■江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 戴靜君

近幾年高考的一個(gè)變化趨勢(shì)，從知識(shí)立意到能力立意，再到如今的素養(yǎng)立意，對(duì)同學(xué)們的素質(zhì)要求日益提升。比如，以前立體幾何部分求二面角的大小是一個(gè)常見考點(diǎn)，考查的側(cè)重點(diǎn)是通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角與二面角的平面角之間的關(guān)系來求解，稱為向量法。向量法思維要求較低，但對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高。新高考則更關(guān)注考查同學(xué)們的邏輯思維能力和邏輯推理能力，對(duì)二面角的求法提出了新的要求，即會(huì)用幾何法求二面角的大小，突出了對(duì)同學(xué)們思維的靈活性和策略選擇的要求。在此新的背景下，本文通過對(duì)幾個(gè)例題的解析，提供多維度探究二面角的幾種求法，為2021屆高三數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)備考提供一個(gè)參考。

一、幾何法

幾何法一般要求添加一些輔助線，對(duì)同學(xué)們的邏輯推理能力和空間想象能力要求較高，它的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單，一旦找到二面角的平面角，往往能迅速且準(zhǔn)確地得到結(jié)果，從而贏得時(shí)間。

1.定義法

例1（2020年全國Ⅲ卷理）如圖1，在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別在棱DD1，BB1上，且2DE =ED1，BF =2FB1。

（1）證明：點(diǎn)C1在平面AEF 內(nèi)；

（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A-EF-A1的正弦值。

解析：（1）只需證四邊形AFC1E 為平行四邊形即可。過程略。

（2）如圖2，取EF 的中點(diǎn)為N，連接A1N。過N 作AE 的平行線交AF 于點(diǎn)P，連接A1P。

圖1

在長方體 ABCDA1B1C1D1中，AD ⊥平面CDD1C1， DE ? 平面CDD1C1，所以AD ⊥DE，故。同理求得，AF=，A1E=A1F=。

在直角梯形B1D1EF中，得EF =。

圖2

在△AEF 中，AF2=8=AE2+EF2，所以AE⊥EF。

又AE∥NP，所以NP⊥FE。

因?yàn)镹 是EF 的中點(diǎn)，A1E=A1F，所以A1N ⊥EF，所以 ∠PNA1是二面角A-EF-A1的平面角。

在等腰三角形 A1EF 中，A1N =

在△AA1F 中，cos∠A1AF=cos45°=得A1P2=5。

在△A1NP 中，利用余弦定理可得

所以二面角A-EF-A1的正弦值為

點(diǎn)評(píng)：上述解答過程直接利用垂直關(guān)系和等腰三角形A1EF 找到二面角的棱的垂線，通過平移和二面角平面角的定義直接找到二面角的平面角，然后解三角形即可。在此過程中一般要添加輔助線，注意圖形中能產(chǎn)生垂直關(guān)系的條件，當(dāng)線段長度關(guān)系較多時(shí)，試著用勻股定理的逆定理等進(jìn)行解答。

2.垂線法

例2（2020年山東濰坊模擬）如圖3，在四棱錐P-ABCD 中，AB=3，AP =，AD∥BC，AD ⊥平面PAB，∠APB=90°，點(diǎn)E 滿足

圖3

（1）證明：PE⊥DC。

（2）求二面角A-PDE 的余弦值。

解析：（1）因?yàn)锳D ⊥平面PAB，且PE?平面PAB，所以AD⊥PE。

因?yàn)镃D?平面ABCD，所以CD⊥PE。

（2）如圖4，過E 作EF⊥AP 于F，EM ⊥PD 于M，連接FM。

圖4

因 為 AD ⊥ 平 面PAB，且EF?平面PAB，所以AD⊥EF。又EF⊥AP，所以EF⊥平面PAD。

因?yàn)镻D?平面PAD，所以PD⊥EF，所以PD⊥平面EFM。

因?yàn)镕M ?平面EFM，所以PD⊥FM。

所以∠EMF 是二面角A-PD-E 的平面角。

點(diǎn)評(píng)：上述解答過程推廣到一般，就是在二面角的一個(gè)面內(nèi)找一點(diǎn)P，過點(diǎn)P 找或作另一個(gè)面的垂線PH，再過點(diǎn)P 作棱的垂線PM，連接MH，則可證∠PMH 就是二面角的平面角。這種解法的關(guān)鍵是找或作平面的垂線。若條件中出現(xiàn)面面垂直，常利用此條件轉(zhuǎn)化為線面垂直。有時(shí)線面垂直時(shí)垂足位置不好找，可以不管其具體位置，先作出二面角的平面角，然后利用體積轉(zhuǎn)化法求出高即可求出二面角的平面角。

3.射影面積法

例3（2020年武漢模擬）如圖5所示，多面體是由以四邊形ABCD 為底面的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中AB=2，CF=5，BE=1，∠BAD=60°。

（1）求BG 的長；

（2）求平面AEFG 與底面ABCD 所 成銳二面角的余弦值。

解析：（1）BG 的長為。過程略。

圖5

（2）因?yàn)槎嗝骟w是由以四邊形ABCD 為底面的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到，所以GD ⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，則四邊形AEFG 在平面ABCD 上的射影就是四邊形ABCD，由直四棱柱被 截面AEFG 所截，平面AEB ∥平面CDGF，又平面AEB∩平面AEFG=AE，平面CDGF∩平面AEFG=GF，所以AE∥GF。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)一個(gè)封閉圖形在另一個(gè)面上的射影易找時(shí)，可以直接利用射影面積公式求二面角的平面角的大小。特別地，當(dāng)題中要求的二面角是無棱二面角時(shí)，有時(shí)棱很難找出，這時(shí)用此法顯得尤為簡(jiǎn)單。

二、向量法

利用向量方法研究問題的途徑主要是坐標(biāo)思想和基底思想，當(dāng)給出圖形易于建系時(shí)，我們常常可以考慮用坐標(biāo)法來求，但有時(shí)給出圖形不便建系時(shí)還可以用基底思想求解。這種方法更側(cè)重于代數(shù)運(yùn)算，考查了運(yùn)算基本素養(yǎng)。

例4（2020年山東淄博模擬）如圖6，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD 為等腰梯形，AB ∥CD，CDM，N 分別是棱AB，B1C1的中點(diǎn)。

圖6

（1）證明：直線MN∥平面ACC1A1；

（2）若D1C⊥平面ABCD，且求經(jīng)過點(diǎn)A1，M，N 的平面A1MN 與平面ACC1A1所成二面角的正弦值。

解析：（1）證明略。

（2）連接CM，由已知得，MB=BC=CM，故△MBC 為等邊三角形，所以∠ABC=60°，∠BAC=30°，所 以∠ACB=90°，即BC ⊥AC，所 以

據(jù)已知可以建立如圖7 所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz。

圖7

點(diǎn)評(píng)：上述解題過程首先要找到兩兩垂直的三條直線建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般讓圖形中盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，減少無謂的失誤。一般情況下，當(dāng)條件給出的圖形有明顯的線面垂直關(guān)系，或給出面面垂直的條件可以轉(zhuǎn)化為線面垂直時(shí)，往往可以直接建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解。

二面角的平面角解法的多樣性能充分考查同學(xué)們的綜合解題能力。近年來的高考試題，寓基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、探索性、靈活性于一體，需要我們?cè)谥R(shí)與方法的整合中全方位地提升基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，理性地思考，智慧地做題。