湯吉龍

(江蘇省泰興市第二高級中學(xué) 225400)

由于高中數(shù)學(xué)知識點與難度大幅增加，再加上課程進(jìn)度快，從而導(dǎo)致很多學(xué)生因為適應(yīng)不了課堂進(jìn)度和難以解題以至于六神無主、無從下手.高中數(shù)學(xué)知識較為復(fù)雜，許多知識點之間相互聯(lián)系，有可能因為一部分沒有學(xué)好而使得接下去的課程無法接受，致使很多學(xué)生學(xué)習(xí)效率低下，出現(xiàn)解題步驟沒有邏輯等問題.所以在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生對數(shù)學(xué)分析思想的培養(yǎng)及運用，這樣才能提高課堂效率，達(dá)到教學(xué)有效輸出的目的.

一、數(shù)學(xué)分析思想對高中數(shù)學(xué)解題的影響

從前學(xué)生習(xí)慣了套用“解題模板”來進(jìn)行答題.而高中數(shù)學(xué)相對復(fù)雜，如果再像之前一樣依靠類型題的解題步驟進(jìn)行照葫蘆畫瓢是行不通的.唯有掌握好知識點，多做題，試圖從做題的過程中發(fā)現(xiàn)解題思路，在下一次遇到此類題型時能夠馬上想到這個知識點，活學(xué)活用，通過學(xué)生的獨立思考以及題海戰(zhàn)術(shù)將所學(xué)知識銘記于心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思想，這對于高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題是很重要的.另外，教師在教學(xué)過程中注重對學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的培養(yǎng)與教育，可以使得學(xué)生在解題過程中養(yǎng)成良好的習(xí)慣，并且具有更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，對于學(xué)生在解題過程中提高效率具有非常關(guān)鍵的作用，同時教師在進(jìn)行思想培養(yǎng)教育的過程中，其實也是對解題方法的一種優(yōu)化.因此，數(shù)學(xué)分析思想對于高中數(shù)學(xué)解題而言，不僅可以提高學(xué)生的解題能力，還能夠提高教師的教學(xué)效率及為創(chuàng)新教師的教學(xué)方式提供條件.

二、以“函數(shù)”為例介紹數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，方法繁多，思路靈活，技巧性強(qiáng).本質(zhì)上來說用函數(shù)思想解決不等式問題，就是研究相對應(yīng)函數(shù)的零點、正負(fù)區(qū)間、單調(diào)性的問題，所以，通過運用函數(shù)思想來解決這類問題，可以輕松找到解題方向，進(jìn)而提高解題效率.例如：已知不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，同時0≤m≤4，求x的取值范圍.首先在解題之前通過對題目進(jìn)行詳細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)可以將m作為自變量建立相應(yīng)的函數(shù)，即y=(x-1)m+x2-4x+3，于是不等式也就轉(zhuǎn)變成為y>0恒成立，加上題目給出的條件范圍0≤m≤4，對于x的取值范圍自然呼之欲出，再進(jìn)行解答就變得非常容易.事實上，對于這一類的題目都可以通過先轉(zhuǎn)換形式，然后根據(jù)題目條件進(jìn)行分析解題的方式，在這個過程中，教師可以讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)并非如他們想象的那么困難，只要注意掌握思想方法，所有類似的題目都可以迎刃而解.

三、通過數(shù)列公式對問題進(jìn)行分析思考

遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容.筆者試給出求遞推數(shù)列通項公式的十種方法策略，它們是:公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動點法、特征根的方法.教師可以在課堂上仔細(xì)講解一下遞推關(guān)系式的特征，讓學(xué)生在解題過程中能夠辨析題目的特征并準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，進(jìn)而能夠更加迅速求出通項公式.

1.利用公式法求通項公式

公式法求解通項的前提條件就是學(xué)生能夠從題目當(dāng)中發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的知識點，然后根據(jù)這個知識點的具體特征來匹配相對應(yīng)的公式，進(jìn)而根據(jù)這個公式求解題目.比如我們來看這樣一道例題：已知數(shù)列{An}滿足An+1=2An+3·2n，A1=2，求數(shù)列{An}的通項公式.這道題應(yīng)該算是初學(xué)數(shù)列的典型例題，也是高考中位于數(shù)列題的第一小題，相對簡單，也很容易犯錯，但是我們一旦掌握了相對應(yīng)的思想方法，我們就很容易能夠從中發(fā)現(xiàn)錯誤點，并且在解題過程中對其進(jìn)行詳細(xì)注意，那解題錯誤率無疑會減少很多.我們試著用數(shù)學(xué)分析思想進(jìn)行解題應(yīng)用，首先，我們要先確定這是求通項公式的哪一種方法，由題目可知，這道題要求我們用公式法求通項，確定了正確的方法以后，離成功解出這一道題目就只差一半兒了.接下來再繼續(xù)分析，本題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式An+1=2An+3·2n轉(zhuǎn)化為An+1/2(n+1)-An/2n=3/2，說明數(shù)列{An/2n}是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出An/2n=1+(n-1)·3/2，進(jìn)而求出數(shù)列{An}的通項公式.等把思路完全理清后，我們便可以根據(jù)我們的思考思路依次寫出步驟，并求得答案.

這樣一道題就解出來了.雖然這道題很簡單，但是在學(xué)數(shù)列過程中，如果不將最基本的題目搞清楚，明白其中的來由及思維，很難循序漸進(jìn)地攻克難題，甚至?xí)驌魧W(xué)生學(xué)習(xí)其他章節(jié)知識的自信心.而掌握了基本題目解題思維方式之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力會相應(yīng)地增強(qiáng)，相信學(xué)生有足夠的信心應(yīng)對下面的題目，對于類似的題目更是游刃有余.

2.累加法求通項公式的分析

前面我們分析了數(shù)列的公式法，現(xiàn)在我們再來看一下累加法求通項公式的題目，這種方法也是需要學(xué)生在進(jìn)行解題的前期就要先進(jìn)行深入思考，能夠規(guī)劃出大體的解題步驟，然后再一步步地進(jìn)行正式解題.下面我們來看例題：已知數(shù)列{An}滿足An+1=An+2n+1，A1=1，求數(shù)列{An}的通項公式.第一步，我們還是一樣先引導(dǎo)學(xué)生分析題目，考慮需要用到求通項公式的哪一種方法才能將此題完整無誤地解答出來，或者是可以先嘗試哪種方法比較妥當(dāng).我們可以看到題目“An+2n+1”是具有一定的規(guī)律性，如果我們將它進(jìn)行累加，可以逐步得到答案，那么，我們可以確定這一題用累加法就可以求得例題的通項公式.第二步，我們要考察到本題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式An+1=An+2n+1轉(zhuǎn)化為An+1-An=2n+1，進(jìn)而將它們累加得出(An-An-1)+(An-1-An-2)+……+(A2-A1)+A1，即可得出數(shù)列{An}的通項公式.最后一步，再將題目中給出的信息進(jìn)行代入所求得的式子當(dāng)中，即可求出最終答案.

通過分析以上題目，我們可以知道，在做任何一道題的時候，做題思路往往比做題更重要，因為題目是永遠(yuǎn)做不完的，但是方法是萬變不離其宗，很多道題目都可能是考察同一個知識點的不同應(yīng)用，數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題就顯得極其重要了，一個正確的思考方向可以讓解題進(jìn)入正確的軌道，而如果拿到題目沒有預(yù)先思考，而是馬上動筆的話，很容易出現(xiàn)連環(huán)錯誤，高中數(shù)學(xué)注重考察學(xué)生的思考能力和嚴(yán)謹(jǐn)能力，做題不能想當(dāng)然也不能套用做題模板.具體來講，首先要確定這題考察學(xué)生什么知識，然后再分析這題應(yīng)該運用哪種方法進(jìn)行解題，確認(rèn)完這些之后，學(xué)生方可進(jìn)行答題.總之，數(shù)學(xué)分析思想的重要性不言而喻，它可以有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力以及數(shù)學(xué)涵養(yǎng)的培養(yǎng)，對高中生而言，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備思想之一.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路及方法，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自己思考，也要讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)分析思維在高中數(shù)學(xué)解題的重要性，從入門時便培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思維，能夠大大減少錯誤及盲目做題的方式.培養(yǎng)謹(jǐn)慎、細(xì)心的做題習(xí)慣，我相信題目再難再復(fù)雜，學(xué)生都能很好地攻克.