潘廷緯,楊繼鋒

（華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院, 上海 200241）

0 引 言

自盧瑟福發(fā)現(xiàn)原子的核式結(jié)構(gòu)開始, 到查德威克發(fā)現(xiàn)中子[1], 人類開始了對原子核結(jié)構(gòu)的研究.20世紀(jì)70年代建立起來的量子色動力學(xué)(Quantum Chromodynamics, QCD), 被確認(rèn)為是目前描述核子間強(qiáng)相互作用的基本理論. 但在低能條件下QCD是非微擾的, 用它來解析求解核力非常艱難[2].1979年, Weinberg等[3]提出了用QCD低能有效場論來計(jì)算強(qiáng)子中低能物理, 在介子系統(tǒng)中取得了巨大成功, 并發(fā)展成為以手征對稱性為指導(dǎo)的手征微擾論. 在此基礎(chǔ)上, 1990年, Weinberg等[4]又提出了可以利用手征微擾論構(gòu)造核子-核子散射勢能, 并使用薛定諤方程和Lippmann-Schwinger方程(LSE)求解出了相應(yīng)的散射振幅. 由此, 手征微擾論應(yīng)用到了非微擾的核子相互作用中. 但是該方案構(gòu)造出的散射勢能隨著展開級數(shù)的增加, 會出現(xiàn)嚴(yán)重的紫外發(fā)散, 而且由于LSE框架是非微擾的, 處理這些發(fā)散變得非常困難[5]. 針對這一挑戰(zhàn), 出現(xiàn)了兩種應(yīng)對方案: 一是美國KSW小組的方案(KSW方案), 其將冪次規(guī)則進(jìn)行修改, 然后微擾展開散射矩陣, 將高階部分作為微擾來進(jìn)行計(jì)算, 但結(jié)果是收斂并不好[6]; 二是德國EGM小組采用的, 即利用有限截?cái)鄟硐l(fā)散, 這樣有較好的數(shù)值結(jié)果, 但卻難以獲得解析解[7-8], 被視為脫離了場論框架. 近年來, 學(xué)界將上述有效場論的應(yīng)用范圍從真空核子-核子散射推廣到了有限密度下的核子-核子間的相互作用. 如, Hammer等[9]和Steele等[10]分別在微擾框架下求解了散射矩陣, 并求解了相應(yīng)的核子平均能量; Krippa[11]則是將KSW方案從真空環(huán)境推廣到了多粒子環(huán)境, 從散射勢能出發(fā), 通過求解Bethe-Goldstone方程(BGE), 導(dǎo)出了Brückner G矩陣(Brückner G矩陣可以看作是T矩陣在密度背景中的推廣). 但是Krippa在處理相應(yīng)發(fā)散問題的時(shí)候仍然沿用了KSW方案, 因此也受到KSW方案缺陷的拖累.

對于低能有效場論來說, 非微擾框架下的重整化一直是個(gè)重要課題. 以往的主要做法是采取各種展開的辦法來回避這一困難. 近年來, 本研究小組在以接觸型相互作用為主的低能有效場論中發(fā)展了一套完全在非微擾的框架下(滿足LSE的閉合形式T矩陣)進(jìn)行重整化的策略和方法[12-14], 并提出了一種自然的有效場論冪次規(guī)則及非微擾景觀來自然地解釋大散射長度等非微擾現(xiàn)象[15-16]. 受此鼓舞,本文嘗試著將此策略推廣到核物質(zhì)或零溫費(fèi)米子系統(tǒng)中, 即Brückner G矩陣的計(jì)算和重整化, 因?yàn)锽GE和LSE在代數(shù)結(jié)構(gòu)上完全相同. 在完成非微擾重整化后, 利用所得的Brückner G矩陣細(xì)致地分析了相應(yīng)的真空中相移、配對行為和核物質(zhì)單粒子能量. 與Krippa的工作相比, 本文完全保持了Brückner G矩陣原有的閉合結(jié)構(gòu), 而閉合結(jié)構(gòu)將使一些參數(shù)被約束為重整化不變量即物理參數(shù), 這是在KSW展開的視野中無法看到的. 另外, Krippa求出的耦合常數(shù)明顯依賴費(fèi)米動量, 而低能有效場論出現(xiàn)的是紫外發(fā)散, 其重整化耦合常數(shù)不應(yīng)該依賴背景密度. 而在本文方案中, 耦合常數(shù)在有限密度下的“跑動”行為并不依賴費(fèi)米動量.

1 Brückner G矩陣及其重整化

核子間的相互作用主要是通過π介子交換來完成的. 在核子交換動量低于π介子質(zhì)量時(shí), π介子交換的貢獻(xiàn)可以展開為核子間的接觸型有效相互作用. 此時(shí)的Brückner G矩陣滿足可以嚴(yán)格求解的BGE[11]

其中，G(p′,p)是Brückner G矩陣;V(p′,p)是核子間接觸型有效勢能;θ(q–pF)是單位階躍函數(shù),pF是費(fèi)米動量;E+=E+ iε,E是核子能量;p′ 、p分別是核子初態(tài)離殼動量、末態(tài)離殼動量;M是核子質(zhì)量. 接下來我們在1S0分波中探討B(tài)GE(式(1))的嚴(yán)格解和Brückner G矩陣的非微擾重整化.

1.1 BGE的嚴(yán)格解

1S0分波中有[12], 領(lǐng)頭階(Δ = 0),V=Cs0; 次領(lǐng)頭階(Δ = 2),V=Cs0+Cs2(p2+p′2).Cs0和Cs2是耦合常數(shù), 運(yùn)用美國馬里蘭小組的因子化技巧[13,17],V(p′,p) 和G(p′,p) 可以寫成

其中,λ是方陣, 矩陣元是核子間接觸型有效勢能的耦合常數(shù);τ(E)是與λ同階的方陣,U(p) 是元素為p的偶次冪的列矩陣. 例如,

使用這些技巧, 式(1)就約化為一個(gè)代數(shù)方程

其中,°表示卷積運(yùn)算;I(E) 是一個(gè)矩陣, 矩陣元是一些發(fā)散積分, 形式為

對這些發(fā)散積分進(jìn)行正規(guī)化之后做參數(shù)化, 有

對式(3)進(jìn)行求解得到τ(E)之后代入到式(2)中, 取p′=p=k, 這里k是在殼動量, 滿足, 則可以得到Brückner G矩陣的倒數(shù)為

其中,

如此, 我們完成了BGE的求解, 得到了閉合形式的Brückner G矩陣, 并完成了參數(shù)化. 而且我們注意到, 取pF= 0時(shí), 以上結(jié)果的Brückner G矩陣就回到了真空中的T矩陣(T矩陣可以參考文獻(xiàn)[12,18]). 接下來在非微擾框架下進(jìn)行重整化.

1.2 非微擾重整化

Brückner G矩陣包含了物理信息, 這要求它的函數(shù)形狀是物理的, 也就是說重整化方案不能影響其函數(shù)形狀, 這是很強(qiáng)的非微擾約束, 要求非微擾重整化引入內(nèi)在的抵消項(xiàng)[12-13], 在接觸型勢能情形里可以通過賦予積分的一般參數(shù)化來完成[13-14]. 更細(xì)致地分析發(fā)現(xiàn)這些約束會使得一部分參數(shù)不依賴重整化方案, 也就是成為 “重整化群不變”的物理參數(shù), 剩下的則是非物理的“跑動”參數(shù)[12,14].

(1)領(lǐng)頭階(Δ = 0)

將式(7)寫為

其中,

我們看式(10), 顯然Brückner G矩陣的倒數(shù)是k和pF的函數(shù), 要求這個(gè)函數(shù)形狀不依賴重整化方案的選取, 也就意味著必須是不依賴重整化方案選取的“重整化群不變量”. 而由于pF是物理的,可以再進(jìn)一步從式(11)推導(dǎo)出的“重整化群不變量”是βs0, 然后求出耦合常數(shù)

可以看到, 在密度背景中, 當(dāng)散射勢能取到領(lǐng)頭階(Δ = 0)時(shí), Brückner G矩陣中的βs0是物理參數(shù), 耦合常數(shù)Cs0是依賴重整化參數(shù)J0跑動的, 且并不依賴費(fèi)米動量pF.

(2)次領(lǐng)頭階(Δ = 2)

將式(8)寫為

其中,

我們看式(13), 要求它的函數(shù)形狀不依賴重整化方案的選取, 就要求{}是“重整化群不變”的[5,12,14-16], 從而可以推導(dǎo)出, 在密度背景中 “重整化群不變量” 是{βs2,0,βs2,2,J0,σs2}. 注意現(xiàn)在J0因?yàn)殚]合形式的約束成為重整化群不變的, 與Δ = 0時(shí)完全不同, 更高階非微擾解中也是如此. 進(jìn)一步還可得出

最后求出耦合常數(shù)

可以看到, 在密度背景中, 當(dāng)勢能展開到次領(lǐng)頭階(Δ = 2), {βs2,0,βs2,2,J0,σs2}是物理參數(shù),其中σs2是由于密度背景的約束產(chǎn)生的新的物理參數(shù)(真空中的情形參看文獻(xiàn)[12]), 且從式(18)可以看出, 這使得Cs2和J3被約束成物理的參數(shù), 而Cs0則依賴跑動的重整化參數(shù)J5. 與Δ = 0情形相同的是, 耦合常數(shù)并不依賴費(fèi)米動量.

2 真空和密度背景中的物理行為

以上完成了Brückner G矩陣的非微擾重整化, 閉合形式的Brückner G矩陣將一部分耦合常數(shù)和重整化參數(shù)約束為“重整化群不變”的物理參數(shù). 由于Δ = 0情形比較平庸, 以下我們將次領(lǐng)頭階(Δ = 2)的Brückner G矩陣(式(13))作為工具對一些物理性質(zhì)或行為進(jìn)行探究.

2.1 真空環(huán)境中的相移

為了盡可能確定參數(shù){βs2,0,βs2,2,J0}, 我們回到真空環(huán)境中考察核子間的低能散射相移. 為此在式(13)中取pF→0, 則Brückner G矩陣將簡化為真空中的T矩陣, 即

注意到1S0分波的有效程展開(Effective Range Expansion, ERE)[19]是

其中,a是散射長度,re為有效力程,δ(k)是相移. 對式(20)我們只考慮k2項(xiàng), 再結(jié)合式(19)、式(20),可以得到

這里我們選擇冪次規(guī)則[14-16], 即

其中,Λ是該有效場論上限標(biāo)度, 這里研究的是無π介子的接觸勢情形,Λ應(yīng)與π介子質(zhì)量相當(dāng),即 ～ 138 MeV;Q是常見物理標(biāo)度, 滿足Q?Λ, 通常取Q≈Λ/4. 為了展示J0的影響, 我們?nèi)0=MΛJ0/4π, 其中ΛJ0= {± 138 MeV, ± 35 MeV},M= 939 MeV. 在1S0分波中,a= –23.739 fm,re=2.68 fm. 由于低能條件下該有效相互作用是吸引的, 必須滿足βs2,0<0 和βs2,2>0 的約束,ΛJ0的取值被限定為ΛJ0= {138 MeV, 35 MeV}. 接下來相移可通過式(20)中的T矩陣算出. 下面我們將兩種ΛJ0選擇下求出的相移曲線與Nijmegen PWA[19]的數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)輸入進(jìn)行對比, 其中ELab=2k2/M是實(shí)驗(yàn)室能量. 相移曲線如圖1所示.

圖1 相移曲線Fig. 1 Phase shift curves

從圖1可見, 取ΛJ0= 138 MeV, 相移曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得更好. 但是在KSW方案[6]中,J0是可以任意選取的(典型值是ΛJ0= 35 MeV), 這是因?yàn)镵SW展開使得一些原T矩陣的非微擾約束丟失了. 而閉合形式T矩陣才能完整地保留非微擾重整化的特點(diǎn), 從而體現(xiàn)出J0取值的物理差異, 下面在密度背景中的配對點(diǎn)和能量的計(jì)算結(jié)果也將佐證這一點(diǎn).

2.2 密度背景中的配對性質(zhì)

前面我們對不受密度背景約束的一部分物理參數(shù)的值進(jìn)行了選取, 但還需要考慮密度背景的約束導(dǎo)出的物理參數(shù)σs2的影響. 估計(jì)方法是, 由冪次規(guī)則觀察到Cs2J3?1, 這樣由式(14)和式(15),σs2可以表示為

其中x?1. 下面我們選取x= {± 0.05, ± 0.2}來估計(jì)σs2的影響.

眾所周知核物質(zhì)有超流性質(zhì), 從而有核子間的配對現(xiàn)象, 與Brückner G矩陣的極點(diǎn)相對應(yīng)[20-21].我們以數(shù)值計(jì)算來估計(jì)1S0分波次領(lǐng)頭階Brückner G矩陣在費(fèi)米面以下的純實(shí)數(shù)極點(diǎn)位置kp(在費(fèi)米面以下我們沒有找到純虛數(shù)極點(diǎn)), 結(jié)果如圖2和圖3所示. 圖2、圖3中顯示了極點(diǎn)位置與費(fèi)米動量pF的關(guān)系. 由于發(fā)現(xiàn)極點(diǎn)位置對x依賴很小, 所以我們只給出了{(lán)ΛJ0= 138 MeV,x= 0.2}和{ΛJ0= 35 MeV,x= 0.2}時(shí)的圖象作為示例. 由于有效場論的理論上限標(biāo)度大約在0.6 fm–1, 所以計(jì)算中pF選取在pF≤ 0.6 fm–1的范圍內(nèi).

圖2 取 ΛJ0 = 138 MeV, x = 0.2時(shí), 極點(diǎn)位置kp與pF的關(guān)系Fig. 2 Relationship between the poles kp and pF, with ΛJ0 = 138 MeV, x = 0.2

圖3 取 ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2時(shí), 極點(diǎn)位置kp與pF的關(guān)系Fig. 3 Relationship between the poles kp and pF, with ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2

另外也給出了Brückner G矩陣G對在殼動量k依賴的函數(shù)形狀圖(G-k圖)作為參考, 見圖4—圖8. 圖4—圖8清晰地顯示了極點(diǎn)的存在與否及其大致的位置.

圖4 ΛJ0 = 138MeV,x=0.2, pF = 0.3 fm–1時(shí)的G-k圖Fig. 4 Graph of G-k with ΛJ0 = 138 MeV,x = 0.2, pF = 0.3 fm–1

圖5 ΛJ0 = 35MeV,x=0.2, pF = 0.3 fm–1時(shí)的G-k圖Fig. 5 Graph of G-k with ΛJ0 = 35 MeV,x = 0.2, pF = 0.3 fm–1

圖6 ΛJ0 = 138 MeV, x = 0.2, pF = 0.5 fm–1時(shí)的G-k圖Fig. 6 Graph of G-k with ΛJ0 = 138 MeV,x = 0.2, pF = 0.5 fm–1

圖7 圖6的局部放大Fig. 7 A partial enlargement of figure 6

圖8 ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2, pF = 0.5 fm–1時(shí)的G-k圖Fig. 8 Graph of G-k with ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2, pF = 0.5 fm–1

表1和表2中顯示了部分Brückner G矩陣極點(diǎn)位置的具體數(shù)據(jù).

Tab. 1 Some poleskpofBrücknerGmatrixwithΛJ0=138MeV表1 ΛJ0 = 138MeV,BrücknerG矩陣的一些極點(diǎn)位置kp

表2 ΛJ0 = 35 MeV, Brückner G矩陣的一些極點(diǎn)位置kpTab. 2 Some poles kp of Brückner G matrix with ΛJ0 = 35 MeV

特別地, 將pF取0, 閉合形式Brückner G矩陣就退化為閉合形式T矩陣. 經(jīng)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn), 此時(shí)極點(diǎn)不存在. 從圖2和圖3顯示的閉合形式Brückner G矩陣的極點(diǎn)位置看, 在有一定密度的環(huán)境中,核子在殼動量在貼近費(fèi)米面下沿處, 核子完成配對, 而在真空中則不會出現(xiàn)配對現(xiàn)象, 事實(shí)上也理應(yīng)如此. 另外我們的計(jì)算表明,ΛJ0= 138 MeV時(shí)在費(fèi)米動量較大范圍內(nèi)(pF≤ 0.6 fm–1)總能找到極點(diǎn), 而ΛJ0= 35 MeV時(shí), 只能在較低密度(pF≤ 0.38 fm–1)區(qū)域內(nèi)找到極點(diǎn)(較高密度時(shí), 例如pF=0.5時(shí)圖8中的G-k曲線顯示沒有極點(diǎn)), 這是J0不同取值帶來的差異, 也說明該參數(shù)是物理的, 不是沒有物理意義的跑動參數(shù).

2.3 單粒子能量

費(fèi)米氣體中,1S0分波基態(tài)單粒子能量的表達(dá)式為[11]

其中P是雙粒子平均動量.

(1)由于Brückner G矩陣包含對數(shù)項(xiàng), 上述積分很難解析完成, 所以我們主要采用的做法是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算. Brückner G矩陣存在極點(diǎn)時(shí), 進(jìn)行主值積分計(jì)算, 沒有極點(diǎn)時(shí)普通積分(表中灰色部分), 我們得到的結(jié)果列于表3和表4.

表3 ΛJ0 = 138 MeV, 單粒子能量, (E/A)1表示(1)方法的數(shù)值結(jié)果, (E/A)2表示(2)方法的結(jié)果Tab. 3 Single particle energy with ΛJ0 = 138 MeV, (E/A)1 represents the numerical result of method (1),(E/A)2 represents the result of method (2)

表4 ΛJ0 = 35 MeV, 單粒子能量, (E/A)1表示(1)方法的數(shù)值結(jié)果, (E/A)2表示(2)方法的結(jié)果Tab. 4 Single particle energy with ΛJ0 = 35 MeV, (E/A)1 represents the numerical result of method (1),(E/A)2 represents the result of method (2)

(2)作為對比, 我們將Brückner G矩陣對在殼動量做泰勒展開, 然后進(jìn)行解析計(jì)算, 式(13)展開后有

其中,

在稀薄費(fèi)米氣體中費(fèi)米動量pF很小, 我們可以只保留式(26)中的第一階, 將式(25)代入式(24)積分過后得到結(jié)果

這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[10]一致, 其中“···”表示式(25)中k高階項(xiàng)對的貢獻(xiàn), 下面的計(jì)算沒有考慮這些項(xiàng).式(27)的計(jì)算結(jié)果列在表3和表4中.

從閉合形式Brückner G矩陣計(jì)算的數(shù)值結(jié)果看, 核物質(zhì)作為費(fèi)米系統(tǒng)的單粒子能量在密度較低(pF較小)時(shí)對x的依賴很小, 閉合形式Brückner G矩陣數(shù)值積分的結(jié)果和解析計(jì)算(泰勒展開)的結(jié)果符合得很好. 而在密度較高(pF較大)時(shí)則顯示出相對明顯的對x的依賴, 這說明x是有物理影響的, 需要更多的物理輸入(physical inputs)來核定其具體數(shù)值. 而從(1)和(2)兩種方法計(jì)算的結(jié)果在pF較小時(shí), 相當(dāng)接近,pF較大時(shí), 則顯出一定差異, 由于得到式(27)是沒有考慮式(26)中pF高階項(xiàng)的, 所以這樣的結(jié)果是自然的. 另外, 比較表3和表4的結(jié)果, 我們又看到,ΛJ0選取138 MeV和35 MeV所得的單粒子能量(尤其在pF較大時(shí))是不同的. 這又一次說明J0是有物理內(nèi)含的重整化群不變量.

3 結(jié) 論

本文從核力低能有效場論出發(fā), 通過求解1S0分波的Bethe-Goldstone方程, 得到閉合形式的Brückner G矩陣來嘗試在非微擾框架下研究核物質(zhì)性質(zhì). 計(jì)算表明, 本課題小組在零密度情形的T矩陣中發(fā)展的非微擾重整化思路可以自然地?cái)U(kuò)展到Brückner G矩陣, 并發(fā)現(xiàn)耦合常數(shù)的“跑動”行為并不依賴費(fèi)米動量. 另外, 相較于真空中零密度情形, 密度背景會導(dǎo)致新的約束. 接著利用重整化的Brückner G矩陣分析了1S0分波情形的諸多物理行為, 包括真空中的相移、配對現(xiàn)象以及單粒子能量, 發(fā)現(xiàn)相移的描述、配對現(xiàn)象的存在、單粒子能量取值等對J0的不同選擇有明顯的依賴, 間接驗(yàn)證了這些參數(shù)是物理的, 進(jìn)而說明本文的理論框架在概念上合理而自洽, 克服了以往文獻(xiàn)極力回避非微擾重整化的局面. 另外本文的計(jì)算也表明, 在真空環(huán)境中, 核子無法在1S0分波中配對(呈束縛態(tài)), 這與實(shí)際情況相符. 在低密度情形下, 單粒子能量與其他文獻(xiàn)基于微擾計(jì)算的結(jié)果一致. 受此初次嘗試成果的鼓舞, 未來將進(jìn)一步將本文的思路擴(kuò)展到高分波和高階有效場論勢能情形中去, 并在此舉措上研究更多具體的物理問題.