姜培華 童 慧

(安徽工程大學(xué)數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

一、引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(簡(jiǎn)稱“概率統(tǒng)計(jì)”)是全國(guó)高等院校數(shù)學(xué)系與統(tǒng)計(jì)系的基礎(chǔ)課，也是一些工科專業(yè)的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課。這門課的任務(wù)是以豐富的背景、巧妙的思維和有趣的結(jié)論吸引學(xué)者，使學(xué)生在濃厚的興趣中學(xué)習(xí)和掌握概率統(tǒng)計(jì)的基本概念、基本方法和基本理論[1]。概率統(tǒng)計(jì)也是一門應(yīng)用性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)分支之一，它在工程技術(shù)、科學(xué)研究、經(jīng)濟(jì)管理、企業(yè)管理和經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[2]。概率統(tǒng)計(jì)和其它數(shù)學(xué)分支有著緊密的聯(lián)系(如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、實(shí)變函數(shù)和測(cè)度論等)，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。但這門學(xué)科的概念比較抽象，理論和方法具有很強(qiáng)的邏輯性，很多高校學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程普遍感到比較困難。張德然和侯新昌分別在文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]中介紹了遞推法在概率解題中的應(yīng)用。旨在通過(guò)對(duì)一些抽象概率問(wèn)題的計(jì)算進(jìn)行剖析，展示如何利用全概率公式、遞推法和數(shù)學(xué)歸納法來(lái)求解這類問(wèn)題。通過(guò)對(duì)典型例題的分析、求解和方法凝練，加深學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)課程的認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)概率統(tǒng)計(jì)課程之中蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)之美”，并在此基礎(chǔ)之上開(kāi)拓學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以期達(dá)到提高教學(xué)效果的目的。

二、相關(guān)知識(shí)

遞推法和數(shù)學(xué)歸納法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的兩大法寶，在求解復(fù)雜概率計(jì)算問(wèn)題時(shí)，這兩種方法一般不能單獨(dú)使用，需要和全概率公式完美結(jié)合才能有效解決問(wèn)題。全概率公式是概率論中一個(gè)重要公式，它提供了計(jì)算復(fù)雜事件概率的一條有效途徑，使一個(gè)復(fù)雜概率的計(jì)算問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易。下面我們簡(jiǎn)要給出遞推法、數(shù)學(xué)歸納法和全概率公式的相關(guān)定義。

定義1 遞推法[3]：在一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的問(wèn)題里，通過(guò)尋找遞推關(guān)系，由初始值遞推獲得所需結(jié)果的方法稱為遞推法。

定義2 數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)(或者局部)自然數(shù)范圍內(nèi)成立。除了自然數(shù)以外，廣義上的數(shù)學(xué)歸納法也可以用于證明一般良基結(jié)構(gòu)，例如：集合論中的樹。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)學(xué)邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法。

(1)全概率公式的最簡(jiǎn)單形式，設(shè)0

三、遞推法求解抽象概率問(wèn)題舉例

例1(結(jié)繩成圈問(wèn)題) 將n根繩子的2n個(gè)頭兩兩相接，求恰好接成n個(gè)圈的概率。

解 分析可知，如果已知一根繩子接成圈了，要使得n根繩子接成n個(gè)圈就等價(jià)于考慮剩下的n-1根繩子接成n-1個(gè)圈，如此下去很容易看出，利用條件概率會(huì)有一個(gè)明顯的遞推關(guān)系存在。為此，設(shè)事件An為“恰好接成n個(gè)圈”，記pn=P(An)，又記事件B為“第一根繩子的兩頭相接成圈”，則由全概率公式可得

注意到

所以可得遞推公式

由此可得

例2[5](交換抽球問(wèn)題) 甲袋中有m-1個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙袋中有m個(gè)白球，每次從甲、乙兩袋中分別取出1個(gè)球并交換放入另一袋中去，這樣經(jīng)過(guò)了n次，求：

(1)黑球仍在甲袋中的概率是多少？

(2)討論當(dāng)n→∞時(shí)的情況下，黑球仍在甲袋中的概率是多少？

解 (1)設(shè)事件An為“經(jīng)過(guò)n次交換后，黑球出現(xiàn)在甲袋中”，記pn=P(An)，當(dāng)n≥1時(shí)由全概率公式可得

注意到

所以可得遞推公式

又因初始條件p0=1，由遞推關(guān)系并利用等比級(jí)數(shù)求和可得

例3(輪流擲骰子問(wèn)題) 甲、乙兩人輪流擲骰子，先由甲擲。每當(dāng)某人擲出1點(diǎn)時(shí)，則交給對(duì)方擲，否則此人繼續(xù)擲。試求第n次仍由甲擲的概率。

解 設(shè)事件Ai為“第i次由甲擲骰子”，記pi=P(Ai),i=1,2,…，由全概率公式可得

注意到

可得

由此可得遞推公式

將初始條件p1=1，帶入上式可得

例4(天氣預(yù)測(cè)問(wèn)題) 假設(shè)天氣變化只有兩種情況：有雨或無(wú)雨。若已知今天的天氣情況，明天天氣保持不變的概率為p，改變的概率為1-p.設(shè)第一天無(wú)雨，試求第n天也無(wú)雨的概率。

解 設(shè)事件A1為“第i天無(wú)雨”，記pi=P(Ai),i=1,2,…，由全概率公式可得

注意到

p(An|An-1)=p,

pn-1+(1-p)(1-pn-1=(2p-1)pn-1+(1-p),n≥2

可得

pn=ppn-1+(1-p)(1-pn-1)

=(2p-1)pn-1+(1-p),n≥2.

由此可得遞推公式

將初始條件p1=1，帶入上式可得

以上例子之所以能夠利用遞推法求解，一則因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)與自然數(shù)有關(guān)， 二則由題意可知其前后試驗(yàn)具有密切的關(guān)聯(lián)性。因而可斷定它們必存在某種內(nèi)在聯(lián)系，這就是能用遞推法求解的根本所在。但不同的是，利用全概率公式在尋找遞推關(guān)系時(shí)，對(duì)“條件事件”的選取要因題而異，值得思考和辨析。在有些情況下， 由于試驗(yàn)比較復(fù)雜 直觀看前后次的試驗(yàn)有關(guān)系，但獲得遞推關(guān)系式難度較大，有時(shí)即使獲得了遞推關(guān)系式， 式中仍參差雜著其它未知參數(shù)，這就需要我們從紛繁復(fù)雜的事件關(guān)系或初始條件中設(shè)法確定出此參數(shù)，否則，遞推公式就失去了意義。

通過(guò)例子1-4的分析，利用遞推法求解抽象概率問(wèn)題需要注意下述三點(diǎn)：

(1)恰當(dāng)選擇“條件事件”是基礎(chǔ)。如：例1 是對(duì)“初次事件B”取條件，而例2-4是對(duì)“相鄰事件An-1”取條件，恰當(dāng)選取“條件事件”很重要，否則后面的“條件概率“不易求出，進(jìn)而影響著能否順利解決問(wèn)題。

(2)“條件概率”的計(jì)算是難點(diǎn)，它是利用全概率公式尋求遞推關(guān)系的前提。

(3)利用遞推關(guān)系，結(jié)合初始概率p1最終求解是關(guān)鍵。

四、用數(shù)學(xué)歸納法求解抽象概率問(wèn)題舉例

例5(循環(huán)取球問(wèn)題) 有個(gè)口袋，每個(gè)口袋中均有a個(gè)白球、b個(gè)黑球。從第一個(gè)口袋中任取一球放入第二個(gè)口袋，再?gòu)牡诙€(gè)口袋中任取一球放入第三個(gè)口袋，如此下去，從第n-1個(gè)口袋中任取一球放入第n個(gè)口袋。最后從第個(gè)口袋中任取一球，求此時(shí)取到的球是白球的概率。

pk=P(Ak)

故由歸納法可知：

例6(抽球出現(xiàn)早晚問(wèn)題) 口袋中有a個(gè)白球、b個(gè)黑球和n個(gè)紅球，現(xiàn)從中一個(gè)一個(gè)不放回地取球。證明：白球比黑球出現(xiàn)早的概率為a/(a+b)，與n無(wú)關(guān)。

解 記事件A為“第一次取出白球”，B為“第一次取出黑球”，C為“第一次取出紅球”。易知，事件A,B,C互不相容，且A∪B∪C=Ω.又設(shè)En為“有n個(gè)紅球時(shí)，白球比黑球出現(xiàn)得早”，記pn=P(En)，下面對(duì)n用歸納法：

pn=P(A)P(En|A)+P(B)P(En|B)+P(C)P(En|C)

注意到P(En|A)=1,P(En|B)=0,P(En|C)=P(En-1)=pn-1，代入可得:

由歸納法可知，結(jié)論成立。

例7[6](波利亞壇子問(wèn)題) 設(shè)一壇子裝有b個(gè)黑球、r個(gè)紅球，任意取出1個(gè)球，然后放回并再放入c個(gè)與取出的顏色相同的球，證明：

(1)任一次取出黑球的概率是b/(b+r)，任一次取出紅球的概率是r/(b+r)，與n無(wú)關(guān)；

pk=P(Ak)

事實(shí)上，我們把k次取球分為兩段：第1次與后面k-1次取球。當(dāng)?shù)?次取到黑球時(shí)，罐中增加c個(gè)黑球，這時(shí)從原罐中第k次取到黑球等價(jià)于從新罐(含b+c個(gè)黑球，r個(gè)紅球)中第k-1次取到黑球，故有

(2)先證當(dāng)m=1時(shí)，對(duì)一切n(n>m)命題成立。設(shè)Bj為“第j次取到黑球”，由結(jié)論(1)得:

P(B1Bn)=P(B1)P(Bn|B1)

這表明當(dāng)m=1時(shí)，對(duì)一切n(n>m)命題成立。

設(shè)m=k-1時(shí)對(duì)一切n(n>m)命題成立，現(xiàn)證明m=k時(shí)對(duì)一切n(n>m)命題仍然成立。

因?yàn)?/p>

事實(shí)上，概率P(BkBn|B1)等于從裝有b+c個(gè)黑球和r個(gè)紅球的袋中第k-1次與第n-1次都取得黑球的概率，由歸納假設(shè)得

同理有

由歸納法知，結(jié)論成立。

通過(guò)對(duì)例子5-7的分析，利用數(shù)學(xué)歸納法求解抽象概率問(wèn)題需要注意下述兩點(diǎn)：

(1)恰當(dāng)選擇“條件事件”是基礎(chǔ)。如：例6和例7 是對(duì)“初次事件”取條件，相反例5是對(duì)“相鄰事件Ak-1”取條件，恰當(dāng)選取“條件事件”至關(guān)重要，否則后面的“條件概率”不容易求出，進(jìn)而影響能否順利解決問(wèn)題。

(2)“條件概率”的計(jì)算是難點(diǎn)(某些情況下很抽象，不容易求出，如例7)，它是利用全概率公式和歸納假設(shè)順利解決問(wèn)題的的關(guān)鍵。

五、結(jié)語(yǔ)

總之，古典概率的計(jì)算一直是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，其方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)生難于掌握。抽象概率問(wèn)題的計(jì)算更為困難，其一，問(wèn)題敘述一般比較抽象復(fù)雜，整個(gè)事件的發(fā)展變化過(guò)程不太直觀；其二，所求解的概率問(wèn)題往往都與“次n數(shù)”有關(guān)，大都具有不確定性，很難一一枚舉列出。通過(guò)文中的典型實(shí)例分析，不難發(fā)現(xiàn)，處理這類抽象概率問(wèn)題時(shí)，如果能夠把遞推法、數(shù)學(xué)歸納法和全概率公式巧妙結(jié)合起來(lái)，會(huì)有效解決問(wèn)題，具有“事半功倍”的效果。