◎ 張哲 交通運(yùn)輸部天津水運(yùn)工程科學(xué)研究所

近岸水域水體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜多變，波浪作為重要的要素之一，一直是學(xué)者研究的熱點(diǎn)。波浪自海上生成后，由深海向岸邊進(jìn)行傳播，當(dāng)傳播至岸邊時(shí)，由于水深變淺發(fā)生破碎。波浪破碎區(qū)域的水流會(huì)產(chǎn)生劇烈運(yùn)動(dòng)對(duì)海岸造成破壞，對(duì)近岸水域波浪傳播進(jìn)行研究具有重要的價(jià)值。目前業(yè)界研究的方法主要有三種：現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)法、物理實(shí)驗(yàn)法和數(shù)值模擬法。現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)法較為直觀，數(shù)據(jù)最為真實(shí)可靠，但需長(zhǎng)時(shí)間蹲守來獲取足夠數(shù)據(jù)，這在一定程度上加大了人力和物力的投入。物理模型法可以在按比例尺縮小的物理模型內(nèi)開展研究，適于處理邊界復(fù)雜和多維難題，但也有著變態(tài)影響、場(chǎng)地限制和可重復(fù)性差等缺點(diǎn)。數(shù)學(xué)模型研究與前兩種方法相比無需投入大量的人力和物力，經(jīng)濟(jì)節(jié)約、可重復(fù)性高且不受場(chǎng)地條件限制，受到業(yè)界的廣泛應(yīng)用。

對(duì)規(guī)則波跨越潛堤傳播進(jìn)行數(shù)值模擬涉及干濕動(dòng)邊界的捕捉和波浪破碎的處理，基于有限差分方法求解Boussinesq方程，通常采用渦粘、水滾等方式人為引進(jìn)可調(diào)參數(shù)近似處理，造成了不確定性。將有限體積法和有限差分法耦合求解Boussinesq方程可以規(guī)避上述不確定性。文章建立了基于限體積法和有限差分法耦合求解的一維Boussinesq水波模型，并對(duì)規(guī)則波在潛堤上的傳播形態(tài)進(jìn)行了模擬，吻合度良好。

1.數(shù)值模型

1.1 模型方程

Kim將Boussinesq方程推導(dǎo)為如下形式：

1.2 有限體積離散

有限體積法離散過程如下：

將公式（1.5）在單元體上求積分，運(yùn)用散度定理轉(zhuǎn)化方程，求得下式：

公式（1.6）中，Γ代表單元的邊界；Ω代表求解的單元區(qū)域；nx則是單元體的外法向量。

對(duì)計(jì)算域進(jìn)行空間、時(shí)間離散。空間上離散形式如下：

公式（1.7）中Δx為空間步長(zhǎng)，N為水平方向網(wǎng)格數(shù)目，i代表網(wǎng)格編號(hào)。時(shí)間上離散形式為：

公式（1.8）中，Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，應(yīng)用格林定理在有限體積[xi-1/2，xi+1/2]×[tn，tn+1]內(nèi)對(duì)控制方程（1.5）進(jìn)行積分，得到方程如下：

1.3 干濕動(dòng)邊界處理

采用薄層水體法處理干濕動(dòng)邊界，將0.001m水深作為閥值，即網(wǎng)格處若水深大于0.001m視為水域，網(wǎng)格處若水深小于0.0 01m視為陸地，并將陸地水深賦值為0.001m，流速取零。

1.4 邊界條件

在計(jì)算域左端設(shè)置三個(gè)虛擬網(wǎng)格：-3、-2、-1，計(jì)算域右端同樣設(shè)置三個(gè)虛擬網(wǎng)格：N+1、N+2、N+3，分別按照下式取變量值：

將源項(xiàng)引入質(zhì)量方程中產(chǎn)生波浪，為吸收計(jì)算域兩端的波浪采用設(shè)置海綿層法，每一時(shí)間步的數(shù)值解乘以光滑函數(shù) f(x)。f(x)中xs為海綿層長(zhǎng)度，取1.5倍波長(zhǎng)。

采用CFL穩(wěn)定性條件保證計(jì)算收斂：

公式（1.12）中v=0.5。

1.5 時(shí)間積分方法

采用三階龍格-庫(kù)塔方法進(jìn)行時(shí)間積分：

2.數(shù)值驗(yàn)證

選取Luth et al.的規(guī)則波在潛堤上傳播的物理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文數(shù)值模型，圖1給出了實(shí)驗(yàn)地形。圖2中曲線為本文模型模擬數(shù)值，圓圈為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。圖中可以看出，波浪未傳播至潛堤時(shí)，傳播速度恒定，波幅和形狀恒定不變。波浪到達(dá)潛堤前坡時(shí)，水深減小，在淺化作用下波高變大，產(chǎn)生高次諧波，波谷逐漸趨于平坦，非線性增強(qiáng)。波浪越過潛堤的頂面后，到達(dá)潛堤后面的常水深位置后非線性變小，諧波在非線性作用下鎖相波變化成了自由波。由圖可知，數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高度擬合。驗(yàn)證了本文建立的數(shù)值模型適用于波浪在復(fù)雜地形上傳播的模擬。

圖1 實(shí)驗(yàn)地形

圖2 波面數(shù)值模擬結(jié)果同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

3.結(jié)論

文章建立了基于限體積法和有限差分法耦合求解的一維Boussinesq水波模型，并對(duì)規(guī)則波在潛堤上的傳播形態(tài)進(jìn)行了模擬，吻合度良好。表明本文建立的數(shù)值模型能較好的處理波浪破碎和捕捉干濕動(dòng)邊界，有較高的應(yīng)用價(jià)值。