王秋爽,徐 潤(rùn)

(曲阜師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 曲阜 273165)

分?jǐn)?shù)階微積分是關(guān)于任意階微分與積分及其應(yīng)用的理論，是牛頓-萊布尼茲整數(shù)階微積分的推廣。1987年，Samko等建立了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用理論[1]。1993年，Miller等建立了分?jǐn)?shù)階微分方程理論[2]，對(duì)幾類(lèi)經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分算子定義均有介紹，例如Riemann-Liouville(R-L)，Caputo，Hadamard 分?jǐn)?shù)階微積分算子定義等。許多學(xué)者隨后又給出了關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分以及分?jǐn)?shù)階微分方程理論的推廣，如文獻(xiàn)[3-6]。近年來(lái)，隨著相關(guān)分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)新定義的不斷引入和推廣，關(guān)于分?jǐn)?shù)階和分和差分以及分?jǐn)?shù)階偏微分、偏差分等幾類(lèi)新的分?jǐn)?shù)階算子也陸續(xù)產(chǎn)生，極大地推動(dòng)了關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程定性性質(zhì)的研究，如解的振動(dòng)性、穩(wěn)定性、解的存在唯一性等。同時(shí)由于具有各種初值或邊界條件的分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階微分方程在實(shí)際問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階方程理論得到了快速發(fā)展，并為解決一些復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供了工具。Oliveria等介紹了自分?jǐn)?shù)階微積分出現(xiàn)以來(lái)的一些重要分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)定義[7]；Teodoro等對(duì)一些重要分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行了總結(jié)，并且對(duì)其之間的一些重要性質(zhì)做出比較[8]。本文主要介紹了近三年所出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)階積分和微分算子新定義，并比較了各不同定義之間的關(guān)系。

1 預(yù)備知識(shí)

本文所用到的符號(hào)和定義如下：

R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集,Z為整數(shù)集,N為自然數(shù)集,R(x) = {Rex|x∈C},Z-為負(fù)整數(shù)集;N-為全體非正整數(shù)集,[x]=max{z∈Z:z≤x}。

(1)階乘冪函數(shù)

分別為上升階乘 (遞進(jìn)階乘) 和下降階乘 (遞降階乘)。

(2)廣義Mittag-Leffler(M-L) 函數(shù)

(1)

其中,α,β,γ,τ,c∈C;R(c),R(α),R(β),R(τ),R(γ) > 0;k>0,p≥0;0

為Gamma函數(shù)；

為推廣的Beta函數(shù)[9]。

(3)k-Gamma函數(shù)

其中,(x)n,k=x(x+k)(x+2k)…(x+(n-1)k)為k-階乘冪函數(shù)[10]。

(4)區(qū)間值函數(shù)

記K={[a,b]×[c,d]|a,b,c,d∈R,a≤b,c≤d}為R上閉區(qū)間集族，設(shè)

2 分?jǐn)?shù)階微積分算子新進(jìn)展

自R-L分?jǐn)?shù)階微積分算子產(chǎn)生以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子定義進(jìn)行了完善和推廣，例如2006年Jumarie給出了修正的R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義[12]，使其滿足常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零等。關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分算子定義的推廣，大部分的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義是由積分構(gòu)成的，其中最經(jīng)典的是R-L和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，R-L分?jǐn)?shù)階積分算子是由Cauchy公式在實(shí)數(shù)域上推廣得到，利用R-L分?jǐn)?shù)階積分算子與整數(shù)微分算子不同順序的復(fù)合分別得到R-L分?jǐn)?shù)階微分和Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子。

對(duì)于將整數(shù)階微積分概念延拓到實(shí)數(shù)乃至復(fù)數(shù)的方法有很多種，而大多數(shù)的分?jǐn)?shù)階定義是在R-L分?jǐn)?shù)階算子定義的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣的，分?jǐn)?shù)階微積分算子定義的產(chǎn)生過(guò)程大致可以分為四種形式。第一種是在R-L分?jǐn)?shù)階積分定義中利用不同的核函數(shù)得到 (實(shí)質(zhì)上是對(duì)Cauchy公式的變形并推廣產(chǎn)生) 積分算子，通過(guò)對(duì)積分算子與整數(shù)階微分算子的復(fù)合得到微分算子，例如：Hadamard、Katugampola、Prabhakar分?jǐn)?shù)階微積分算子等。第二種是整合分?jǐn)?shù)階微積分算子的產(chǎn)生，首先出現(xiàn)的是整合分?jǐn)?shù)階微分算子，它是對(duì)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義的自然推廣，而整合分?jǐn)?shù)階積分算子是反常積分的推廣;隨后Jarad 等和Khan等[13-14]通過(guò)迭代不同形式的整合分?jǐn)?shù)階積分算子得到整合算子的進(jìn)一步推廣。第三種是通過(guò)對(duì)Γ函數(shù)的變形得到新的分?jǐn)?shù)階微積分算子定義，例如k-和q-分?jǐn)?shù)階微積分算子等。第四種是對(duì)不同分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行組合，例如Caputo-Katugampola、Caputo-Erdélyi-Kober、ψ-Caputo、ψ-Hilfer、ψ-Atangana-Baleanu、ψ-Prabhakar、Hadamard-k、ψ-k、(k,s)-整合等分?jǐn)?shù)階微積分算子。

隨著分?jǐn)?shù)階微積分算子定義的不斷推廣，在形式上越來(lái)越復(fù)雜，但在一些性質(zhì)和應(yīng)用上有了進(jìn)一步的優(yōu)化，并且一般可以退化回經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分算子定義。

2.1 積分核含有廣義M-L函數(shù)的左定和右定分?jǐn)?shù)階積分

2018年, 文獻(xiàn)[9]提出含有個(gè)參數(shù)的廣義 M-L函數(shù) (見(jiàn)式(1))，并給出了核內(nèi)含有該廣義M-L函數(shù)的左右定新分?jǐn)?shù)階積分算子,是對(duì)核含有 M-L函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分的進(jìn)一步推廣；2020年，F(xiàn)arid[15]給出了這類(lèi)新的分?jǐn)?shù)階積分算子更一般的形式：

設(shè)f,k分別為[a,b]→R(0

(2)

(3)

注1 若γ(x)=xτ，分?jǐn)?shù)階積分算子(2)(3)是以下算子的推廣：當(dāng)k(x)=x,ω=p=0時(shí)為R-L分?jǐn)?shù)階積分算子；當(dāng)k(x)=x時(shí)為文獻(xiàn)[9]中定義的分?jǐn)?shù)階積分算子；當(dāng)k(x)=x,p=0時(shí)為核包含六參數(shù)M-L函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分[16];當(dāng)k(x)=x,l=r=1時(shí)為核包含五參數(shù)M-L函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分[17]；當(dāng)k(x)=x,p=0,l=r=1時(shí)為核包含四參數(shù)M-L函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分[18];當(dāng)k(x)=x,p=0,l=r=q=1時(shí)為核包含三參數(shù)M-L函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分[19]。

2.2 區(qū)間值函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分

文獻(xiàn)[20]給出左定、右定等Hadamard區(qū)間值分?jǐn)?shù)階二重積分：

設(shè)F∈IR([a,b]×[c,d])；a,c≤0；α,β>0，定義Hadamard區(qū)間值函數(shù)分?jǐn)?shù)階積分

(4)

(5)

(6)

(7)

并給出左定、右定等廣義區(qū)間值分?jǐn)?shù)階二重積分:

設(shè)F∈IR([a,b]×[c,d]);α,β>0；g：[a,b]→R為(a,b]上的單增正函數(shù)，且在(a,b)上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)g′(x)；ω:[c,d]→R為(c,d]上的單增正函數(shù)，且在(c,d)上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)ω′(y)，廣義區(qū)間值函數(shù)分?jǐn)?shù)階二重積分定義為

(8)

(9)

(10)

(11)

2.3 廣義整合分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)

2014 年，Khalil等第一次給出整合分?jǐn)?shù)階微積分算子定義[21]，其中整合分?jǐn)?shù)階積分算子為Riemann反常積分的推廣：

2019年Khan等通過(guò)迭代該形式的整合分?jǐn)?shù)階積分算子，得到廣義整合分?jǐn)?shù)階積分[13]。

設(shè)f(x)為[p,q]?[0,∞)上整合可積函數(shù)，f(x)的β階左定、右定廣義整合分?jǐn)?shù)階積分定義為

(12)

(13)

其中，參數(shù)α∈(0,1],τ∈R,α+τ≠ 0。

由整合分?jǐn)?shù)階微分算子和廣義分?jǐn)?shù)階積分算子的復(fù)合得到左、右定廣義整合分?jǐn)?shù)階微分算子

(14)

(15)

其中，Tα為文獻(xiàn)[21]中定義的α階整合微分算子，參數(shù)α∈(0,1],p≥0，0<β<1。

注3 定義(12)(13)可退化為以下分?jǐn)?shù)階積分算子：當(dāng)τ=0時(shí)，退化為文獻(xiàn)[14]中定義的R-L型整合分?jǐn)?shù)階積分算子；當(dāng)α→0時(shí)，將得到Hadamard分?jǐn)?shù)階積分算子[2]；當(dāng)α=1時(shí)為R-L分?jǐn)?shù)階積分算子[2]；當(dāng)β=1時(shí)為整合分?jǐn)?shù)階積分算子[21]。

2.4 (k,s)-分?jǐn)?shù)階整合積分

2017 年，Jarad等提出一種R-L型整合分?jǐn)?shù)階算子[14]；在此基礎(chǔ)上，2019年，Mubeen等定義了一類(lèi)廣義k-分?jǐn)?shù)階積分算子(稱(chēng)為(k,s)-分?jǐn)?shù)階整合積分算子)[22]。

設(shè)f(x)為[0,∞)上的連續(xù)函數(shù)，α∈C且R(α)>0，參數(shù)k>0,s∈R{0},則f(x)的α階(k,s)-分?jǐn)?shù)階整合積分定義為

(16)

(17)

注4 對(duì)于α>0，p≥1，且f滿足對(duì)于任意的x>a成立

則定義的(16)(17)可退化為已有的分?jǐn)?shù)階積分算子。當(dāng)k=1 時(shí)，(16)退化為文獻(xiàn)[14] 中定義的左定整合分?jǐn)?shù)階積分；當(dāng)a=0,k=1,s=1 時(shí)，(17)為左定R-L分?jǐn)?shù)階積分[2]；當(dāng)a=0,α→0 時(shí)，退化為Hadamard分?jǐn)?shù)階積分[2]；當(dāng)a=0時(shí)，退化為廣義的Katugampola分?jǐn)?shù)階積分[5]。

2.5 ψ-(k,s)-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分

Tun?等對(duì)文獻(xiàn)[23]中定義的廣義k-R-L分?jǐn)?shù)階積分 ((k,s)-分?jǐn)?shù)階積分)做了進(jìn)一步的推廣，提出與另一個(gè)函數(shù)ψ有關(guān)的(k,s)-R-L分?jǐn)?shù)階積分算子定義，記作ψ-(k,s)-R-L分?jǐn)?shù)階積分[24]。

設(shè)ψ:[a,b]→R為(a,b]上單增正函數(shù)，且ψ′(x)在(a,b)上連續(xù)，左定、右定ψ-(k,s)-R-L分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

(18)

(19)

其中，參數(shù)λ,ρ>0;ω∈R;k>0。F的定義如下：

系數(shù)σ(m)(m∈N0=N∪{0}) 為有界正實(shí)數(shù)序列。

注5 分?jǐn)?shù)階積分算子(18)(19)可以退化為已有分?jǐn)?shù)階積分算子：當(dāng)λ=α,σ(0)=1,ω=0,k=1,ψ(x)=x時(shí)，為R-L分?jǐn)?shù)階積分算子[2]；當(dāng)ψ(x)=lnx，λ=α,σ(0)=1,ω=0時(shí)，為Hadamard分?jǐn)?shù)階積分算子[2]；當(dāng)k=1,g(t)=t時(shí),(18)和(19)分別退化為文獻(xiàn)[29]、文獻(xiàn)[30]中定義的廣義分?jǐn)?shù)階積分算子；當(dāng)k=1，λ=α,σ(0)=1,ω=0 時(shí)，為ψ-R- L分?jǐn)?shù)階積分算子[2]；當(dāng)ψ(x)=x，λ=α,σ(0)=1,ω=0時(shí)，為文獻(xiàn)[26]中定義的k-分?jǐn)?shù)階積分算子；當(dāng)

時(shí)，為文獻(xiàn)[23]中定義的(k,s)-分?jǐn)?shù)階積分算子；當(dāng)

時(shí)，為Katugampola分?jǐn)?shù)階積分算子[5]。

2.6 廣義分?jǐn)?shù)階積分

2020年，Sarikaya等給出一類(lèi)更一般的分?jǐn)?shù)階積分算子[25]

(20)

(21)

其中Φ:(0,+∞)→[0,+∞)。對(duì)于A,B,C>0;θ1,θ2>0滿足：

(22)

或

時(shí),是Katugampola分?jǐn)?shù)階積分算子[5]；當(dāng)Φ(θ)=θ(x-θ)α-1時(shí)，是文獻(xiàn)[21]中定義的整合分?jǐn)?shù)階積分算子；當(dāng)

或

2.7 新的廣義整合分?jǐn)?shù)階積分(廣義FCIO)

在文獻(xiàn)[25]定義的廣義分?jǐn)?shù)階積分的基礎(chǔ)上，Kashuri等提出一類(lèi)新的廣義整合分?jǐn)?shù)階積分算子[27]：

(23)

(24)

其中Φ滿足式(22)。

注7 當(dāng)ζ=1 時(shí)，(23)(24)退化為上面定義的廣義分?jǐn)?shù)階積分。

2.8 廣義比例Hadamard分?jǐn)?shù)階積分

Rahman等定義了一類(lèi)左定、右定廣義比例Hadamard分?jǐn)?shù)階積分[28]：

(25)

(26)

其中，比例指數(shù)μ∈(0,1],β>0。

注8 當(dāng)μ=1時(shí)，式(25)(26)退化為Hadamard分?jǐn)?shù)階積分[2]。

3 結(jié)論

對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分近三年來(lái)新的算子定義進(jìn)行了總結(jié)，并在此基礎(chǔ)上與已有的微積分算子做了比較。新的分?jǐn)?shù)階微積分算子的產(chǎn)生對(duì)于分?jǐn)?shù)階變分、最優(yōu)控制和復(fù)雜系統(tǒng)建模等問(wèn)題的發(fā)展起到了一定的推動(dòng)作用。相應(yīng)地，分?jǐn)?shù)階不等式的已有結(jié)果可以在新的分?jǐn)?shù)階微積分算子中得以繼續(xù)研究。例如文獻(xiàn)[9,15,20-23,25,27-29，31]給出Hermite-Hadamard、Gronwall-Bellman等不等式在新分?jǐn)?shù)階積分算子上的推廣；同時(shí)對(duì)于新的分?jǐn)?shù)階微分定義可以研究相應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分方程的定性性質(zhì)[14，18，21]。更深一步地，對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子新定義的研究可以推廣到分?jǐn)?shù)階和分與差分，乃至分?jǐn)?shù)階偏微分以及偏差分的相關(guān)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)這些算子的一些性質(zhì)進(jìn)行研究，得到相應(yīng)分?jǐn)?shù)階差分偏差分等方面方程及不等式的結(jié)果。