shè)置在-20～5 dB范圍內(nèi)進(jìn)行蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。每隔1 dB進(jìn)行200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到的仿真結(jié)果如圖10和圖11所示。

圖10 相似系數(shù)隨信噪比變化曲線Fig.10 Variation curve of similarity coefficient with SNR

實(shí)驗(yàn)中將源信號(hào)對應(yīng)的最大相似系數(shù)進(jìn)行平均，使用平均相似系數(shù)來衡量算法的分離效果。圖10為信號(hào)的平均相似系數(shù)隨信噪比變化曲線，圖11為算法總迭代次數(shù)隨信噪比變化曲線。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，即使在較低信噪比條件下，算法仍具有較好分離效果。算法總迭代次數(shù)在不同信噪比條件下浮動(dòng)范圍很小，改進(jìn)算法收斂速度優(yōu)于改進(jìn)前算法。

圖11 總迭代次數(shù)隨信噪比變化曲線Fig.11 Variation of iterations number with SNR

3.4 實(shí)驗(yàn)總結(jié)

綜合文中兩組實(shí)驗(yàn)，總結(jié)如下：

1) 算法可以分離不同調(diào)制的雷達(dá)信號(hào)，可以分離出PRI隨機(jī)變化的雷達(dá)信號(hào)，較基于輻射源描述字的傳統(tǒng)算法有一定的優(yōu)勢。

2) 算法可以實(shí)現(xiàn)到達(dá)時(shí)間相同、寬脈沖覆蓋窄脈沖以及強(qiáng)噪聲干擾等復(fù)雜電磁環(huán)境下的雷達(dá)信號(hào)分選，而且分離出信號(hào)的信息與源信號(hào)基本相同。

3) 改進(jìn)算法較傳統(tǒng)FastICA算法在分離效果相同的情況下，運(yùn)算迭代次數(shù)更少，具有更快的收斂速度。

4 結(jié)論

本文在深入研究FastICA算法原理的基礎(chǔ)上，提出基于改進(jìn)FastICA算法的雷達(dá)信號(hào)分離方法。該方法利用了PCA進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，降低了數(shù)據(jù)的維數(shù)；進(jìn)而采用改進(jìn)的3階迭代公式進(jìn)行循環(huán)迭代，提取出獨(dú)立的源信號(hào)，達(dá)到雷達(dá)信號(hào)分離的目的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠在復(fù)雜的電磁環(huán)境中有效地分離出源信號(hào)，相較于傳統(tǒng)FastICA算法，該方法具有更快的收斂速度。這對于雷達(dá)偵察系統(tǒng)的信號(hào)預(yù)分選有一定的參考意義。