胡楠希，李小琥，李自行

(北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038)

0 引言

由于現(xiàn)有慣性器件精度水平有限，純慣性導(dǎo)航誤差在千米級(jí)以上，因此需要采用組合導(dǎo)航的方式來提高導(dǎo)航精度。目前，全自主組合導(dǎo)航方式中傳統(tǒng)的慣性+星光定姿組合導(dǎo)航方法只能實(shí)現(xiàn)定姿，不能實(shí)現(xiàn)定位，在精度上可提升空間有限。

星光折射自主導(dǎo)航技術(shù)是一種可進(jìn)一步提高自主導(dǎo)航精度的有效途徑[1-2]。美國對(duì)星光折射間接敏感地平自主導(dǎo)航的研究工作可以追溯到20世紀(jì)60年代[3-4]。近年來，國內(nèi)高校和研究機(jī)構(gòu)均開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[5]對(duì)利用星光折射間接敏感地平的自主導(dǎo)航的基本原理進(jìn)行了介紹。文獻(xiàn)[6-7]研究了大氣折射原理及平流層大氣變化規(guī)律。文獻(xiàn)[8]利用現(xiàn)有大氣密度模型和固定高度觀測(cè)模型，建立了自適應(yīng)星光折射模型。文獻(xiàn)[9-16]對(duì)采用星光折射進(jìn)行自主導(dǎo)航的方法進(jìn)行了研究。

為此，提出了一種慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航方法，重點(diǎn)從星光折射定位原理、大氣折射模型、非線性濾波和選星策略幾個(gè)方面進(jìn)行論證及分析。通過理論分析與數(shù)學(xué)仿真相結(jié)合的手段，驗(yàn)證了星光折射定位原理的正確性及工程可行性，從而為進(jìn)一步提高自主導(dǎo)航精度提供了一種技術(shù)途徑。

1 慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航原理

1.1 星光折射定位原理

星光折射定位導(dǎo)航方法是利用星光在大氣中的折射角和折射高度之間的關(guān)系而間接敏感地平，從而實(shí)現(xiàn)高精度定位導(dǎo)航。

首先，星光在穿過大氣層時(shí)會(huì)發(fā)生偏折。由于平流層(高度20～50km)大氣密度比較穩(wěn)定，使得視高度ha與折射角θss的關(guān)系可以用大氣折射模型表示

ha=h0-Hln(θss)+

(1)

其次，視高度ha與觀測(cè)點(diǎn)位置r、折射角θss之間存在如下幾何關(guān)系

(2)

星光折射定位的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 星光折射定位幾何關(guān)系圖Fig.1 Geometric illustration of stellar atmospheric refraction positioning

綜上所述，星光折射定位的基本原理如下：首先，通過星敏感器持續(xù)觀測(cè)穿過平流層的多顆不同方向折射星，測(cè)量得到折射角；其次，根據(jù)大氣折射模型與折射角計(jì)算得到視高度；最后，根據(jù)星敏感器測(cè)量得到的折射角與大氣模型計(jì)算得到的視高度，建立慣性+星光折射定位觀測(cè)方程，解算載體位置。該定位原理如圖2所示。

圖2 星光折射定位原理圖Fig.2 Illustration of stellar refraction positioning

1.2 大氣折射原理

公式給出的是簡(jiǎn)化的大氣折射模型，是在假設(shè)大氣密度與高度是指數(shù)關(guān)系，同時(shí)大氣密度在全球均勻分布的前提下得到的。這個(gè)簡(jiǎn)化模型可以定性地說明大氣折射的基本原理：折射角隨著視高度的降低而增大。視高度與折射角近似關(guān)系如圖3所示。

圖3 視高度與折射角關(guān)系圖Fig.3 Relationship between apparent height and refraction angle

從工程應(yīng)用的角度看，簡(jiǎn)化的大氣模型計(jì)算得到的視高度誤差較大，因此需要構(gòu)建考慮大氣參數(shù)非均勻性的精確大氣折射模型。

該方法得到的視高度與觀測(cè)點(diǎn)位置、星光方向以及折射角有關(guān)，如式(3)所示

ha=f{Θ0,Φ0,Ψ,ni,hi|θss}

(3)

1.3 非線性濾波原理

常用的估計(jì)方法主要有兩類：最小二乘法和Kalman濾波。最小二乘法比較適合對(duì)常值參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，而Kalman濾波適合對(duì)時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)。傳統(tǒng)的Kalman濾波算法需要對(duì)狀態(tài)方程與觀測(cè)方程進(jìn)行線性化處理，對(duì)于線性系統(tǒng)有較好的適應(yīng)性，但是隨著濾波周期的增大以及系統(tǒng)非線性的增強(qiáng)，濾波的非線性誤差也會(huì)增大。

無跡Kalman濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)是一種針對(duì)非線性系統(tǒng)的濾波方法。對(duì)于線性系統(tǒng)來說,它的濾波性能與傳統(tǒng)Kalman濾波相當(dāng);對(duì)于非線性系統(tǒng),它的性能則明顯優(yōu)于傳統(tǒng)Kalman濾波。在慣性+星光折射定位過程中，狀態(tài)方程與觀測(cè)方程既是時(shí)變的更是非線性的，因此通過上述分析可以得出，UKF算法是最適合慣性+星光折射的定位算法。

UKF算法不需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，其主要思想如下，假設(shè)一個(gè)離散非線性系統(tǒng)

xk+1=F(xk,uk,k)+ωkzk=H(xk,uk,k)+vk

(4)

(5)

標(biāo)準(zhǔn)的UKF算法如下：

初始化

(6)

計(jì)算采樣點(diǎn)

(7)

狀態(tài)方程更新

(8)

量測(cè)更新

(9)

式中，Qk和Rk分別為系統(tǒng)和量測(cè)噪聲協(xié)方差。當(dāng)xk為高斯分布時(shí)，通常選取n+τ=3。

從濾波算法中可以看到，狀態(tài)方程與觀測(cè)方程都沒有進(jìn)行線性化處理，而是直接采用實(shí)際的方程進(jìn)行計(jì)算。系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)誤差通過采樣點(diǎn)進(jìn)行描述，并通過估計(jì)觀測(cè)量與實(shí)際觀測(cè)量的偏差對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)與方差進(jìn)行修正。采樣點(diǎn)示意圖如圖4所示。

圖4 采樣點(diǎn)示意圖Fig.4 Illustration of sample point

圖4中，每一個(gè)圓代表每一次觀測(cè)后估計(jì)的采樣點(diǎn)分布，下方的橫線代表真實(shí)軌跡。采樣點(diǎn)的均值為每一次估計(jì)的位置，采樣點(diǎn)的方差為估計(jì)的方差。由于初始位置誤差較大，因此第1個(gè)圓會(huì)比較大，圓心距離真實(shí)軌跡較遠(yuǎn)。隨著觀測(cè)次數(shù)的增大，估計(jì)的方差會(huì)減小，估計(jì)的位置誤差也會(huì)減小，因此圓會(huì)越來越小，最終收斂到真實(shí)的位置。

1.4 折射星分布原理

折射星的分布取決于觀測(cè)點(diǎn)與星光方向的相對(duì)關(guān)系。如圖1所示，定義地心矢量r與未折射的星光矢量s之間的夾角為α，則公式可以改寫為

ha=|r|·sin(α)+|r|·cos(α)·tan(θss)-

Re(1+θss·tan(θss)/2)

(10)

由此可知，隨著折射星視高度的增大，夾角α也在增大，可觀測(cè)的折射星與觀測(cè)點(diǎn)地心矢量的夾角為一個(gè)圓錐面，如圖5所示。

圖5 折射星分布示意圖Fig.5 Distribution of refraction star

根據(jù)上述分析可知：在觀測(cè)點(diǎn)移動(dòng)過程中,持續(xù)觀測(cè)同一顆折射星，地心矢量與星光矢量之間的夾角是在變化的，所觀測(cè)到的折射角與視高度也是連續(xù)變化的。

2 慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航的應(yīng)用

2.1 基于非線性濾波的慣性+星光折射定位方法

為了將UKF算法應(yīng)用于慣性+星光折射定位，需要對(duì)濾波方程進(jìn)行細(xì)化，主要包括狀態(tài)方程與觀測(cè)方程。

濾波方程中使用的觀測(cè)量為視高度，而直接的觀測(cè)量是折射角，因此需要將折射角轉(zhuǎn)化為視高度。通過采樣點(diǎn)可以估計(jì)出相應(yīng)的視高度估計(jì)值，這里需要用到視高度與位置的幾何關(guān)系方程，該方程就是觀測(cè)方程

(11)

通過直接觀測(cè)量折射角還可以計(jì)算得到真實(shí)的視高度觀測(cè)值，這里需要用到大氣折射模型

ha=f{Θ0,Φ0,Ψ,ni,hi|θss}

(12)

基于方程的視高度估計(jì)值與視高度觀測(cè)值之間的偏差對(duì)位置速度進(jìn)行修正。從濾波開始，每一個(gè)濾波周期都進(jìn)行狀態(tài)方程的計(jì)算。當(dāng)進(jìn)行星光觀測(cè)時(shí)，則進(jìn)行量測(cè)的更新與狀態(tài)的修正；當(dāng)沒有觀測(cè)時(shí)，則只進(jìn)行狀態(tài)方程的計(jì)算。

濾波方程中，初始的位置取慣性導(dǎo)航的位置，初始的位置方差應(yīng)設(shè)置為慣導(dǎo)誤差的方差，量測(cè)噪聲應(yīng)選取折射角觀測(cè)偏差引起的視高度偏差的方差。

濾波過程的示意圖如圖6所示。

圖6 濾波過程示意圖Fig.6 Illustration of filtering

2.2 折射星選星策略

折射星選星策略應(yīng)包括2個(gè)部分：1)備選星的篩選；2)折射星的選擇策略。

由于星庫中的星較多，但是可用的折射星只是一小部分。另外，根據(jù)1.4節(jié)的分析可知，折射星的觀測(cè)不僅需要關(guān)注觀測(cè)的是哪一顆星，更要關(guān)注在什么時(shí)間去觀測(cè)。因此，需要根據(jù)觀測(cè)段的位置將所有可用的折射星篩選出來作為折射星備選星庫，以便從中選擇可用的折射星。

在已知折射星備選星庫后，折射星的選擇應(yīng)該服從如下原則：1)選擇不少于3顆星；2)所選星在方位上盡量分布均勻；3)前后2顆折射星的觀測(cè)時(shí)刻間隔應(yīng)該考慮調(diào)姿時(shí)間與連續(xù)觀測(cè)時(shí)間。

3 數(shù)學(xué)仿真

在考慮了大氣折射模型后，星光折射定位的算法流程如圖7所示。

圖7 慣性+天文組合導(dǎo)航工作流程圖Fig.7 Workflow of inertial/stellar integrated navigation

大氣折射模型根據(jù)輸入的輔助數(shù)據(jù)與折射角測(cè)量值計(jì)算出該時(shí)刻的視高度，組合導(dǎo)航根據(jù)大氣折射模型計(jì)算的視高度與星敏感器觀測(cè)到的折射角進(jìn)行星光折射定位。按照上述流程進(jìn)行蒙特卡羅仿真。

仿真后統(tǒng)計(jì)的位置估計(jì)誤差如表1所示。

表1 位置估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)(3σ)

從仿真結(jié)果可以得出，基于非線性濾波的定位方法可以有效地消除觀測(cè)誤差并得到較高的位置估計(jì)精度，證明了慣性+星光折射定位算法合理有效。

4 結(jié)論

本文提出了一種慣性+星光折射定位組合導(dǎo)航方法，重點(diǎn)從星光折射定位原理、大氣折射模型、非線性濾波和選星策略幾個(gè)方面進(jìn)行論證及分析。通過理論分析與數(shù)學(xué)仿真相結(jié)合的手段，驗(yàn)證了星光折射定位原理的正確性及工程可行性。采用該方法可以提高組合導(dǎo)航精度,從而為進(jìn)一步提高自主導(dǎo)航精度提供了一種技術(shù)途徑。