毋少楠，史軍偉，李志新

（1.中國礦業(yè)大學電氣與動力工程學院，江蘇 徐州 221116；2.國網山東省電力公司東營供電公司，山東 東營 257000）

近年來，隨著現代控制技術的發(fā)展，越來越多的先進控制策略被應用到永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）的控制當中。其中，無差拍預測電流控制（deadbeat prediction current control，DPCC）作為一種基于模型的預測控制算法，既具有預測控制算法普遍擁有的動態(tài)響應速度快和電流諧波小等特點，同時也有著開關頻率恒定、帶寬高和易于數字化實現等特有優(yōu)勢[1]。其基本控制思想是：基于逆變器和電機的數學模型，根據本周期采樣得到的電流值，預測下一拍的控制電壓輸出值。

由于DPCC從根本上講還是一種基于模型的控制算法，其對模型參數尤其是電感的敏感度較高，參數失配會嚴重影響電流的控制效果[2]。針對此問題，文獻[3]在無差拍控制的基礎上，引入了基于Luenberger狀態(tài)觀測器的魯棒電流控制算法，補償電感誤差和電流采樣引起的相位滯后，提高了系統(tǒng)的魯棒性；文獻[4]采用了放松的電流偏差約束條件和平滑的輸出電壓預測方法，使系統(tǒng)在電機電感參數失配時保持穩(wěn)定；文獻[5]設計了擾動觀測器對擾動進行估計并前饋補償，提高了系統(tǒng)對參數的魯棒性；文獻[6]采用了模型參考自適應算法對電機參數進行在線辨識，減小了電機參數偏差引起的電流誤差。

基于前述，設計了速度環(huán)采用PI控制器，電流環(huán)采用基于最小電流誤差的DPCC控制器的PMSM雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。該控制系統(tǒng)具有DPCC策略電流控制精度高、諧波含量少的優(yōu)點。同時，為了克服參數失配以及觀測擾動等引起的電流控制效果降低的問題，結合自抗擾技術[7]抗擾動能力強的特點，在無差拍控制中引入了擴張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO），觀測擾動并進行補償，大大提高了系統(tǒng)的參數魯棒性和抗擾動能力。仿真及實驗結果驗證了所提控制策略的有效性。

1 永磁同步電機的數學模型

在同步旋轉（d-q）坐標系下，PMSM的電壓方程可以表示為

式中：ud，uq，id，iq分別為定子繞組的電壓、電流在d，q軸的分量；Ld，Lq分別為d，q軸的電感分量；Rs為定子電阻；Ψf為永磁體磁鏈；ωe為轉子電角速度。

對于表貼式永磁同步電機（SPMSM），有Ld=Lq=L0，式（1）也可化為如下形式：

2 基于ESO的DPCC策略

提出的基于最小電流誤差的DPCC策略控制流程如圖1所示。

圖1 DPCC策略控制流程圖Fig.1 Flow chart of DPCC

一般情況下，根據PWM逆變器開關狀態(tài)生成的8種空間電壓矢量（包含2個零矢量）將電壓矢量圓分為6個扇區(qū)。1個采樣周期內，在獲得第k次電流采樣后，首先根據轉子位置角判斷目標電壓矢量所在扇區(qū)N，然后根據該扇區(qū)內3個離散電壓矢量作用下電流的變化規(guī)律，構建目標函數，確定下一拍控制電壓矢量，進而求解得到各個離散電壓矢量的作用時間，再進行PWM調制，輸出開關脈沖信號。

2.1 基于最小電流誤差的DPCC策略

d-q坐標系下逆變器輸出電壓可由開關狀態(tài)函數表示為

式中：Sa，Sb，Sc分別為逆變器三個橋臂的開關狀態(tài)，上橋臂導通為1，下橋臂導通為0；θ為轉子電角度。

將式（3）代入式（2）中可得8個電壓矢量對應的電流變化率如下式：

在1個周期內近似認為電流變化率保持不變，則該周期內在同一個扇區(qū)對應的3個電壓矢量（設為u0，u1，u2；其中u0為零矢量）作用下的總的電流變化量為

式中：t0，t1，t2分別為u0，u1，u2的作用時間。

因此可得在第k個控制周期結束時，d，q軸電流為

式中：id，k，iq，k分別為上個控制周期結束時的d，q軸電流。

DPCC的控制目標為在每個控制周期結束時d，q軸電流誤差最小，可以采用最小二乘優(yōu)化方法構建目標函數為

當式（7）中W取得最小值時，括號內的電流誤差量也為最小值。因此，可用求極值方法求得每個控制周期中三個離散電壓矢量的作用時間，其計算式為

由式（8）可求得兩個非零電壓矢量的作用時間t1，t2，零矢量的作用時間t0=Ts-t1-t（2Ts為單個采樣周期的時間）。求得作用時間后，按照七段式PWM的調制方式即可得到每個控制周期的開關序列。

2.2 擴張狀態(tài)觀測器基本原理

自抗擾控制技術（auto disturbance rejection control，ADRC）是由韓京清先生基于PID控制“基于誤差消除誤差”的核心思想提出的先進控制技術[7-8]。

作為ADRC的核心部分，擴張狀態(tài)觀測器（ESO）將被控系統(tǒng)的外部擾動和內部擾動擴張為新的狀態(tài)量——“總擾動”，并進行動態(tài)估計與反饋補償。相較于傳統(tǒng)觀測器，ESO不需要直接測量擾動，也不必知道擾動的精確數學模型，對于參數變化較大的預測控制系統(tǒng)，可以提高其參數魯棒性及抗擾性，進而提高系統(tǒng)的控制性能。

下面給出一階單輸入單輸出系統(tǒng)（single input and single output，SISO）的ESO設計方法。

一階SISO系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下式所示：

式中：u為輸入；w（t）為外部擾動；f[x1,w(t),t]為系統(tǒng)總擾動函數。

將總擾動擴張為新的狀態(tài)量x2，即x2=f[x1,w(t),t]，同時令，那么式（9）的新狀態(tài)方程可以表示為

根據狀態(tài)方程式（10），將一階SISO的ESO構建為[7]

式中：b為控制量增益，可由被控系統(tǒng)參數確定；β01，β02為控制器參數；fal函數為誤差非線性函數。fal函數具體表達式為

其中，參數α滿足0＜α＜1時，fal函數具有小誤差大增益和大誤差小增益的特性。確定了合適的參數取值后，ESO就能很好地觀測出狀態(tài)量z2，即“總擾動”。

ESO的優(yōu)勢表現在：在實際的控制系統(tǒng)中，無需知道擾動函數f[x1，w（t），t]是否連續(xù)或者已知，只要能確定其為有界函數，且保證增益參數b已知，就可以調整到合適的β01，β02取值，進而估計出狀態(tài)量z2并進行反饋補償。

2.3 DPCC的ESO設計

2.1節(jié)所述DPCC策略中，要求得準確的電壓矢量的電流變化率，需要精確的電流測量值，觀測誤差會導致計算偏差。同時，當電機參數發(fā)生變化時，仍使用標稱值進行計算，也會導致計算結果產生偏差。結合2.2節(jié)所述，可將ESO引入控制系統(tǒng)中，以補償觀測誤差以及參數變化帶來的擾動。

d，q軸的ESO設計思路相同，對于SPMSM控制器的結構以及參數是可以通用的，下述設計方法以q軸為例進行說明。

在式（4）中，將f2=-Riq/L0-ωeid-ωeΨf/L0視為總擾動，令b=1/L0，q軸電流方程可化為

按照前述ESO設計方法，可以得到電流環(huán)的ESO如下式所示：

其中

式中：z1，z2分別為電流iq和總擾動f2的觀測值。

結合式（5），將式（14）進行離散化可得：

式中：β1，β2為離散 ESO 的增益分別為k+1時刻的電流預測值和系統(tǒng)總擾動估計值。將進行反饋可得補償擾動后的電流變化率：

補償后的電流變化率再代入式（5）～式（8）進行計算，即可得到優(yōu)化后的控制電壓矢量。

離散ESO的結構框圖如圖2所示[9]。從圖2中可以看出，q軸ESO與d軸ESO并無耦合關系，相互不影響。ESO閉環(huán)極點位置和增益β1，β2相關，因此β1，β2的取值會影響ESO的動態(tài)性能和穩(wěn)定性。

圖2 離散ESO結構圖Fig.2 Discrete ESO structure diagram

2.4 ESO穩(wěn)定性分析

采用文獻[9]所述方法進行參數穩(wěn)定性分析。由圖2，在z域中q軸的ESO閉環(huán)函數為

特征方程為

通過對系統(tǒng)極點位置的計算，可得ESO的穩(wěn)定條件為

當PMSM的參數發(fā)生變化時，參考電流和實際電流存在誤差。為了實現電流的無誤差跟蹤，基于ESO的DPCC的電壓值u（qk）要和通過式（2）計算出的控制電壓u（qk）相等。式（2）和式（15）得到基于ESO的策略給定電流值和實際值關系為

式中：L為實際電感值；ωr為轉子機械角速度。

當系統(tǒng)運行在較高的采樣頻率下（Ts較小）且采用id=0控制時，式（20）可以化簡為

變換到z域的表達式為

其中

根據以上分析可得基于ESO的離散域傳遞函數為

通過以上分析，得知基于ESO的DPCC策略需要滿足以下2個條件：

1）擴張狀態(tài)觀測器的收斂條件：0＜β1＜4，

2）離散域傳遞函數的閉環(huán)極點分布在單位圓內，即滿足不等式：

基于 ESO的 DPCC 算法的穩(wěn)定性與β1，β2，L0/L三個參數有關。首先，需要選擇合適的β1，β2來保證ESO的穩(wěn)定性和收斂性；然后，考慮L0/L的變化對其收斂性的影響。觀察式（26）可以發(fā)現在ESO穩(wěn)定的前提下，其魯棒性強弱隨著L0與L的誤差的增大而增強。

下面對上述分析中參數β1，β2取值問題進行討論。假設系統(tǒng)中的參數沒有發(fā)生變化（L0=L）。當β2=700，β1在0～2范圍內變化時，系統(tǒng)極點分布如圖3a所示，其中，T為系統(tǒng)的離散步長?？梢钥闯觯敠?由0開始，以0.1為步長，逐漸增加到0.5時，系統(tǒng)兩個極點逐漸靠攏到β1=0.5附近；當β1由0.5增加到2時，一個極點向圓心靠近，另外一個趨向單位圓。因此，0.5≤β1≤1.5時系統(tǒng)的控制性能更好。β1=1.5，β2由0～10 000范圍內變化時，系統(tǒng)極點分布如圖3b所示。當β2逐漸趨向10 000時，極點逐漸向圓環(huán)靠近，系統(tǒng)趨向不穩(wěn)定狀態(tài)。因此，β1=1.5，β2=700時可使控制策略具有良好的控制性能。

圖3 系統(tǒng)閉環(huán)極點分布圖Fig.3 Closed-loop pole map of system

確定使ESO處于穩(wěn)定狀態(tài)的β1，β2的值之后，討論電感失配時所提策略的魯棒性。在β1=1.5，β2=700條件下，當電感失配度在0.455≤L/L0≤5時，系統(tǒng)閉環(huán)極點分布如圖4所示。當電感失配度在0.455≤L/L0≤ 5之間時，系統(tǒng)收斂；當L0＞2.2L時，系統(tǒng)發(fā)散。通過上述分析可以得出：基于ESO的DPCC策略具有較強的參數魯棒性，當電感在較寬的范圍內變化時，有著很好的抗擾作用。

圖4 電感失配時系統(tǒng)閉環(huán)極點分布圖Fig.4 Closed-loop pole map of system when inductance is mismatched

3 仿真和實驗驗證

3.1 仿真驗證

結合前述，轉速環(huán)采用PI控制器、電流環(huán)采用基于ESO的DPCC控制器的PMSM控制策略整體結構框圖如圖5所示（采用id=0控制策略）。

圖5 PMSM控制策略整體結構框圖Fig.5 PMSM control strategy structure block diagram

圖5中，N為電壓參考矢量所在扇區(qū)；θe為電機轉子電角速度；ω為電機速度反饋；ia，ib，ic分別為電機三相電流。仿真中采用的永磁同步電機參數為：額定電壓220 V，額定功率0.75 kW，交直軸電感6.552 mH，定子電阻0.901 Ω，極對數4，轉動慣量1.2×10-4kg·m2。

圖6為所設計控制策略的轉速響應仿真。轉速初始給定值為斜坡給定上升至1 000 r/min，空載啟動，0.1 s時加2 N·m負載，0.2 s時轉速給定為斜坡給定上升至2 000 r/min，0.3 s時撤負載。

如圖6所示，轉速響應在電機啟動以及轉速給定改變時均能快速跟蹤給定值，轉速超調較小，穩(wěn)態(tài)運行平穩(wěn)無靜差；當有負載擾動時，轉速有小幅波動并迅速跟蹤給定值。說明所提控制策略具有良好的靜動態(tài)特性和抗負載擾動的能力。

圖6 采用基于ESO的DPCC控制策略下的轉速響應曲線Fig.6 Speed response curves based on ESO-based current predictive control control strategy

圖7～圖9為傳統(tǒng)DPCC策略以及基于ESO的DPCC策略在與圖6相同的仿真條件下，d，q軸電流分別在電感參數為標稱值、0.8倍的標稱值以及0.5倍的標稱值時的響應曲線。

圖7 L=L0時d，q軸電流響應曲線Fig.7 d，q axis current response curves at L=L0

圖8 L=0.8L0時d，q軸電流響應曲線Fig.8 d，q axis current response curves at L=0.8L0

圖9 L=0.5L0時d，q軸電流響應曲線Fig.9 d，q axis current response curves at L=0.5L0

可以看出，當電感值準確時，兩種控制方式d，q軸電流均能快速跟蹤給定，且穩(wěn)態(tài)時電流紋波小，有較好的電流控制效果。采用傳統(tǒng)DPCC策略，當電感參數有20%的誤差時，電流紋波有一定程度的增大；當電感參數誤差達到50%時，電流響應已明顯畸變，震蕩幅度較大。而在基于ESO的DPCC策略控制下的電流響應雖然也有一定的紋波，但控制效果明顯優(yōu)于前者，說明該控制策略顯著提高了控制系統(tǒng)的參數魯棒性。

3.2 實驗驗證

為了驗證所提策略的控制效果，搭建了永磁同步電機對拖實驗平臺。實驗平臺示意圖如圖10所示，實驗樣機如圖11所示。

圖10 實驗平臺結構框圖Fig.10 Experimental platform structure block diagram

圖11 實驗平臺樣機Fig.11 Experimental platform prototype

永磁同步電機的功率等級為22 kW，電機參數為：定子電阻0.167 Ω，d軸電感4.5 mH，q軸電感31.7 mH，極對數3，永磁體磁鏈1.23 Wb，黏滯摩擦系數0.000 4 N·m·s。負載為一臺55 kW的直流電機，其控制器型號為SIEMENS 6RA7031。

圖12為永磁同步電機空載啟動到穩(wěn)定運行的實驗結果，其中轉速給定為斜坡給定至n*=800 r/min。從圖中可以看出，電機啟動過程平穩(wěn)且超調較小，d，q軸電流能夠無靜差地跟蹤給定值，在q軸給定電流發(fā)生變化時，q軸實際電流值能夠快速響應跟蹤給定值。圖13為當電機給定轉速由500 r/min變化到900 r/min時的轉速響應?？梢钥闯觯瑢嶋H轉速可以快速地跟蹤跟定值，超調較小，過渡過程平穩(wěn)。上述實驗結果表明，所提控制策略具有良好的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。

圖12 空載啟動到穩(wěn)態(tài)運行實驗結果Fig.12 No-load start-up to steady-state running experimental results

圖13 轉速給定變化時實驗結果Fig.13 Experimental results of PMSM when the speed reference changes

圖14 電感誤差在50%時的轉速響應Fig.14 Speed response at 50% inductance error

圖14為PMSM在L0/L=2條件下采用基于ESO的DPCC策略時的轉速響應曲線。轉速給定n*=800 r/min，在電機啟動過程完成后進行了突加負載與突減負載操作。從圖中可以看出，在突加負載時電機轉速略有跌落，突卸負載時電機轉速略有升高，但能夠快速跟蹤上給定值，電流過渡過程平穩(wěn)。即使電感參數存在50%誤差，整個控制過程依然具有很好的d，q軸電流以及轉速的靜動態(tài)特性，表明該策略具有良好的參數魯棒性和抗負載擾動的能力。

4 結論

在PMSM雙閉環(huán)調速系統(tǒng)中，結合無差拍控制電流控制精度高以及自抗擾技術抗擾能力強的特點，設計了基于ESO的DPCC策略，并進行了參數穩(wěn)定性分析。該控制策略不僅具有良好的轉速與電流控制效果，同時解決了傳統(tǒng)DPCC對模型參數依賴性強的問題。從仿真及實驗結果可以看出，該策略具有轉速跟蹤性能良好、抗擾動能力強、參數魯棒性強、算法簡單易數字化實現等特點。